有关等腰三角形、等边三角形和直角三角形的常见压轴题（原卷版）-2022届中考数学压轴大题专项训练

专题1有关等腰三角形、等边三角形和直角三角形的常见压轴题

1.(2021•武汉一初慧泉中学九年级月考)问题背景

(1)如图1,已知AIDE均为等边三角形，且点。在线段3c上，求证：4ABDmAACE；

尝试应用

(2)如图2,已知AIBC中，AB=AC,乙B/C=120。，尸为线段2C上一点，以AP为边作等边三角形2PQ,

连接C0,M为线段C0的中点，连接/M,AP.求证：AP=2AM；

拓展创新

(3)已知AIBC中，AB=AC,NA4c=120。，G为平面内一点，若乙4G2=90。，4BGC=150。，请直接写

,AG

出击的值•

实数根，且。、6、C分别是ZU8C中N/、BB、NC的对边.

(1)求证：A48c直角三角形;

(2)若。=6,设点尸为48边上任一点，PELBC于E,/为/尸的中点，过A作BC的平行线,

地,痴交此平行线于。.当点P在线段上运动的时候,求黑的值.

3.(2021•武汉市卓刀泉中学九年级月考)如图1,点尸为等腰放A43C斜边N8下侧一个动点，连AP、BP

，且■尸5=45。，过。作CE1/P于点48=12.

(2)求二后的值；

(3)如图2,当A4PC为等腰三角形时，则其面积为.

4.(2021•重庆十八中两江实验中学九年级月考)已知：在A42c中，乙42c=90。，点。为直线BC上一点

,连接/。并延长，过点C作/C的垂线交4D的延长线于点瓦

(1)如图1,若4艮4c=60°,CE=^AC,AB=1,求线段的长度；

(2)如图2,若/C=EC,点尸是线段A4延长线上一点，连接即与8C交于点况且440=乙4。£求证：AF

=2BH；

(3)如图3,AB=2,2C=6,点〃为NE中点，连接CM,当|。0力加］最大时，直接写出△的区?的面积.

点尸从点N出发，沿NC以每秒5个单位长度的速度向终点C匀速运动，设点尸的运动时间为/秒(/>0),过

点尸作AB的垂线交AB于点

(2)求EW的长，(用含有/的代数式表示)

(3)若将点P绕点"逆时针旋转90°于点N.

①求瓦V的长(用含f的代数式表示)

②在点尸运动的同时，作点2关于点N的对称点Q,连结尸。.当A/。尸为等腰三角形时，直接写出犯勺值.

6.(2021•西安市铁一中学九年级开学考试)如图1.在A48C中，乙4=120。，AB=AC,点D、E分别在

边AB、AC±,AD^AE,连接3E,点〃、N、P分别为DE、BE、5c的中点，连接NM、NP.

图1图2

(1)图1中，线段2W、AP的数量关系是,NMVP的度数为；

(2)将A4OE绕点，顺时针旋转到如图2所示的位置.连接MP.你认为△7WP是什么特殊三角形，请写出

你的猜想并证明你的结论；

(3)把A4DE绕点/在平面内旋转，若40=3,48=5,请写出人1"面积的最大值.

7.(2021•沙坪坝•重庆八中九年级月考)已知，在等腰直角三角形28C中，ZACB=90°,AC=BC,

点。在边NC上运动，连接AD,过C作。0//N3交AD的延长线于点

(1)如图1,点。为/C边上的中点，BD=45,求CM的长；

(2)如图2,过点N作NEL3M于点E,交CM于点、F,连接。尸，求证：BD=AF+DF

(3)如图3,过点N作交AD的延长线于点E,P为BE的中点，48=2右，请直接写出CP的最小

值.

8.(2021•诸暨市开放双语实验学校九年级期中)(1)问题发现

如图1,A4cB和△OCE均为等边三角形，点4,D,E在同一直线上，连接2E.

填空：①的度数为；

②线段ND,2E之间的数量关系为.

(2)拓展探究

如图2,△/(力和△DCE均为等腰直角三角形，"C2=ZDC£=9O。，点4D,E在同一直线上，CM为ADC

K中DE边上的高，连接3E,请判断^班的度数及线段CN,AE,2E之间的数量关系，并说明理由.

