指数函数（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第07讲指数函数

（12类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的

2023年天津卷，第4题,5分

图象（含正、弦、正切）根据函数图象选择解析式

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域

2.能掌握指数函数的图像特征

3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题

4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。

12•考点梳理—

考点一、指数函数的解析式

考点二、指示函数求参问题

1.指数函数的定义

知识点一.指数函数的图象与性质考点三、指数函数的定义域与不等式

2.指数函数的图象与性质考点四、指数函数的值域

考点五、由指数函数定义域与值域求参

指数函数<

考点六、指数函数过定点

考点七、指数函数的单调性

1•画指数函数的三个关键点考点八、指数函数的图像

知识点二.指数函数图象的特点考点九、指数函数模型的实际应用

2.指数函数的图象与底数大小的比较考点十、指数函数比较大小

{考点十一、指数函数综合应用

考点十二、指数函数的奇偶性与对称性

知识讲解

知识点一.指数函数的图象与性质

1.指数函数的定义：一般地，函数j=a'（a>0,aWl）叫做指数函数,函数的定义域是R.

2.指数函数的图象与性质

X

y=aa>l0<水1

Fjy=cf产优\『

一”…折］一半Ui

图象

0|~~1—“Xo\~~

定义域R

值域(0,+°°)

过定点（0,1）

性质当x>0时，y>l；当x<0时，0<jKl当x>0时，0<J<1；当水0时，y>l

在（一8,十8）上是增函数在（一8,+8）上是减函数

注意：形如y=4a，,y=a，+"（4GR,且4W0；a>0且a/1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.

知识点二.指数函数图象的特点

1.画指数函数y=a，（a>0,且aWl）的图象，应抓住三个关键点：（1,a）,（0,1）,（一1,

2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数（l）y=a",（2）y=6，,（3）y=c",（4）尸"的图象，底数a,b,c,，与1之间的大小关系为

c>力>l>a>6>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数了=@*9>0,aWl）的图象越高，

底数越大.

3.函数尸a，与y=g『（a>0,且aWl）的图象关于y轴对称.

注意解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>l及0<a<l进行分类讨论.

考点一、指数函数的解析式

典例引领

1.（2022•北京•高考真题）已知函数/0）=2，则对任意实数x,有（）

A./(—%)+/(%)=0B./(—%)—/(%)=0

C./(-x)+/(%)=1D./(-x)-/(x)=1

【答案】C

【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误.

【详解】/(r)+f(x)=/+含=总+a=1，故A错误，C正确；

_-=

f(^)-/W=12-X=17771-不是常数,故BD错误;

故选：C.

2.(22-23高三上•江苏常州•阶段练习)若p：函数/(%)=(m2-3m+3)zn*是指数函数，q-.m2-3m+2-

0,则q是p的()条件

A.充要条件B.充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据命题p和指数函数的定义列方程解得小，根据命题q解得小，再根据必要不充分条件的定义判断

即可.

【详解】命题P真，则小？—3m+3=1,解得m=l或2,又小41,.，.巾=2；q为真，则m=l或2,

，q是P的必要不充分条件.

故选：C.

即0唧(

1.(21-22高三上•广东江门•阶段练习)若函数f(x)同时具有下列性质:①/(%+久2)=/(%)/。2)；②

当x6(0,+8)时，/(X)>1.请写出/(久)的一个解析式

【答案】/(%)=2久(答案不唯一)

【分析】由已知确定函数可为指数函数、增函数，随机写出一个即可.

【详解】因为/(勺+犯)=/(久1)/(%2)，故指数函数满足运算，又当xe(0,+8)时，/(x)>1,故指数函数

底数应大于1,函数可为：/(%)=2\

故答案为：f。)=2*

2.(2020高三•全国•专题练习)函数y=(2a2-3a+2)/是指数函数，则a的取值范围是

【答案】g}

【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于a的取值范围.

【详解】解:，.・函数y=(2a2—3a+2)a”是指数函数,・•・2a2—3a+2=1且a>0,aW1,由2a2—3a+2=1

解得0=1或。=5.・.0=/所以@的取值范围为：{1}.

故答案为：g}.

【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题.

3.(22-23高三上•黑龙江七台河•期中)设函数f(x)=°，且/(-2)=3,/(-I)=/(1),则

I乙,KWU

/(X)的解析式为.

