北师版九年级数学上册期末复习考点 清单02 一元二次方程（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单02一元二次方程（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等号两边都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。【清单02】一元二次方程的一般形式一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。【清单03】一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【清单04】一元二次方程的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【清单05】解一元二次方程1.直接开方

注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程（3）方法是根据平方根的意义开平方2.配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结：3.公式法用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式4.因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。

【清单06】一元二次方程的判别式根的判别式：①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；③时，方程无实数根，反之亦成立

【清单07】一元二次方程的根与系数根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如解题技巧：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理

【清单08】一元二次方程的实际应用

1.变化率问题设基准数为a，两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x，第一次增长（或下降）后为；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为²=b2.传染、枝干问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x个人：3.握手、比赛问题握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。4.销售利润问题（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；5.几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则6.动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为【考点题型一】一元二次方程的概念

【典例1】下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A．ax2+bx+c=0C．x2=−1 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+32C．x2+3=0 【变式1-2】一元二次方程x2A．1，4，5 B．0，4【变式1-3】若方程m+2xm2−2+2x+1=0是关于xA．−2 B．0 C．−2或2 D．2【考点题型二】一元二次方程的解

【典例2】若m是方程x2−x−1=0的一个根，则−2mA．3 B．0 C．2 D．−2【变式2-1】关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个根为1，则A．−3 B．−1 C．1 D．2【变式2-2】已知a是一元二次方程x2−2x−4=0的一个根，则代数式a2【变式2-3】已知x=m是方程x2−3x−5=0的一个根，则代数式2m【考点题型三】解一元二次方程【典例3】解方程(1)x2+8x+3=0；(2)【变式1-1】解方程：(1)x2−8x+7=0(2)【变式1-2】解方程：(1)x2+4x−5=0；(2)【变式1-3】解方程：(1)x2−4x−5=0；(2)【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况【典例4】关于x的一元二次方程x2+3x+2=0的根的情况（A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【变式4-1】一元二次方程x2+5x−6=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【变式4-2】已知关于x的方程mx2−3x+4=0，如果m<0A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．不能确定【变式4-3】关于x的一元二次方程x2+kx−1A．无实数根 B．有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数【典例5】关于x的一元二次方程kx2+6x+3=0有两个不相等的实数根，kA．k>3 B．k<3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0【变式5-1】如果关于x的一元二次方程ax2+x−1=0有实数根，则aA．a>−14 C．a≥−14且a≠0 D．a>【变式5-2】若关于x的方程kx2−6x+9=0有实数根，则kA．k<1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k<1 D．k≤1【变式5-3】关于x的一元二次方程mx2−3x+5=0有两个不相等的实数根，则m【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系【典例6】已知m，n是方程x2−3x+2=0的两根，则m+1n+1【变式6-1】已知一元二次方程x2−2x−4=0的两个实数根分别为x1【变式6-2】已知α，β是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则A．3 B．1 C．−1 D．−3【变式6-3】已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k(1)求k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题【典例7】习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017年的利润为2880万元．(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？【变式7-1】若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（

）A．21+x2=6.62C．2+21+x+21+x【变式7-2】某市2022年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2022年到2024年共投入教育经费7.28亿元，则下列方程正确的是（

）A．21+x=7.28 C．2(1+x)2=7.28【变式7-3】宣威火腿，云南省著名汉族特产之一，因产于宣威而得名，其历史悠久，最迟始于明代，品质优良，足以代表云南火腿；故常称“云腿”，某平台销售的宣威火腿初始价格为150元/千克，经“618购物节”和“中秋节”连续两次降价后价格为121.5元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求每次降价的百分率；(2)如果“双十一”第三次降价，且保持前两次降价的百分率，那么“双十一”宣威火腿的价格是多少？【考点题型八】有关一元二次方程传播问题【典例8】冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？【变式8-1】初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2550张照片．设全班有x名同学，可列方程为（