(3)解决问题

如图3,在正方形N3C。中，CD=6,若点尸满足尸。=1，且乙8月。=90。，请直接写出点4到AP的距离.

9.(2021•重庆字水中学九年级三模)如图，在等边“3C中，是BC边上的高，点£为线段上一点

,连EB、EC.

(1)如图1,将线段班绕点E顺时针旋转至斯，使点尸落在A4的延长线上.

①求/CE尸的度数；

②求证：AB=AF+6AE;

(2)如图2,若48=4,将线段防绕点E旋转过程中与边ZC交于点X,当/E=C〃时，请直接写出

+的最小值.

10.(2021•吉林省第二实验学校九年级月考)已知RtA48c中，z_C/8=90。，4B=4,AC=3,点P从点

3处出发，以每秒2个单位长度的速度沿8-4-C,运动时间为/秒，以/尸为斜边作等腰直角三角形

尸勿，点0始终在点”的右上方，

(1)用(表示线段，尸的长.

(2)点。落在线段2c上时，求t的值.

(3)点尸在线段上运动时，点©是点/关于直线的对称点，当点4与A4C8的顶点所连线段平行△/C2

的一条直角边时，求△N8C与△///重叠部分的面积S的值.

(4)点E是线段/C中点，当直线把A1BC的面积分为2：3两部分时，直接写出f的值.

11.(2021•长春市第二实验中学九年级月考)如图，在放A42C中，ZC=9O°,BC=4cm,AC=8cm,

点尸从点/出发，沿/C方向以2cm/s的速度向终点C运动，PDLAC,尸。=24,点歹在射线/C上，FP=2PA,

以尸。、尸尸为邻边构造矩形PDE凡设点尸的运动时间为，(s).

(1)AF=(用含t的代数式表示).

(2)当点3落在DE上时，求f的值.

(3)连接BRA48尸是等腰三角形时，求才的值.

（4）当点E在的边的垂直平分线上时，直接写出/的值.

备用图

12.（2021•南师附中树人学校九年级月考）如图1,若△。跖的三个顶点。，E,尸分别在A48C各边上,

则称△£）£尸是AIBC的内接三角形.

（.1）如图2,点。，E,尸分别是等边三角形N8C各边上的点，且AD=3£=CR则△£>£尸是9台。的内接

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰三角形或等边三角形D.直角三角形

（2）如图3,已知等边三角形N2C,请作出A45C的边长最小的内接等边三角形DEf（保留作图痕迹，

不写作法）

（3）问题：如图4,A//8C是不等边三角形，点。在边上，是否存在A48C的内接等边三角形。£尸？如果

存在，如何作出这个等边三角形？

①探究1：如图5,要使△£>£下是等边三角形，只需N£DF=60。，DE=DF.于是，我们以点。为角的顶点任

作乙£。尸=60。，且DE■交3c于点E,DF如C于点F.

我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点尸与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合.

在点£由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而。尸逐渐变小后再变大，如果存在某个

时刻正好。£=。尸，那么这个等边三角形尸就存在（如图8）.理由：是等边三角形.

②探究2：在2C上任取点E,作等边三角形。斯（如图9）,并分别作出点E与点2、点C重合时的等边三角

形。8尸和DCF".连接依，FF",证明：FF+FF”=BC.

③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10,A45c是不等边三角形，点。在边上，请作出A42c的

内接等边三角形。斯.（保留作图痕迹，不写作法）

图10

13.(2021•合肥实验学校九年级二模)等腰直角A4O8和等腰直角△COD按如图方式放置，4AOB=4

OD=90°,连接/C、BD,二者交于点P.

(1)求证：BD=AC；

(2)连接。P,若0P平分44。。，且角乙4。。=40。，求乙8。。的度数;

(3)点M、N分别是/夙CD的中点，连接MV,求受MN的值.

A

14.（2021•湖南郴州•中考真题）如图1,在等腰直角三角形48C中，/B4c=90°.点E,尸分别为

AB,/C的中点，H为线段EF上一动点、（不与点E