【答案】/)=｛二之；°

【分析】根据八-2)=3,f(—1)=/(1)求出a,b,可得函数解析式.

【详解】因为函数解析式为f(x)则/(1)=21=2,则f(—l)=/(l)=2,

由/(一2)=3J(-1)=2可得，;„:六解得所以/出=「岁:,；。.

I—CL十。一/I。一J.I乙,尤仁U

考点二、指示函数求参问题

典例引领

1.(2023•全国•高考真题)已知/(%)=若三是偶函数，贝b=()

A.-2B.—1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义运算求解.

【详解】因为八久)=若三为偶函数，则fQ)-f(一乃=亳一苔=♦：<：：)>=。，

又因为工不恒为0,可得e%-e(a-1)x=0,即e%=e(a-1)x,

则》=(a—l)x,即1=a—1,解得a=2.

故选：D.

2.(江西•高考真题)已知函数£&)=｛。2孑'；/：'^^口)，若f(f(—l))=l,则a=()

A-JB.|C.1D.2

【答案】A

【分析】先求出/(-1)的值，再求/(/(-1))的值，然后列方程可求得答案

【详解】解：由题意得〃-1)=2-(T)=2,

所以f(f(一1))=/(2)=a.22=4a=1,解得a=；.

故选：A

【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题

即时检测

1.(2024.黑龙江齐齐哈尔・三模)若/(%)=需sin%为偶函数，则a=()

A.1B.0C.-1D.2

【答案】A

【分析】由已知/0)为偶函数，可得f(x)=f(-x),列方程求解即可.

【详解】由/0)=二：sinx,

得"一%)=?宴$也(一久)，

因为f(x)为偶函数，所以/(-%)=f(x)，

ol-ae~x./、l-aex.

BnJ-----sin(—x)=----sin%,

l+e-x')1+e%

所以一9三=三［=9与，解得a=l.

1+exl+exl+ex

故选:A.

2.(2024•全国•模拟预测)设a>0且aH1,若函数f(%)=(4%-3%)a%是R上的奇函数，则a=().

A.在B.如C.3D.在

6336

【答案】D

【分析】根据〃-1)=一/(1)求出a,然后代入验证即可.

【详解】由于函数f(x)=(*-3，)〃是R上的奇函数，

故/(T)=一/'⑴，则一看=—a,BPa2=2.

因为a>0,所以a=立.

6

当a=?时，f(x)=(4,一3，)(彳了，

则/⑺+/(-%)=(4-3，)+(4--3-)t

=*3,)(穿+=(2<=…3工)悍)1一(2.

=^•3,(5)-(2V3)X=(2—•3—+*-2--3^)=0

符合函数/(%)是R上的奇函数

故选：D.

3.(2024•贵州毕节•三模)已知函数/(X)=言是奇函数，若"2023)>f(2024),则实数a的值为

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.

【详解】因为函数/'(%)=晶是奇函数,

e-x-al-aex_ex-ci_a-ex

所以/(一汽)=xxx

e~x+al+ae~⑺——e+a-e+a"

解得Q=±1，

ex-a2a

又fix)1

ex+aex+a

所以当a>0时，函数为增函数，当a<0时，函数为减函数,

因为/'(2023)>/(2024),

所以a<0,故a=-1.

故选：B

4.(2024•全国•模拟预测)己知f(x)=)彳；2：；比0'是定义在R上的偶函数，则小一n=

\NNfX<U

()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】A

【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.

【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以〃1)=/(—1),即2巾+]=-3,

又/(0)=21+0-21-0=0,所以/(0)=m+n=0,

联立,6+2—123,解得巾=-2,n=2,

Im+n=0

经检验，m=-2,九=2满足要求，

故TH—n=—4.

故选：A.

考点三、指数函数的定义域与不等式

典例引领

1.(2022高三•全国•专题练习)设函数/(久)=7^万，则函数f(J)的定义域为()

A.[2,+8)B.[4,+8)C.(—8,2]D.(-8,4]

【答案】D

【分析】求出八》)的定义域后可求f◎的定义域，

【详解】因为f(x)=，4一2%,所以4一2尢20,故％W2,

故/(%)的定义域为(-8,2],

令|<2,则xW4,故f仔)的定义域为(一8,4].

故选：D.

