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文档简介
北京市东城区北京第二十二中学2025届高三考前热身数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,aβ,bα,则“ab“是“αβ”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有这样一个相关的问题:将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列各项之和为()A.56383 B.57171 C.59189 D.612423.使得的展开式中含有常数项的最小的n为()A. B. C. D.4.A. B. C. D.5.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示,图中网格是边长为1的正方形,粗线部分是某二十四等边体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.6.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.7.在直角中,,,,若,则()A. B. C. D.8.数列{an},满足对任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.999.在直角梯形中,,,,,点为上一点,且,当的值最大时,()A. B.2 C. D.10.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.11.已知函数,集合,,则()A. B.C. D.12.将函数的图像向右平移个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,若为奇函数,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为14.在面积为的中,,若点是的中点,点满足,则的最大值是______.15.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为_______.16.设为数列的前项和,若,,且,,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某社区服务中心计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶5元,售价每瓶7元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:摄氏度℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间,需求量为500瓶;如果最高气温低于20,需求量为300瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温天数414362763以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为(单位:瓶)时,的数学期望的取值范围?18.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若对任意恒成立,求的取值范围.19.(12分)已知函数,直线为曲线的切线(为自然对数的底数).(1)求实数的值;(2)用表示中的最小值,设函数,若函数为增函数,求实数的取值范围.20.(12分)已知点,若点满足.(Ⅰ)求点的轨迹方程;(Ⅱ)过点的直线与(Ⅰ)中曲线相交于两点,为坐标原点,求△面积的最大值及此时直线的方程.21.(12分)如图,在三棱柱中,已知四边形为矩形,,,,的角平分线交于.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.(1)求.(2)设,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可.【详解】解:a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α与β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a与b异面,∴a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断,考查面面平行的判定与性质,属于基础题.2、C【解析】
根据“被5除余3且被7除余2的正整数”,可得这些数构成等差数列,然后根据等差数列的前项和公式,可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为的等差数列,记数列则令,解得.故该数列各项之和为.故选:C.【点睛】本题考查等差数列的应用,属基础题。3、B【解析】二项式展开式的通项公式为,若展开式中有常数项,则,解得,当r取2时,n的最小值为5,故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用.4、A【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】本题正确选项:【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.5、D【解析】
根据三视图作出该二十四等边体如下图所示,求出该几何体的棱长,可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的,可求出其体积.【详解】如下图所示,将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中,由三视图可知,该几何体的棱长为,它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的,该几何体的体积为,故选:D.【点睛】本题考查三视图,几何体的体积,对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到,属于中档题.6、C【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.7、C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加减运算,运用平面向量基本定理,结合向量数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,化简计算即可得到所求值.【详解】在直角中,,,,,
,
若,则故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质,主要是向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于中档题.8、B【解析】
由为定值,可得,则是以3为周期的数列,求出,即求.【详解】对任意的,均有为定值,,故,是以3为周期的数列,故,.故选:.【点睛】本题考查周期数列求和,属于中档题.9、B【解析】
