一元二次方程-2023年上海中考数学一轮复习（原卷版）

专题05一元二次方程

题趋势

一元二次方程是中学数学重要的重点知识，中考中多以选择题、填空题、简单的解一元二次方程及其

应用题和渗透在大题中的形式计算问题出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法.掌

握一元二次方程的概念及其解法，根的判别式，尤其是二次三项式的因式分解，一元二次方程的实际应用

更是中考的热点，难度系数中等。主要体现的思想方法：转化的思想、•■分类讨论的思想、数形结合的思想

等。

知识导图

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程

概念一般形式：fla2+ftx+c=0(a*0)

注意a#O的条件

定义1能够使方程左右两边相等的未知数的值

一元二次方程的解

常考思路：将方程的解代入方程，构造等量关系

x2=m(m20)

常见的形式

(ax+w)2=m(a#0>0)

直接开平方法

基本原理平方根的定义

基本思路：利用完全平方公式,转变成直接开平方法的形式

①将方程化为一般形式

②二次项系数化为1

基本步骤：③把方程中含有未知数的项移到方程的右边

配方法④把方程两边都加上一次项系数一半的平方

⑤变成直接开平方法的形式，采用直接开平方法

本方法一定要常握，除非特别要求，一般不推荐使用

配方的思想：经常在求最值有关的问JS时，会涉及

—b±&2-4ac

x=-------------------

求根公式2a

①将方程化为一元二次方程一般形式

公式法

②确定a,b.c的值

基本步骤

⑧确定方程是否有实数根，验证b2-4ac

一元二次方程

④代入求根公式

理论依据：若X-8=O,那么>1=。或川=。或

思想(化归)：将高次方程将次，转化为低次方程

提取公因式法

因式分解法(降次法》常见方法：公式法

十字相乘法

因式分解法是解高次方程常用的方法,推荐使用

实际问题一数学模型一设未知数一列方程一解方程一检蛉一应用题的解

常见题型：①商品利润；②几何面积问题；③增长率问U

若△>(),则方程有两个不相等的实数根

若△=(),则方程有两个相等的实数根

A=b2-4ac若△<(),则方程无实数根

若△N0,剜方程有两个实数根

①不解方程确定方程根的情况

②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围

根的判别式的应用③解决抛物线与一次函数的图象相切的问题

④整数根间Bi时，△是完全平方式

本部分内容虽然不在中考大纲要求内.有精力的同学可重点掌握

_be

若方程ox、+bx+c=.，那么冬+吃=----.X,x2=—

★根与系数关系aa

I®含条件：a#0.

常考题型：整体代入.求代数式的值

一、一元二次方程定义及一般形式

概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做

一元二次方程。

一般形式：ax2+Z?x+c=0（a^0）o其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项八

【注意】

1）只含有一个未知数；

2）所含未知数的最高次数是2；

3）整式方程。

一、单选题

1.下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A.x2-1=0B.x2+—+3=0C.x2+2x+1=0D.3x?+亚x+l=0

X

2.一元二次方程2/一7=3歹的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,-3,-7B.2,-7,-3C.2,-7,3D.-2,-3,7

3.关于x的一元二次方程a/-5办+4=0,有一个根为1.则。的值为（）

A.1B.-1C.1或-1D.不能确定

4.若是关于x的一元二次方程/-工-1=0的根，贝!）3-2加2+2加的值是（）

A.2B.1C.4D.5

5.小刚在解关于x的方程办2+法+。=0（4/0）时，只抄对了a=l,8=4,解出其中一个根是x=-1.他

核对时发现所抄的c比原方程的。值小2.则原方程的根的情况是（）

A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-lD.有两个相等

的实数根

6.已知实数公现有甲、乙、丙、丁四人对关于X的方程h2_（左+2）x+^QO进行了讨论:

甲说：这一定是关于X的一元二次方程；

乙说：这有可能是关于X的一元一次方程；

丙说：当任-1时，该方程有实数根；

丁说：只有当行-1且好0时，该方程有实数根.

A.甲和丙说的对B.甲和丁说的对C.乙和丙说的对D.乙和丁说的对

二、填空题

7.若关于x的方程/一左=。有两个不相等的实数根，则左的值可以是.（写一个即可）

8.若等腰三角形的一边长为6,另两边的长是关于x的一元二次方程—一版+机=0的两个根，则加的值为

9.己知加、〃是方程N+2019x-2=0的两个根,则("+2018%-3)ln2+2020n-1)=

二、一元二次方程的解法

(1)直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如

(x+a)2=6的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当620时，x+a=+4b,

x=-a+4b,当b<0时，方程没有实数根.

