数值分析 试卷及答案 共4套

数值分析试卷（I）及答案一.(8分)用复化梯形公式计算积分，问区间应分多少等分，才能保证计算结果有五位有效数字？解：由又由于（3）其截断误差应满足：（3）n=68即可满足要求（2）二.(10分)求函数y=arctanx在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式(保留6位小数)解：(4)解方程组，(5)(1)三.(18分)设函数满足表中条件:01210-221)填写均差计算表(标有*号处不填):001******110***22-2(2)分别求出满足条件的2次Lagrange和Newton差值多项式.(3)求出一个三次插值多项式,使其满足表中所有条件.解：（1）001******110-1***22-2-2-0.5（5）（2）(6)(3)令则（7）四.(18分)(1).用Romberg方法计算,将计算结果填入下表(*号处不填).0*********1******2***3(2).对于求积公式求待定系数使该求积公式的代数精度尽量高，并指明求积公式的代数精度；用该公式计算积分解：（1）00.74924*********10.474200.38252******20.390760.362940.36164***30.368650.361280.361170.36116(8)(2)a)当f(x)=1,x时，令解得将求积公式具有三次代数精度(7)b)(3)五.(18分)对于方程（1）分析方程的正根范围.（2）可以构造迭代公式：，分析两种迭代法的收敛性（2）用Newton迭代法计算方程正根解的近似值.(要求精度满足:).解：（1）设当所以正根在（1,2）内，并且是唯一正根。（5）（2）对于迭代格式对于迭代格式（6）（7）六.(10分)用直接三角分解（LU分解）法求解线性方程组:其中解：（4）令（3）（3）七.(10分)已知初值问题且，计算公式，判断计算公式精度阶数.解：通过对比，计算公式具有2阶精度（10）八（8分）给出方程组=写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代公式，并说明迭代公式的收敛性。解：Jacobi迭代法：（3）Gauss-seidel迭代法：（3）由于矩阵为严格对角占优矩阵，所以两种迭代法收敛。（2）试卷2一、(10分)设，如果用作为的近似值，误差限是多少，能有几位有效数字？求出的相对误差限。(小数点后保留5位)解：,又因为，，又误差限…………6分因此，具有2位有效数字;…………8分.…………10分二、（16分）设节点1、用Langrange插值和牛顿插值公式求三个节点的二次插值多项式；2、当增加一个条件：时，求对应的三次Hermite插值多项式解：1、…………6分012******1242***231283…………12分2、，，，，，…………16分三、(10分)已知一组实验数据如下：123444.558用直线拟合.解：，,，.由法方程得，所求直线为.………10分四、（10分）方程，讨论如下几种迭代求根方法在区间上的敛散性：1.改写方程为，相应的迭代格式为；2.改写方程为，相应的迭代格式为.解：1、令，则，由于，因此迭代发散。2、令，则，由于，.且当时，，因此迭代收敛。………10分五、（10分）试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度.解：令上式对于，，准确成立，可列出方程…………7分求解上述方程组得，，令，左边=，右边=，左边≠右边该式的代数精度为2阶。……………10分 六、（10分）利用改进的Euler方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长计算）解:令，则改进的Euler公式为： . 取得，. ………………6分计算结果如下：111.21.461.42.06521.62.84754 ……………10分七、（10分）利用矩阵的LU分解法解方程组.解：................6分令得，得................10分八、（10分）用Romberg方法计算,将计算结果填入下表(*号处不填).（保留5位小数）0*********1***2***3解：，, ,,. ,,.,,.00.27563*********10.174450.14072******20.143750.133520.13304***30.135610.132900.132860.13286...............10分九、（14分）给定方程组，(1)写出迭代和迭代的计算公式；(2)证明迭代收敛而迭代发散.解：（1），.………8分（2）Jacobi：,,.，收敛.，，,，发散.………14分试卷3(10分)已知反映某实际问题的数学模型为，经测量所得,测量仪器的误差限为0.002，试求出的误差限和相对误差限；2、判定近似函数值有几位有效数字.解：………6分…………8分因为的误差限，所以有1位有效数字.…………10分二、（18分）设节点用Langrange插值和牛顿插值求三个节点的二次插值多项式；当增加一个条件：时，求对应的三次Hermite插值多项式解：1、…………6分0-1-2******10-3-1***21032…………12分设…………18分三、(10分)求函数在给定区间上对于权函数，的最佳平方逼近多项式.解：，，，.解法方程得，因此所求多项式.…………10分四、（10分）方程，讨论如下几种迭代求根公式在区间上的敛散性：1、改写方程为，相应的迭代格式为；2、改写方程为，相应的迭代格式为.解：1、令，则，由于，因此迭代发散.2、令，则，由于，当时，，因此迭代收敛。………10分五、（10分）已知(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式（即求系数）；(2)该求积公式所具有的代数精度是多少？解：(1)所求插值型的求积公式形如：故。或：由三点插值型求积公式的代数精度至少为2，将代入上述公式，可得所以…6分（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得………8分故代数精度是3次.……………10分六、（10分）取,用改进的Euler方法求初值问题在处的近似值.（计算过程保留5位小数.）解：改进的Euler公式为得到；………7分得xy0.51.12511.390625………10分七、（10分）利用矩阵的LU分解法解方程组.解：................6分令得，得................10分八、（11分）利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)：将计算结果填入下表(*号处不填).（小数点后保留5位小数）0*********1******2***3解，, ,,, ,,, ,,.016*********116.9442817.25904******217.2277417.3222317.32644***317.3060017.3320917.3327517.33285………10分九、（12分）分别写出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—赛德尔迭代求解方程组：的迭代公式.并判断用高斯—赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。解:Jacibo迭代公式为:Gauss-Seidel迭代公式为:………8分(2)解:设矩阵可分解为三个矩阵的和,即,其中,所以,Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵.可求得所以,所以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的.………12分试卷4一、填空(54=20分)1.的相对误差约是的相对误差的倍.2.对于个节点的插值求积公式至少具有＿n＿次代数精度。3.用二分法求非线性方程在区间内的根时，二分次后的误差限为..4.已知,则条件数=_____9____.5.设，则差商1.二、(14分)给定数表-1012-11201.用Lagrange插值求满足的三次插值多项式；2.当增加一个条件：时，求对应的四次Hermite插值多项式.解：1、...........8分2.得四次插值多项式...........14分（12分）1.用Romberg方法计算,将计算结果填入下表(*号处不填).02.73205*********12.780242.79630******22.793062.797342.79740***32.796342.797432.797442.79744.........6分2.求使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度。解：是精确成立，即..............8分得。求积公式为...........9分当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。.............12分四、（6分）解：牛顿迭代公