2.(23-24高三下•北京•阶段练习)函数/(%)=/+—8的定义域为()

A.(-oo,-5)U(-5,-3)B.(-oo,-3)C.(-oo,-5)U(-5,-3]D.(-oo,-3]

【答案】C

r2%+iowo

【分析】令[gy_82o，运算求解即可得函数八%)的定义域―

(2久+10W0

【详解】令_8>0，解得X--3且x*-5,

所以函数f(x)的定义域为(—8,—5)U(-5,-3].

故选：C.

即反隹测

1.(21-22高三上•内蒙古乌海•阶段练习)已知函数/(久)的定义域为卜2,2],则函数9(久)=/(2乂)+6万

的定义域为

【答案】[-1,0]

【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解.

【详解】由条件可知，函数的定义域需满足｛了5?^"/)2,解得：-1WXW0,

所以函数g(x)的定义域是[-1,0].

故答案为：[-1,0]

2.(2024高三•全国•专题练习)设函数f⑺=P~X,弋，则满足f(久+1)<f(2x)的x的取值范围是

(J.)XU,

()

A.(-OO.-1]B.(0,+8)C.(—1,0)D.(―oo,0)

【答案】D

【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数

形结合求解.

【详解】(分类讨论法)根据指数函数单调性，当XW0时，f(x)单调递减;

而当x>0时，f(x)=l(为常数)，

,x+1<0,

成产+1>0,

故分以下两种情况：,2xW。，收2x<0.

.%+1>2x,

解得X<-1或-1<%<0,

综上可得x<0.

(数形结合法)作出f(x)的图像，如图:

结合图像可知“X+1)</(2x)Q｛久?j或2x<x+1<0,

解得一1<%<0或x<-1,

综上可得x<0.

故选：D

2x

3.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(久)=3A2_3-,则满足f(x)+/(8-3x)>。的x的取值范围是

()

A.(—8,4)B.(—co,2)C.(2,+8)D.(—2,2)

【答案】B

【分析】设g(x)=3X-3-x,即可判断g(x)为奇函数，又f(x)=g(x-2),可得f(x)图象的对称中心为(2,0),

则/O)+/(4—x)=0,再判断f(%)的单调性,不等式f(x)+/(8—3x)>0,即八8—3约>f(4—x),结

合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.

【详解】设g(X)=3%-3~x,xER,则g(-x)=3T-3X=—g(x),所以g(x)为奇函数.

X/(x)=3X~Z—32T_3X-2_3-0-2)_g又_2),

则/(乃的图象是由g(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，

所以“X)图象的对称中心为(2,0),所以/(X)+/(4一x)=0.

因为y=3、在R上单调递增，y=3一在R上单调递减，

所以g(x)在R上单调递增，则/(%)在R上单调递增，

因为/'(x)+f(8-3%)>0=/(x)+/(4-x),

所以/'(8-3x)>“4一乂)，所以8—3%>4—解得x<2,

故满足〃久)+f(8-3%)>0的x的取值范围为(一8,2).

故选：B

4.(2024高三•全国•专题练习)已知/(久)是定义域为R的奇函数，满足f(l)=2,且对任意0<<x2,

都有f(xi)-f(x2)>一］,则不等式“2*-1)<4-2工的解集为()

%1—%2

A.(—8,0)B.(0,+oo)C.(—8,1)D.(0,1)

【答案】C

【分析】首先由""1)一"")>一1得出/(%1)+。Vf(%2)+%2,设9(%)=/(%)+%，得出9(%)在［0,+8)上单

调递增，根据g(x)的奇偶性得出g(x)为R上的增函数，由不等式“2,-1)<4-2,得。(2工-1)<g(l),求

解即可.

【详解】由对任意0W与<%2,都有>—1,可得f(X］)+Xi</(七)+乂2，

xl-x2

令g(%)=/(%)+%，则函数g(%)=/(%)+%在［0,+8)上单调递增,

又汽eR,g(-%)=-g(%)，所以g(x)为R上的奇函数，

所以9(%)在R上是增函数.

不等式“2%-1)<4-2x,且f(1)=2,得/(2%-1)+(2X-1)<3=f(l)+1,

所以9(2工-1)<9(1),

所以差-1<1,即力<1,

故选：C.

考点四、指数函数的值域

典例引领

1.(23-24高三下•浙江丽水•开学考试)函数/(x)=1-3尢的值域是()

A.(-oo,l)B.(-co,1]C.[0,1)D.[0,1]

【答案】A

【分析】根据指数函数的性质，求得1-3工<1,即可得到f(x)的值域.