(2)配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛

的应用.配方法的理论根据是完全平方公式/±246+^2=伍±5)2,把公式中的a看做未知数X,并用X代

替，则有/±26x+〃=(X±6)2.

(3)公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

_A+J人2_

=

一元二次方程ax?+bx+c=0(aw0)的求根公式：2=——---------(b~-4ac>0)

「la

(4)因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常

用的方法.

4.一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)中，b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根

的判别式，通常用“A”来表示，即A=〃—4ac

(1)当△>()时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

(2)当△=(3时，一元二次方程有2个相等的实数根；

(3)当△<)时，一元二次方程没有实数根.

要点：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定

的值；③计算4ac的值；④根据从-4ac的符号判定方程根的情况.

5.一元二次方程根的判别式的逆用

在方程ax2+bx+c=0(aw0)中，

（1）方程有两个不相等的实数根-4ac>0；

（2）方程有两个相等的实数根—4ac=0；

（3）方程没有实数根二〃-4ac<0.

要点：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件;

（2）若一元二次方程有两个实数根则b--4ac>0.

1.若关于x的方程（心-1尸4+》-3=0是一元二次方程，则小的值（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

2.用直接开平方的方法解方程（3x+1>=（2x-5）2,做法正确的是（）

A.3x+l=2x-5B.3x+1=—(2x—5)

C.3x+l=±(2x-5)D.3x+l=±2x-5

3.如果关于x的方程（x-4『=加-1可以用直接开平方法求解，那么小的取值范围是（）

A.m>lB.m>1C.m>-\D.m>-\

4.用配方法解方程3Y_6X+1=0,则方程可变形为（）

112

A.（x—3）2=—B.3（x—I）2=—C.（3x-1）2=1D.（x—I）2=—

5.三角形两边长分别为2和3,第三边的长是方程2--13x+15=0的根，则该三角形的周长为（）

A.—13B.10C.2—5D.廿13或10

222

6.在公式法解方程行一+4百%=2后时，/一八。的值是（）

A.16B.4C.32D.64

7.若方程（冽-2）--2x+l=0是一元二次方程，则方程的根是（）

A—1+-x/s—1--\/~5DV5—1—y/~5—1

■A.（JC，=,XQ-HM.x,—

12221424

C.玉=号±%=上手D.以上答案都不对

8.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程f一7x+12=0的两个实数根，则该直角三角形斜边

上的高为（）

A.3B.4C.2.5D.2.4

9.若实数x满足方程口2+2%）（—+2尤-2）-15=0,那么的值为（）

A.-3或5B.5C.-3D.3或-5

10.对于一元二次方程办2+反+。=0（.彳0）,下列说法：

①若a-b+c=0,则/TacNO；

②若方程ax?+c=0有两个不相等的实根，则方程ax?+6x+c=0必有两个不相等的实根；

③若c是方程办2+6x+c=0的一个根，则一定有ac+6+l=0成立；

22

④若飞是一元二次方程ax+bx+c=Q的根，贝lj/-4ac=（2ax0+Z>）

其中正确的：（）

A.只有①B.只有①②C.①②③D.只有①②④

二、填空题

11.若关于x的一元二次方程Y+6X+C=0配方后得到方程（X+3）2=2C,则c的值为.

12.在实数范围内分解因式：2X2-4X-3.

13.关于x的一元二次方程加三+（2机_l）x-2=0的根的判别式的值等于4,贝1］加=.

14.已知整数加满足0<加<13,如果关于x的一元二次方程无2-（2〃?_1丈+加2-2心=0的根为有理数，则加

的值为.

15.将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q,就可以将V表示为关于x的一次多项式，

从而达到“降次”的目的，又如丁=》./=苫（8—4）=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以

化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：x2+x-l=0,且x>0.则/_2/+3》的值为.

16.有下列3个命题：

①方程V-（后+百卜+&=0的根是e'和*.

9

②在“3C中，ZACB=90°,CD_L/B于。.若2。=4,BD=「则CD=3.

③点尸（X/）的坐标X，y满足丁+「+2苫-2>+2=0,若点P也在y=«的图象上，贝北=-1.

X

上述3个命题中，真命题的序号是.

三、解答题

17.解方程：4X2-2>/3X-1=0

18.解下列一元二次方程：

（1）X2-8X-9=O

(2)3X2-6X+1=0

19.解下列方程：

(1)2X2+4X+1=0(配方法)；

(2)2/+6无+3=0(公式法)；

(3)X2-2X=8(适当的方法)；

(4)(x-6『=2(6-x)(适当的方法)；

20.已知关于x的一元二次方程/-(左+4h+3+左=0.

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于0,求人的取值范围.