由题,可求出,所以,根据共线定理,设,利用向量三角形法则求出,结合题给,得出,进而得出,最后利用二次函数求出的最大值,即可求出.【详解】由题意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵点在线段上,设,则,即,又因为所以,所以,当时,等号成立.所以.故选:B.【点睛】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,考查转化思想和解题能力.10、B【解析】
选B.考点:圆心坐标11、C【解析】
分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】,,∴.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.12、C【解析】
根据三角函数的变换规则表示出,根据是奇函数,可得的取值,再求其最小值.【详解】解:由题意知,将函数的图像向右平移个单位长度,得,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,,因为是奇函数,所以,解得,因为,所以的最小值为.故选:【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据向量共线定理得A,B,C三点共线,再根据点斜式得结果【详解】因为,且α+β=1,所以A,B,C三点共线,因此点C的轨迹为直线AB:【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程,考查基本分析求解能力,属中档题.14、【解析】
由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB||AC|,再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化,最后由重要不等式求得最值.【详解】由△ABC的面积为得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①与②的平方和得:|AB||AC|=,又点M是AB的中点,点N满足,所以,当且仅当时,取等号,即的最大值是为.故答案为:【点睛】本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量,进而由重要不等式求最值,属于中档题.15、【解析】
根据题意,由双曲线的渐近线方程可得,即a=2b,进而由双曲线的几何性质可得cb,由双曲线的离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,即yx,则有,即a=2b,则cb,则该双曲线的离心率e;故答案为:.【点睛】本题考查双曲线的几何性质,关键是分析a、b之间的关系,属于基础题.16、【解析】
由题可得,解得,所以,,上述两式相减可得,即,因为,所以,即,所以数列是以为首项,为公差的等差数列,所以.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解析】
(1)X的可能取值为300,500,600,结合题意及表格数据计算对应概率,即得解;(2)由题意得,分,及,分别得到y与n的函数关系式,得到对应的分布列,分析即得解.【详解】(1)由题意:X的可能取值为300,500,600故:六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列为300500600(2)由题意得.1°.当时,利润此时利润的分布列为.2.时,利润此时利润的分布列为.综上的数学期望的取值范围是.【点睛】本题考查了函数与概率统计综合,考查了学生综合分析,数据处理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18、(1);(2).【解析】
(1)通过讨论的范围,分为,,三种情形,分别求出不等式的解集即可;(2)通过分离参数思想问题转化为,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到的范围.【详解】(1)当时,原不等式等价于,解得,所以,当时,原不等式等价于,解得,所以此时不等式无解,当时,原不等式等价于,解得,所以综上所述,不等式解集为.(2)由,得,当时,恒成立,所以;当时,.因为当且仅当即或时,等号成立,所以;综上的取值范围是.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想,转化思想,属于中档题.19、(1);(2).【解析】
试题分析:(1)先求导,然后利用导数等于求出切点的横坐标,代入两个曲线的方程,解方程组,可求得;(2)设与交点的横坐标为,利用导数求得,从而,然后利用求得的取值范围为.试题解析:(1)对求导得.设直线与曲线切于点,则,解得,所以的值为1.(2)记函数,下面考察函数的符号,对函数求导得.当时,恒成立.当时,,从而.∴在上恒成立,故在上单调递减.,∴,又曲线在上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的,使.∴;,,∴,从而,∴,由函数为增函数,且曲线在上连续不断知在,上恒成立.①当时,在上恒成立,即在上恒成立,记,则,当变化时,变化情况列表如下:
3
0
极小值
∴,故“在上恒成立”只需,即.②当时,,当时,在上恒成立,综合①②知,当时,函数为增函数.故实数的取值范围是考点:函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中,和切线有关的题目非常多,我们只要把握住关键点:一个是切点,一个是斜率,切点即在原来函数图象上,也在切线上;斜率就是导数的值.根据这两点,列方程组,就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略,先求得的表达式,然后再求得的表达式,我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.20、(Ⅰ);(Ⅱ)面积的最大值为,此时直线的方程为.【解析】
(1)根据椭圆的定义求解轨迹方程;(2)设出直线方程后,采用(表示原点到直线的距离)表示面积,最后利用基本不等式求解最值.【详解】解:(Ⅰ)由定义法可得,点的轨迹为椭圆且,.因此椭圆的方程为.(Ⅱ)设直线的方程为与椭圆交于点,,联立直线与椭圆的方程消去可得,即,.面积可表示为令,则,上式可化为,当且仅当,即时等号成立,因此面积的最大值为,此时直线的方程为.【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题:(1)已知点,若点满足且,则的轨迹是椭圆;(2)已知点,若点满足且,则的轨迹是双曲线.21、(1)见解析;(2)【解析】
(1)过点作交于,连接,设,连接,由角平分线的性质,正方形的性质,三角形的全等,证得,,由线面垂直的
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