【详解】由指数函数的性质，可得3%>0,所以1一3/<1,即/(x)的值域是(—8,1).

故选：A.

2.(2024•上海杨浦•二模)若函数g(x)=广"为奇函数，则函数y=/㈤，比e(0,+8)的值域

为.

【答案】(0,1)

【分析】由奇函数定义可得y=/(%)解析式，即可求得值域.

【详解】当x>0时，一万<0,因为g(x)为奇函数，贝!|g(-x)=-g(x)=2-x-1=0-1,所以g(x)=

所以/(x)=l—©尸，xe(0,+8)时/(x)值域为(0,1).

故答案为：(0,1).

♦♦即时检测

1.(23-24高三下•北京•开学考试)函数/(久)=fx+1-x>0的值域为_________.

12X-1,%<0

【答案】(―l,0]U(l,+8)

【分析】根据分段函数的性质以及反比例函数、指数函数的性质即可得到答案.

【详解】当%>0时，/0)=(+1>1,

当x<。时，则-1<2,一1W2°—1,即-1<2X-1<0,

综上f(x)的值域为(—1,0]U(1,+8),

故答案为：(―+8).

2.(2024•贵州•模拟预测)已知函数/(x)=2--+2丫+3,则"%)的最大值是_.

【答案】16

【分析】求出t=-%2+2%+3的范围，根据复合函数的单调性求解.

2

【详解】由/'(x)=2--+2X+3,而i=_x2+2x+3=—(x—I)+4<4,

因为y=2t单调递增，所以y=2tW23则f(x)的最大值是16.

故答案为：16

3.(2024•全国•模拟预测)函数/(%)=•[^X~，x<0的值域为

llog2(x+2),%>0—

【答案】(0,肝((+8)

【分析】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得.

【详解】当xW0时，0</(%)=4X~2<4~1=I，

当久>0时，/(x)=log2(x+2)>1,

所以“X)的值域为(0曰U(1,+8).

故答案为：(0*]u(l,+8).

4.(23-24高三上•重庆沙坪坝•阶段练习)函数y=(|)的值域为,单调递增

区间为.

【答案】[1,3](开闭均可)

【分析】先求出函数的定义域，进而求出，-/+2%+3的范围,再根据指数函数的值域即可求出函数的值

域，根据复合函数的单调性和指数函数的单调性求出函数的单调增区间即可.

【详解】令一/+2%+3>0,解得一1<x<3,

V—X2+2X+3

©的定义域为[-1,3],

贝1」一%2+2%+3=—(％—1)2+4W[0,4],

所以+2%+3G[0,2],

/1、V—x2+2x+3J-i

所以G)山斗

7—妤+2%+3J-i

©的值域为七,1];

令t=A/—/+2%+3,%E[—1,3],

令〃=一/+2%+3,其在[一1,1)上是增函数，在[1,3]上是减函数，

而函数力=向在定义域内为增函数，

所以函数£=—2+2%+3在[-1,1)上是增函数,在口3]上是减函数，

因为函数y=是减函数，

所以函数y=g)的单调递增区间为[1,3].

故答案为：，4[1,3](开闭均可).

考点五、由指数函数定义域与值域求参

典例引领

1.(2022•海南•模拟预测)已知函数/'(%)=-a的定义域为［2,+oo),则<1=.

【答案】4

【分析】由已知可得不等式2,-a20的解集为［2,+8),可知x=2为方程2工-。=0的根，即可求得实数a

的值.

【详解】由题意可知，不等式度―a20的解集为［2,+8),则22—a=0,解得a=4,

当a=4时，由2才一420,可得2久24=22,解得x22,合乎题意.

故答案为：4.

2.(2023•上海浦东新•模拟预测)设/⑺=不匕+1).若函数y=/(x)的定义域为(一8,1)u(1,+8),

则关于x的不等式产>f(a)的解集为—.

【答案】［L+8)

【分析】由函数f(x)的定义域可求得实数a的值，可得出函数/(%)的解析式，求出f(a)的值，然后利用指数

函数的单调性可解不等式a，2f(a),即可得其解集.

【详解】若aWO,对任意的xeR,2x-a>0,则函数/(%)的定义域为R,不合乎题意，

所以，a>0,由2%—aK0可得x力log2。，

因为函数y=fO)的定义域为{x|x片1},所以，log2a=1,解得a=2,

所以，/(乃="(七+£)，则f(a)=f⑵=2(/+乡=2,

由谟>/(a)可得2,>2,解得x>1.