21.已知dBC的两边48、AC的长是关于x的一元二次方程尤2-2(〃-l)x+〃2-2n=0的两个根,第三边2c

的长是10.

(1)求证：无论〃取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)当"为何值时，O8C为等腰三角形？

三、一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似：

>“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

>“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

>“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

>“解”就是求出说列方程的解；

>“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

四、二次三项式办?+反+。的因式分解

方法探究：如果方程aX'+bx+C=°仅主°)有两个实数根:

+竺、X2=i7"4aj那么写出代数式4(》_再)(%一马)得

2a2a

tz(x-x1)(x-x2)=〃［工？+X2)X-^-

因为匹+£=-=+"2-4阳+-6一“2-4这=—2

2a2aCl

=ax2+Z?x+c

上面等式，从右到左就是把ax2+bx+c分解因式.把二次三项式ax2+bx+c(a/))分解因式时,

①如果b2-4acK),那么先用公式法求出方程ax2+bx+c=0(aM)的两个实数根匹、x2,

再写出分解式ax?+bx+c=a（x-x^x-x2）

②如果b2-4ac〈0,那么方程ax2+bx+c=0（aW0）没有实数根，ax?+bx+c在实数范围内不能分

解因式.

典例引颂

_________।________L*

一、单选题

1.某区今年7月份工业生产值达120亿元，7月、8月、9月三个月总产值为450亿元，求8月、9月平均

每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为（）

A.120（l+x）*234=450B.120+120（l+x）2=450

C.120（1+X）+120（1+X）2=450D.120+120（l+x）+120（l+x）2=450

2.如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙,

另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）

墙

DC

AB

A.x（55-2x）=375B.；x（55-2x）=375C.1x（55-x）=375D.x（55-x）=375

3.如图，矩形相框长为8cm宽为4cm,四周的边框宽相等，且照片的面积占总面积的3;，设四周边框的宽,

4

是xcm,根据题意可列方程为（）

13

A.（8x+4x）x2=—x8x4B.（8-2x）（4-2x）=—x8x4

i3

C.（8-2x）（4-2x）=—x8x4D.8x4-8x-4x-4x2=—x8x4

4.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数为是（）

A.4AB.5人C.6人D.7人

5.有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传

染中平均一个人传染x个人，可列方程为（）

A.l+2x=8B.1+x+x(l+x)=81C.1+x+x2=81D.1+x2=8

6.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3,则这个两位数是（）

A.25B.36C.25或36D.64

7.如果关于x的二次三项式"2+3%+4在实数范围内能分解因式，那么。的取值范围是（）

9999

A.0<6?<—B.—C.aN—D.a4—且

16161616

8.如图是某公园在一长35加，宽23加的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形湖

面面积的g,求人行观景曲桥的宽.若设人行观景曲桥的宽为工加，则X满足的方程为（）

A.（35-x）（23-x）=jx23x35B.（35一x）（23—x）+2/=23x35

C.（35-x）（23-x）=1x23x35D.（35-x）（23-x）=23x35

9.某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒.现

准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部

门规定，销售时利润率不能超过50%,设该口罩售价为每盒x（x>60）元，现在预算销售这种口罩每周要获

得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（）

A.70元B.80元C.70元或80元D.75元

二、填空题

10.若把一个正方形的一边增加2cm,另一边增加1cm,所得的长方形比原正方形面积多14cm,,设原正方

形的边长为x,则可列方程为.

11.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面

积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？设镜框边的宽度为x厘米，列方程并化为一般形式为：

12.关于x的方程/-px-q=0的根的判别式是.

1Q

13.已知方程（x+a）（x-4）=0和方程//-］》-2=0的解完全相同，贝1］。=.

14.在实数范围内因式分解：2x2/-3xy-l=

15.有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共

有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向人发送短信.

三、解答题

16.一种笔记本电脑，原来的售价是15000元，经过连续两年的降价，今年每台售价为12150元，每年降价

的百分率相同.

（1）年降价的百分率是多少？

（2）小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？

17.2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛.第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰

赛.在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支

球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛.已知本届世界杯小组赛阶段共

有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？

18.如图所示，己知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱色围成一个面积为96平方米的长方形/BCD,

中间用篱笆分隔出两个小长方形，每个长方形隔出一个1米长的门，总共用去34米长的篱笆，求23的长

度？

A]Fl'D~

Bp——C

19.全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂

及时引进了一条口罩生产线生产口罩.经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生

产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天.现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时

又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？

DkYIry-I-1

20.关于x的方程V-二匚="■只有一个实数根，求：后的值.

x-1X-xX

21.有一块长为。米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影

部分），余下的场地建成草坪.

口

|_|」

口

口

匚

口

口

匚

口

口