）A．xx−1=2550 C．xx−1=2550×2 【变式8-2】有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历这两轮短信的发送后，共有156人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程．【变式8-3】某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有个商家参加了交易会．【考点题型九】有关一元二次方程面积问题【典例9】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD．并在边BC上留一个2m宽的门（建在(1)设矩形ABCD的边AB=xm，则边BC的长度是多少？（用含有x(2)当羊圈的面积为640m【变式9-1】如图，在长为32m、宽为20m的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行绿化．若绿化面积为540m2，道路宽度为A．32−xx−20=540 C．32−x20−x=540 【变式9-2】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场ABCD，其中AD和AB两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长45米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在EH和FG边上各留1米宽的门、设AB长x米，(1)求BC的长度（用含x的代数式表示）．(2)若饲养场ABCD的面积为180平方米，求x的值．【考点题型十】有关一元二次方程利润问题【典例10】某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶．(1)若售价定为35元，每月可售出多少桶？(2)若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？(3)当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？【变式10-1】某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元?【变式10-2】某景区宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天250元．国庆节来临之际，该景区酒店计划调整价格以吸引游客．(1)若经过两次涨价后，每间房的费用增至360元，求两次增长的平均增长率．(2)据经验，当每间房每天定价为200元时，宾馆会住满；定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的成本费用，除此之外无其他成本费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10120元【考点题型十一】有关一元二次方程动点问题【典例11】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于10cm(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm【变式11-1】如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；(2)是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时【变式11-2】如图，在矩形ABCD中，AB=16cm,AD=6cm．动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以2cm/秒的速度向点B移动，点Q以1cm/

(1)两动点经过几秒时，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的512(2)连接BQ，两动点经过几秒，△BQP是以BQ为腰的等腰三角形？【变式11-3】如图在矩形ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，点P从点B开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边向点D以2cm/s的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t s

(1)填空：CQ=______cm，CP=_____cm，（用含t的代数式表示）(2)当t为何值时，PQ=5cm(3)当t为何值时，△APQ的面积为16cm2

清单02一元二次方程（11个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：（1）是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式方程，即等号两边都是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"整式。方程中如果有\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是\t"/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B/_blank"分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。【清单02】一元二次方程的一般形式一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。【清单03】一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【清单04】一元二次方程的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【清单05】解一元二次方程1.直接开方

注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程（3）方法是根据平方根的意义开平方2.配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．总结：3.公式法用公式法求一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判别式4.因式分解因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；（3）令每个因式分别为零；（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。

【清单06】一元二次方程的判别式根的判别式：①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；③时，方程无实数根，反之亦成立

【清单07】一元二次方程的根与系数根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如解题技巧：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理

【清单08】一元二次方程的实际应用

1.变化率问题设基准数为a，两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x，第一次增长（或下降）后为；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为²=b2.传染、枝干问题有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?设每轮传染中平均一个人传染了x个人：3.握手、比赛问题握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。4.销售利润问题（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；5.几何面积问题（1）如图①，设空白部分的宽为x,则；（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则6.动点与几何问题关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为【考点题型一】一元二次方程的概念

【典例1】下列方程中，关于x的一元二次方程是（

）A．ax2+bx+c=0C．x2=−1 【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般表达式ax2根据一元二次方程的定义及一般表达式ax2【详解】解：A、当a=0时，axB、原选项化简为2x+1=0，不是一元二次方程，故原选项不符合题意；C、是一元二次方程，符合题意；D、不是一元二次方程，不符合题意；故选：C．【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2+32C．x2+3=0 【答案】C【分析】本题考查了了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断每个选项即可．【详解】解：A、x2+32B、不是整式方程，不符合题意；C、是一元二次方程，符合题意；D、有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意，故选：C．【变式1-2】一元二次方程x2A．1，4，5 B．0，4【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的基本概念去判断确定．【详解】解：∵一元二次方程x2∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，故选：D．【变式1-3】若方程m+2xm2−2+2x+1=0是关于xA．−2 B．0 C．−2或2 D．2【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义得到m2【详解】解：由题意得，m2解得：m=2，故选：D．【考点题型二】一元二次方程的解

