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文档简介
2025届山东省邹城二中高三一诊考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若集合,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.2.要排出高三某班一天中,语文、数学、英语各节,自习课节的功课表,其中上午节,下午节,若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻(注意:上午第五节和下午第一节不算相邻),则不同的排法种数是()A. B. C. D.3.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是()A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加;B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多;C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番;D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%6.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.“若,则”的逆命题为真命题C.,使成立D.“若,则”是真命题7.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.8.在中,,,,则在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-39.已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入A. B.C. D.10.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()A.1 B.2 C. D.411.已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.12.框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,,,,,,,则图中空白框中应填入()A., B. C., D.,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,分别为内角,,的对边,,,,则的面积为__________.14.已知集合,若,则__________.15.在平面直角坐标系中,圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和,其中与圆相交于,两点,与圆相切于点.若,则直线的斜率为_____________.16.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)证明:.18.(12分)已知函数,函数在点处的切线斜率为0.(1)试用含有的式子表示,并讨论的单调性;(2)对于函数图象上的不同两点,,如果在函数图象上存在点,使得在点处的切线,则称存在“跟随切线”.特别地,当时,又称存在“中值跟随切线”.试问:函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”,若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由.19.(12分)管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,).(1)请用角表示清洁棒的长;(2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.20.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.21.(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题意,分析即得解【详解】由题意,故,故选:D【点睛】本题考查了元素和集合,集合和集合之间的关系,考查了学生概念理解,数学运算能力,属于基础题.2、C【解析】
根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午;②语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目,由分类加法计数原理可得答案.【详解】根据题意,分两种情况进行讨论:①语文和数学都安排在上午,要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻,将节语文课和节数学课分别捆绑,然后在剩余节课中选节到上午,由于节英语课不加以区分,此时,排法种数为种;②语文和数学都一个安排在上午,一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午,一个安排在下午,但节语文课不加以区分,节数学课不加以区分,节英语课也不加以区分,此时,排法种数为种.综上所述,共有种不同的排法.故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的应用,属于中等题.3、A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.4、D【解析】
根据图像所给的数据,对四个选项逐一进行分析排除,由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项,由图像可知,投资额逐年增加是正确的.对于选项,投资总额为亿元,小于年的亿元,故描述正确.年的投资额为亿,翻两翻得到,故描述正确.对于选项,令代入回归直线方程得亿元,故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力,考查利用回归直线方程进行预测的方法,属于基础题.5、B【解析】试题分析:由题意故选B.考点:正态分布6、D【解析】选项A,否命题为“若,则”,故A不正确.选项B,逆命题为“若,则”,为假命题,故B不正确.选项C,由题意知对,都有,故C不正确.选项D,命题的逆否命题“若,则”为真命题,故“若,则”是真命题,所以D正确.选D.7、D【解析】
由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.8、D【解析】分析:根据平面向量的数量积可得,再结合图形求出与方向上的投影即可.详解:如图所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故选D.点睛:本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题,也考查了数形结合思想的应用问题.9、C【解析】
由于中正项与负项交替出现,根据可排除选项A、B;执行第一次循环:,①若图中空白框中填入,则,②若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第二次循环:由①②均可得,③若图中空白框中填入,则,④若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第三次循环:由③可得,符合题意,由④可得,不符合题意,所以图中空白框中应填入,故选C.10、B【解析】
因为圆与抛物线的准线相切,则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知,圆心到直线的距离等于半径,可知的值为2,选B.【详解】请在此输入详解!11、D【解析】
由已知可将问题转化为:y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点,作出图象,由图可得:点(1,0)必须在直线y=kx-的下方,即可求得:k>;再求得直线y=kx-和y=lnx相切时,k=;结合图象即可得解.【详解】若关于x的方程f(x)=kx-恰有4个不相等的实数根,则y=f(x)的图象和直线y=kx-有4个交点.作出函数y=f(x)的图象,如图,故点(1,0)在直线y=kx-的下方.∴k×1->0,解得k>.当直线y=kx-和y=lnx相切时,设切点横坐标为m,则k==,∴m=.此时,k==,f(x)的图象和直线y=kx-有3个交点,不满足条件,故所求k的取值范围是,故选D..【点睛】本题主要考查了函数与方程思想及转化能力,还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力,属于难题.12、A【解析】
依题意问题是,然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据题意,利用余弦定理求得,再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面积.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式,考查计算能力.14、1【解析】
分别代入集合中的元素,求出值,再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【详解】依题意,分别令,,,由集合的互异性,解得,则.故答案为:【点睛】本题考查集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.确定集合中元素,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.15、【解析】
设:,:,利用点到直线的距离,列出式子,求出的值即可.【详解】解:由圆,可知圆心,半径为.设直线:,则:,圆心到直线的距离为,,.圆心到直线的距离为半径,即,并根据垂径定理的应用,可列式得到,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用,并结合圆的方程,垂径定理的基本知识,属于中档题.16、【解析】
设等比数列的公比为,根据题意求出和的值,进而可求得和的值,利用等比数列求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的性质可得,,由于与的等差中项为,则,则,,,,,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列求和,解答的关键就是等比数列的公比,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)利用基本不等式即可求得最小值;(2)关键是配凑系数,进而利用基本不等式得证.【详解】(1),当且仅当“”时取等号,故的最小值为;(2),当且仅当时取等号,此时.故.【点睛】本题主要考查基本不等式的运用,属于基础题.18、(1),单调性见解析;(2)不存在,理由见解析【解析】
(1)由题意得,即可得;求出函数的导数,再根据、、、分类讨论,分别求出、的解集即可得解;(2)假设满足条件的、存在,不妨设,且,由题意得可得,令(),构造函数(),求导后证明即可得解.【详解】(1)由题可得函数的定义域为且,由,整理得..(ⅰ)当时,易知,,时.故在上单调递增,在上单调递减.(ⅱ)当时,令,解得或,则①当,即时,在上恒成立,则在上递增.②当,即时,当时,;当时,.所以在上单调递增,单调递减,单调递增.③当,即时,当时,;当时,.所以在上单调递增,单调递减,单调递增.综上,当时,在上单调递增,在单调递减.当时,在及上单调递增;在上单调递减.当时,在上递增.当时,在及上单调递增;在上递减.(2)满足条件的、不存在,理由如下:假设满足条件的、存在,不妨设,且,则,又,由题可知,整理可得:,令(),构造函数().则,所以在上单调递增,从而,所以方程无解,即无解.综上,满足条件的A、B不存在.【点睛】本题考查了导数的应用,考查了计算能力和转化化归思想,属于中档题.19、(1);(2).【解析】
(1)过作的垂线,垂足为,易得,进一步可得;(2)利用导数求得最大值即可.【详解】(1)如图,过作的垂线,垂足为,在直角中,,,所以,同理,.(2)设,则,令,则,即.设,且,则当时,,所以单调递减;当时,,所以单调递增,所以当时,取得极小值,所以.因为,所以,又,所以,又,所以,所以,所以,所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.20、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为;(Ⅱ)由题意可得面积函数为为,求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析:(I)当时,化为,当时,不等式化为,无解;当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,解得.
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