因此，不等式炉2/(a)的解集为［1,+8).

故答案为：［1,+8).

♦♦即时啊

1.(2022高三•全国•专题练习)函数f(x)=久(六+q)定义域为(-8,1)u(1,+8),则满足不等

式ax》f(a)的实数x的集合为.

【答案】{x|xel}

【分析】由题意可得a=2,/(%)+f(a)=f@)=2,由axNf(a),结合指数函数单调性可

求X

【详解】解：由函数/(%)=+定义域为(-8,1)U(1,+8),可知a=2

；•"")=”(途+》,/砌=/(2)=2

由ax》f(a)可得，2x22

故答案为：{x|x》l}

2.(23-24高三上•河南驻马店•期末)若函数/0)=/号有最小值，则根的取值范围是.

【答案】［-5,+8)

【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得；

【详解】函数y=2X+TH在(0,+8)上的值域为(m+1,4-co),

y=x2+4%在(—8,0］上的值域为［—4,+8),

则m+1>—4,即m>—5,

所以血的取值范围是［-5,+oo).

故答案为：［—5,+8).

3.(2024•四川成都•二模)已知函数/(%)=2*2-%+1的值域为M.若(1,+8)UM,则实数a的取值范围

是()

A.(―8用B.［o,1］C,u［i,+oo)D,［i,+co)

【答案】B

【分析】

对实数a分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.

【详解】当a=0时，/O)=2T+ie(0,+8),符合题意；

当。W0时，因为函数f(%)=的值域为M满足(1,+8)CM,

由指数函数的单调性可知，即二次函数y=a/一汽+1的最小值小于或等于零；

若a>0时，依题意有y=ax2—%+1的最小值^^<0,即0Va4%

若a〈0时，不符合题意；

综上:o<a<i,

故选：B.

考点六、指数函数过定点

典例引领

1.(23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)已知函数y=2谟-2一3">0且a*1)的图象恒过定点

P,则点P的坐标为.

【答案】(2,-1)

【分析】根据a。=1得出指数型函数恒过定点.

【详解】令久-2=0,得x=2,则y=2屋一3=-1.

所以函数y=2炉一2一3(。>0且。41)的图象恒过定点P(2,-l).

故答案为：(2,-1).

2.(23-24高三上•福建莆田•阶段练习)函数y=+2(a>0且a丰1)的图象恒过定点(k,6),若加+

ri=b—k且m>0,?2>0,则2+工的最小值为()

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.

【详解】函数y=+2(a>0且QW1)的图象恒过定点(1,3),所以m+九=3-1=2,

2(2+1)=(m+n)(2+工)=10+里+依210+2校=16,

\mnJ\mnJmn

・•・2(-+>16,8,

\mnJmn

当且仅当空=',即九=工,巾=三等号成立，

mn22

所以2+工的最小值为8.

mn

故选：B.

即时投丈

1.(23-24高三上•陕西西安•阶段练习)已知函数/O)=a，­+2(a>。且a丰1)的图像过定点P,且

角a的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P,则巴管;:应中。)等于()

sin(-n-a)

2233

A.--B.-C.-D.--

3322

【答案】A

【分析】先化简所要求的式子，又由于f(2)=a2-2+2=a°+2=l+2=3,所以/(乃=〃-+2过定点

P(2,3),进一步结合题意可以求出与a有关的三角函数值，最终代入求值即可.

[详解]cos(等-a”n映+a)=cos[工-(a+钏sin14"(a+到=cos[-(a+到sin(*)

sin2(3-n-a)[-sin(a+JI)]2sin2(n+a)

又因为cos1—(a+；)]=cos(a+；)=—sina,sin(«+：)=coscr,sin2(兀+a)=sin2a,

故原式二一sin：c°sa=一；；又/(%)=。%-2+2过定点P(2,3),所以tana="代入原式得原式二一;=-f.

sinzatana2tana3

故选：A.

2.(21-22高三上•上海奉贤•阶段练习)已知/(%)=ax-2+2(a>0,aW1)过定点P,且P点在直线+

ny=l(m>0,n>0)_b,则'+：的最小值=.

【答案】8+4V3/4V3+8

【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解.