【典例2】若m是方程x2−x−1=0的一个根，则−2mA．3 B．0 C．2 D．−2【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意得出m2−m=1，再将式子变形为【详解】解：∵m是方程x2∴m2∴m2∴−2m故选：D．【变式2-1】关于x的一元二次方程x2−2x+m=0的一个根为1，则A．−3 B．−1 C．1 D．2【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可．【详解】解：∵一元二次方程x2∴12解得m=1，故选：C．【变式2-2】已知a是一元二次方程x2−2x−4=0的一个根，则代数式a2【答案】2028【分析】本题考查了一元二次方程的解以及已知式子的值求代数式的值，先把x=a代入x2−2x−4=0，得a2【详解】解：∵a是一元二次方程x2∴a2∴a2则a2故答案为：2028．【变式2-3】已知x=m是方程x2−3x−5=0的一个根，则代数式2m【答案】5【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根，代数式求值是解题的关键．由题意知，m2−3m−5=0，即m2【详解】解：∵x=m是方程x2∴m2−3m−5=0，即∴2m故答案为：5．【考点题型三】解一元二次方程【典例3】解方程(1)x2(2)x+52【答案】(1)x1=−4+13(2)x1=−5【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解方程是解题的关键．（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后因式分解，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可．【小题1】解：x2x2x2x+42x+4=±13x1【小题2】解：x+52x+52x+5x+5−2x+5=0或x+5−2=0，x1【变式1-1】解方程：(1)x(2)1−3x2【答案】(1)x1=7(2)x1=【分析】此题考查了解一元二次方程．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：x∴x−7则x−7=0或x−1=0，解得x1=7（2）1−3x∴3x−12则3x−1∴3x−1=0或3x−1−2=0，解得x1=【变式1-2】解方程：(1)x2(2)3x【答案】(1)x1=1(2)x1=1【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用十字相乘法进行因式分解，进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行因式分解，进行求解即可．【详解】（1）解：xx+5x−1=0或x+5=0；∴x1=1，（2）33x−4x−1=0或3x−4=0；∴x1=1，【变式1-3】解方程：(1)x2(2)(x−1)2【答案】(1)x1=−1，(2)x1=1，【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；（2）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．【详解】（1）解：x2则(x+1)(x−5)=0，∴x+1=0或x−5=0，解得：x1=−1，（2）解：(x−1)2移项，得(x−1)2则(x−1)(x−1−2)=0，∴x−1=0或x−3=0，解得：x1=1，【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况【典例4】关于x的一元二次方程x2+3x+2=0的根的情况（A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了根的判别式，先计算出根的判别式的值得到Δ>0【详解】解：∵Δ=∴有两个不相等的实数根．故选：B．【变式4-1】一元二次方程x2+5x−6=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式Δ=b2−4ac来判断即可，当Δ>0【详解】解：Δ=故一元二次方程x2故选：A．【变式4-2】已知关于x的方程mx2−3x+4=0，如果m<0A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．不能确定【答案】A【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．先求一元二次方程的判别式，再根据m<0，判断出Δ的情况，【详解】解：∵关于x的方程mx2−3x+4=0中，a=m，b=−3∴Δ=∵m<0，∴9−16m>0，∴关于x的方程mx故选：A．【变式4-3】关于x的一元二次方程x2+kx−1A．无实数根 B．有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0【详解】解：∵x2∴a=1，∴Δ=∴方程x2故选：D．【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数【典例5】关于x的一元二次方程kx2+6x+3=0有两个不相等的实数根，kA．k>3 B．k<3且k≠0 C．k≥3 D．k≤3且k≠0【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0．熟练运用根的判别式是解题关键．根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx∴k≠0，且Δ=∴k<3且k≠0．故选：B【变式5-1】如果关于x的一元二次方程ax2+x−1=0有实数根，则aA．a>−14 C．a≥−14且a≠0 D．a>【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解一元一次不等式组，一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0）根的判别式为Δ=b根据一元二次方程的定义和判别式的意义，得到a≠0Δ=1【详解】解：根据题意得，a≠01解得：a≥−14且故选：C．【变式5-2】若关于x的方程kx2−6x+9=0有实数根，则kA．k<1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k<1 D．k≤1【答案】D【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式．熟练掌握解一元一次方程，一元二次方程根的判别式是解题的关键．分kx【详解】解：当k=0时，−6x+9=0，解得，x=3当k≠0时，关于x的方程kx∴Δ=解得，k≤1，∴k≤1且k≠0；综上所述，关于x的方程kx2−6x+9=0有实数根，则k故选：D．【变式5-3】关于x的一元二次方程mx2−3x+5=0有两个不相等的实数根，则m【答案】m<920【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况和一元二次方程的概念确定参数m的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx∴Δ解得：m<9∵m≠0，∴m的取值范围是m<920且故答案为：m<920且【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系【典例6】已知m，n是方程x2−3x+2=0的两根，则m+1n+1【答案】6【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1、x【详解】解：∵m，n是方程x2∴m+n=3，mn=2，∴m+1=mn+=2+3+1=6，故答案为：6．【变式6-1】已知一元二次方程x2−2x−4=0的两个实数根分别为x1【答案】−1【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x【详解】解：∵一元二次方程x2−2x−4=0的两个实数根分别为∴x∴x故答案是：−1．【变式6-2】已知α，β是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则A．3 B．1 C．−1 D．−3【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，据根与系数的关系α+β=−1，αβ=−2，再整体代入α−αβ+β即可得出答案．【详解】解：∵α，β是一元二次方程∴α+β=−1，αβ=−2，则α−αβ+β=α+β−αβ=−1−−2故选：B．【变式6-3】已知关于x的一元二次方程x2+2k+1x+k(1)求k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求【答案】(1)k>−(2)7【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式．（1）由方程有两个不相等的实数根可知Δ>0（2）将k=1代入方程，由根与系数的关系得出x1+x2=−3【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=解得：k>−1（2）解：当k=1时，方程为x2∵x1+x∴x1【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题【典例7】习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017年的利润为2880万元．(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？【答案】(1)该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20(2)2018年的利润为3456万元，不能达到3500万元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据该企业2018年的利润=该企业2017年的利润×（1+增长率），求出该企业2018年的利润．（1）设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015年及2017年的利润额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据该企业2018年的利润=该企业2017年的利润×（1+增长率），可求出该企业2018年的利润，将其与3500万元进行比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据题意得：2000(1+x)解得：x1答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%（2）解：2880×1+20∵3456万元<3500万元，∴该企业2018年的利润不能超过3500万元．【变式7-1】若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为x，则下列方程正确的是（