【详解】/(%)=ax~2+2(a>0,aW1)经过定点(2,3),代入直线得2血+3n=1,

工+2=（工+9（2巾+3n）=8+m+%28+2户.%=8+4百,

mn\mnJmnmn

当且仅当m=%时等号成立

mn

故答案为：8+4V3

故答案为：5.

考点七、指数函数的单调性

典例引领

1.2023•北京•高考真题)下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

A./(x)=-InxB./(x)=表

C./(X)=-iD.f(x)=3吐」

【答案】C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.

【详解】对于A,因为y=In久在(0,+8)上单调递增，y=-%在(0,+8)上单调递减，

所以"%)=-Inx在(0,+8)上单调递减，故A错误；

对于B,因为y=2、在(0,+8)上单调递增，y=(在(0,+8)上单调递减，

所以"%)=/在(0,+8)上单调递减，故B错误；

对于C,因为y=：在(0,+8)上单调递减，y=-%在(0,+8)上单调递减，

所以/(x)=在(0,+8)上单调递增，故C正确；

对于D,因为/G)=3li-1l=35=V3,/(I)=311Tl=3。=1,/(2)=312Tl=3,

显然f(x)=3吐11在(0,+8)上不单调，D错误.

故选：C.

2.(2023•全国•高考真题)设函数=2我”。)在区间(0,1)上单调递减，贝必的取值范围是(

A.(—8,—2]B.[—2,0)

C.(0,2]D.[2,+00)

【答案】D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2》在R上单调递增，而函数f(x)=2，(x-a)在区间(0,1)上单调递减，

2

则有函数丫=双X-。)=(%—乎-一在区间(0,1)上单调递减，因此解得a22,

24Z

所以a的取值范围是[2,+8).

故选：D

即时检测

1.(2024•河南信阳•模拟预测)下列函数中，在其定义域上单调递减的是()

A./(%)=InxB./(久)=—tannC./(%)=x3D./(%)=|e~x\

【答案】D

【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对数函数f(x)=In久在其定义域(0,+8)上单调递增，A选项不满足条件；

f[x)=-tann=0为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件；

/(X)=/在其定义域(-8,+8)上单调递增，C选项不满足条件；

/(乃=怕-"=。在其定义域(-8,+8)上单调递减，D选项满足条件.

故选：D.

2.(2024•山西吕梁•二模)已知函数y=/(4%—/)在区间Q2)上单调递减，则函数/(久)的解析式可以为

()

A.—4x—x2B.=2⑶

C./(x)=—sinxD./(x)=x

【答案】A

【分析】根据复合函数单调性分析可知f(x)在区间(3,4)上单调递减，进而逐项分析判断即可.

【详解】因为t=4x—/开口向下，对称轴为t=2,

可知内层函数t=4久-/在区间(1,2)上单调递增，

当x=1,t=3；当x=2,t=4；

可知t=4x-x2e(3,4),

又因为函数y=/(4x-产)在区间(1,2)上单调递减，

所以/(t)在区间(3,4)上单调递减,即/(乃在区间(3,4)上单调递减.

对于选项A：因为函数/(x)=4%-/在区间⑶4)上单调递减，故A正确；

对于选项B：因为x6(3,4),则/(x)=2⑶=2乂在区间(3,4)上单调递增，故B错误；

对于选项C：因为x6(3,4)U(1,”)，则/0)=-$行%在区间(3,4)上单调递增，故C错误；

对于选项D：因为f(x)=x在区间(3,4)上单调递增，故D错误.

故选：A.

(x-a)(x+2)

©在区间(一1,2)上单调递增，贝帽的取值

范围是()

A.[0,6]B.[-2,0]C.[6,+00)D.(-oo,0]

【答案】C

【分析】令g(x)=(x-a)(x+2),结合指数型复合函数的单调性可知只需g(x)在区间(-1,2)上单调递减,

结合二次函数的性质得到不等式，解得即可.

【详解】令9(K)—(%—cz)(x4-2)=x2+(2—a)x—2a,

因为y=在定义域R上单调递减，

要使函数/(X)=在区间(-1,2)上单调递增，

则9(比)=X2+(2-a)x-2a在区间(—1,2)上单调递减，

所以瞪22,解得a26,

所以a的取值范围为[6,+00).

故选：C

4.(2024•广东广州•三模)函数/(X)=[2产?、其中a>0且a力1,若函数是单调函数，

则a的一个可能取值为一.

【答案】4(答案不唯一)

【分析】根据题意，f(x)在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.