）A．21+x2=6.62C．2+21+x+21+x【答案】C【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可．【详解】解：设该增长率为x，根据题意可得出2+21+x故选：C．【变式7-2】某市2022年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2022年到2024年共投入教育经费7.28亿元，则下列方程正确的是（

）A．21+x=7.28 C．2(1+x)2=7.28【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市每年教育经费的年增长率均为x，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．【详解】解：设该市每年教育经费的年增长率均为x，由题意得，2+21+x故选：D．【变式7-3】宣威火腿，云南省著名汉族特产之一，因产于宣威而得名，其历史悠久，最迟始于明代，品质优良，足以代表云南火腿；故常称“云腿”，某平台销售的宣威火腿初始价格为150元/千克，经“618购物节”和“中秋节”连续两次降价后价格为121.5元/千克，并且两次降价的百分率相同．(1)求每次降价的百分率；(2)如果“双十一”第三次降价，且保持前两次降价的百分率，那么“双十一”宣威火腿的价格是多少？【答案】(1)每次降价的百分率为10(2)109.35元/千克．【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意正确列出等式和算式是解题关键．（1）设每次降价的百分率为x，根据题意可列出关于x的一元二次方程，求解，再舍去不合题意的解即可；（2）根据保持前两次降价的百分率列出算式求解即可．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：1501−x解得：x1=0.1，答：每次降价的百分率为10%（2）解：∵保持前两次降价的百分率，∴“双十一”宣威火腿的价格是121.5×1−10【考点题型八】有关一元二次方程传播问题【典例8】冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人(2)第三轮感染后，患流感的共有1024人【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出；（2）用第二轮×(1+每轮传染中平均每人传染的人数)，可求出第三轮过后，患流感的人数．【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，由题意得：1+x+(1+x)x=128解得：x=7，x=−9（不合题意舍去），答：每轮传染中平均一个人传染了7人；（2）解：第三轮感染的人数=128×7=896（人），∴第三轮感染后，患流感的总人数为：896+128=1024（人），答：第三轮感染后，患流感的共有1024人．【变式8-1】初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2550张照片．设全班有x名同学，可列方程为（

）A．xx−1=2550 C．xx−1=2550×2 【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的应用，题意得每个人要送出x−1张照片，据此即可求解．【详解】解：由题意得：每个人要送出x−1张照片，∵全班有x名同学，∴可列方程为xx−1故选：A．【变式8-2】有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历这两轮短信的发送后，共有156人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程．【答案】y+【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每人给y人发短信，则第一轮有y人收到短信，第二轮有y2【详解】解：设每人给y人发短信，列方程为y+y故答案为：y+y【变式8-3】某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有个商家参加了交易会．【答案】10【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个商家参加了交易会，利用签订合同的总数=参加会议的商家数×(参加会议的商家数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数．【详解】解：设共有x个商家参加了交易会，依题意得：12整理得：x2解得：x1=10，故答案为：10．【考点题型九】有关一元二次方程面积问题【典例9】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD．并在边BC上留一个2m宽的门（建在(1)设矩形ABCD的边AB=xm，则边BC的长度是多少？（用含有x(2)当羊圈的面积为640m【答案】(1)72−2x(2)羊圈的长BC为32m，宽AB为20m或羊圈的长BC为40m，宽【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用：（1）用栅栏长减去AB长的两倍再加上EF的长即可得到答案；（2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可．【详解】（1）解：由题意得，BC=70−2x+2=72−2x（2）解：由题意得，x72−2x整理得：x2解得x=20或x=16，当x=20时，AB=20m，BC=72−2×20=32当x=16时，AB=16m，BC=72−2×16=40答：羊圈的长BC为32m，宽AB为20m或羊圈的长BC为40m，宽AB为【变式9-1】如图，在长为32m、宽为20m的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行绿化．若绿化面积为540m2，道路宽度为A．32−xx−20=540 C．32−x20−x=540 【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的运用，要求学生能根据题意的数量关系建立等式，同时考查了学生的阅读能力和理解能力．根据题意表示出绿化部分的长为32−xm，宽为20−xm，再根据绿化面积为【详解】解：设道路宽度为xm，，则绿化部分的长为32−xm，宽为得32−x故选：C．【变式9-2】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场ABCD，其中AD和AB两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长45米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在EH和FG边上各留1米宽的门、设AB长x米，(1)求BC的长度（用含x的代数式表示）．(2)若饲养场ABCD的面积为180平方米，求x的值．【答案】(1)48−3x米(2)x=10．【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的求解及一元一次不等组的求解；根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解作合理取舍是解题的关键．（1）由FH−1+FG−1+CD+BH+CG=45得BH+CG=47−3x，再由BC=BH+CG+1即可得出答案；（2）根据矩形的面积等于长×宽建立方程，求解并检验即可．【详解】（1）解：如图，FH−1+FG−1+CD+BH+CG=45∴BH+CG=47−3x∴BC=BH+CG+1=48−3x米；（2）解：由题意知，x解得，x1=6又∵0≤48−3x≤27，且0≤x≤15∴7≤x≤15，∴x=10．【考点题型十】有关一元二次方程利润问题【典例10】某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶．(1)若售价定为35元，每月可售出多少桶？(2)若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为多少元？(3)当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？【答案】(1)每月可售出450桶(2)每桶洗衣液的定价为60元(3)销售价格应定为40元【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量乘以单价表示出利润即可．（1）由“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”进行解答；（2）设销售价格应定为x元，根据“洗衣液的售价每提高1元，，其销售量就减少10桶”列出方程并解答；（3）设销售价格应定为y元，根据“每月有8000元的销售利润”列出方程并解答结合“薄利多销”取合适的值即可．【详解】（1）解：当售价为35元时，每月可以售出500−10×35−30（2）解：设销售价格应定为x元，则500−10x−30解得x=60，答：销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为60元；（3）解：设销售价格应定为y元，则y−20500−10整理得：y2解得：y1=40或为体现“薄利多销”的销售原则，∴y=40，答：销售价格应定为40元．【变式10-1】某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元?【答案】(1)每次下降的百分率为20(2)每千克应涨价5元【分析】本题考查了一元二次方程的应用．（1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；（2）设涨价x元0<x≤8，根据总盈余=每千克盈余×数量，可列方程，可求解．【详解】（1）解：设每次下降的百分率为a，根据题意得：501−a解得：a1=1.8，（不合题意，舍去）或答：每次下降的百分率为20%（2）解：设每千克应涨价x元，则每千克盈利10+x元，每天可售出50−2x千克，由题意得：10+x500−20x整理，得x2解得：x1∵商场规定每千克涨价不能超过8元，∴x=5，答：每千克应涨价5元．【变式10-2】某景区宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天250元．国庆节来临之际，该景区酒店计划调整价格以吸引游客．(1)若经过两次涨价后，每间房的费用增至360元，求两次增长的平均增长率．(2)据经验，当每间房每天定价为200元时，宾馆会住满；定价每增加10元时，就会空闲一间房（物价部门规定，此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍）．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的成本费用，除此之外无其他成本费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10120元？【答案】(1)20(2)240【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．（1）设两次增长的平均增长率为x，由题意得，2501+x（2）设每个房间房价增加y元，由题意得，200+y−2050−【详解】（1）解：设两次增长的平均增长率为x，由题意得，2501+x解得：x=15或∴增长率为20%答：两次增长的平均增长率为20%（2）解：设每个房间房价增加y元，由题意得，200+y−2050−解得：y=40或y=280，当y=280时，200+280>200×1.5，故不符合题意，舍，∴每个房间房价增加40元，∴房价定为200+40=240（元），答：当房价定为240元时，宾馆当天的利润为10120元．【考点题型十一】有关一元二次方程动点问题【典例11】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，△PBQ的面积能否等于10cm(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于6cm【答案】(1)2秒(2)△PBQ的面积不能等于10cm(3)12【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，得出等量关系是解决问题的关键．（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP=AB−AP=(6−x