【详解】因为a>0且a力1,若函数是单调函数，结合二次函数可知：/(x)在R上单调递增，

a>1

^<2,解得

zu4

a2<4a+5

故答案为：4(答案不唯一).

考点八、指数函数的图像

典例引领

1.(2020•山东•高考真题)已知函数y=/(%)是偶函数，当％E(0,+8)时，y=ax(0<a<1),则该函

数在(-8,0)上的图像大致是()

【答案】B

【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.

【详解】当x6(0,+8)时，y-ax(0<a<1),所以/'(x)在(0,+8)上递减，

/(X)是偶函数，所以/'(x)在(一8,0)上递增.

注意到<1°=1,

所以B选项符合.

故选：B

【变式8-112.(2023•天津•高考真题)已知函数/(外的部分图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为

()

*X2+2•x2+l

【答案】D

【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+8)上的函

数符号排除选项，即得答案.

【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且/(-2)=/(2)<0,

由泮骁=一等且定义域为R,即B中函数为奇函数，排除；

(-x)z+lx2+l

当x>0时5：；；)>。5仁；)>0，即A、C中(0,+8)上函数值为正，排除；

故选：D

即时投测I

1.（•四川•高考真题）函数y=+1的图象关于直线y=久对称的图象大致是（)

【分析】作出函数y=住+1的图象，再结合对称性可得合适的选项.

【详解】函数y=（J*+1的图象可视为将函数y=G）”的图象向上平移1个单位,

所以，函数y=+1的图象如下图所示：

所以，函数y=Q）X+1的图象关于直线y=x对称的函数的图象如A选项中的图象.

故选：A.

2.（2024•河北保定-二模）函数f（%）=三三8s2%的部分图象大致为（）

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性判断即可.

【详解】设g(x)=F，则。(一x)=W=-g(x)，

所以g0)为奇函数,

设九(%)=cos2x,可知h(%)为偶函数,

所以/(>)=Hcos2x为奇函数，则B,C错误,

1+e"

易知f(0)=0,所以A正确，D错误.

故选：A.

3.(2024•天津•二模)已知函数y=f(久)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为().

A・小)=尧R-=SC-nX)=V=D.f(x)=总

【答案】D

【分析】根据"0)=0排除A,根据定义域排除B,根据奇偶性排除C,进而可得答案.

【详解】对于A,/(%)=铛在x=。处无意义,故A错误；

ex-l

对于B：/(X)=3蓝的定义域为R,故B错误；

对于C：/(x)=启三的定义域为W±1),

且/(—%)=建窑=谷=〃为，则f(久)为偶函数，故C错误；

■yXJJ.vX-J.

对于D,/(%)=万条满足图中要求，故D正确.

故选：D.

考点九、指数函数模型的实际应用

典例啊

1.（2024•广东茂名•模拟预测）自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，

随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软

件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网

络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx=言］，经过某次测试得知tanhx。=£则当把变量减半时，

tanh—=（）

2

A.|B.3C.1D.1或3

【答案】A

【分析】根据题意，由tanh&=|得至！|M。=2求解.

【详解】解：•••tanhx=gW=|,

e%o+e一%o5

xx

...e2x0=4,e°=2,e°=—2（舍）.

Xp_X0

.".ttaannhn殛—-ev2-er2j7—_

2e竽n+e-竽*v。+1

tanh-=

23

故选:A

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有

关规定：100mL血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80111g及以上认定为醉酒驾车.假设

某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：

lg3x0.48,lg7x0.85)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】设经过x个小时才能驾驶，贝10.6x100x（1-30%尸<20,再根据指数函数的性质及对数的运算

计算可得.

【详解】设经过x个小时才能驾驶，贝依.6x100x（1-30%/<20即0.7,<

由于y=。./在定义域上单调递减，"log0,7|=篇=鼾=^=黑=32

他至少经过4小时才能驾驶.

故选：D.

即时

1.（2024•四川德阳•三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知

某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：。C）满足函数关系.y=eax+b（a,b.为常数），若

该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则

物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.

【详解】依题意，卜2誓,则/a=I,即e7a=I,显然a<0,

"=3293

21a+b21a+fi14a+b

设物流过程中果蔬的储藏温度为t℃,于是eat+b296=3•e=e-7a.e=e,

解得at+b214a+b,因此tW14,

所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃.

故选：A

2.（2024•江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯•