指对运算（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第06讲指对运算

（6类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质、比较指数塞的大小、判断

2024年天津卷，第2题,5分

一般事函数的单调性

2024年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2023年天津卷，第3题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2022年天津卷，第5题,5分对数的运算、对数的运算性质的应用

2022年天津卷，第6题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2021年天津卷，第5题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2021年天津卷，第7题,5分运用换底公式化简计算

2020年天津卷，第6题,5分比较指数幕的大小、比较对数式的大小

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化

2.能掌握对数的换底公式

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。

12•考点梳理，

1实.数指数幕运算法则｛考点一、根式与分数指数幕运算

C知识点一.指数运算2.分数指数鬲的意义与运算法则

3.两个根号的区别

指对运算考点二、对数运算

1对.数与指数的关系考点三、指对运算综合

知识点二.对数运算2.对数的基本性质考点四、指数函数中的条件等式

3.对数恒等式：考点五、指对等式比较大小

考点六、指对最值问题

知识讲解

知识点一.指数运算

L实数指数事运算法则

(1)aras=ar+s(a>0,r,sGR).

⑵==。…(心。，乙eR)

ass

(3)(ar)s=Q(a>0,r,sGR).

(4)(abY=arbr(a>0,b>0,r£R).

2.分数指数塞的意义与运算法则

m__m11

(1)。元沆，a~n=-^=—(其中a>0,m,T?£N*,且刀>1).

anir7a

(2)0的正分数指数累等于0,0的负分数指数累没有意义.

3.距瓦与(砺)”的区别

(1)府是实数心的〃次方根，是一个恒有意义的式子，不受〃的奇偶限制，但这个式子的值受〃的奇偶限

制.

其算法是对a先乘方，再开方(都是〃次)，结果不一定等于a,

当〃为奇数时，

__[a,己20,

当刀为偶数时，y/a^=Ia|=\

[—a,水0.

(2)(版)〃是实数a的〃次方根的〃次累，其中实数a的取值范围由〃的奇偶决定.其算法是对a先开方，后

乘方(都是〃次)，结果恒等于a.

知识点二.对数运算

1.对数与指数的关系

当a>0,且a丰1.时，a*=A-x=Log/

2.对数的基本性质

(1)负数和零没有对数，即N>0；

(2)logal=0(a>0,aWl)；

(3)logaa=1(a>0,aWl).

3.对数恒等式：

①/。斓=N(a>0且aAl,N>0)；②logaaN=N(a>0且aHl).

4.对数的运算法则

(1)如果a>0,且M>0,N>0,那么：

n

loga(MN)=logaM+logaN：loga-=logaM-logaN；logaM=nlogaM(neR)；

(2)换底公式：logg=鬻史>0,且aWl；c>0,且cWl；b>0).

(3)可用换底公式证明以下结论：

⑪。成=六；

@loga,死=1；

③log"=loga；

④log器=争。成；

⑤log：=-Io或.

a

考点一、根式与分数指数募运算

典例引领

1.(2024•广东•模拟预测)若盯=3,则比J|+yJ|=

【答案】±2V3

【分析】

分工>0,y>0和％V0,y<0两种情况分类计算.

【详解】当第>0,y>0时，=y/xy+^fxy=2A/3,

当久<0,y<0时，久+y=—y[xyH——yfxy=-2A/3.

故答案为：±2百

2.(2024高三•全国・专题练习)化简下列各式：

2

⑴弛.064,251伺_“。二

Ja3b2Vab2

(2)/ii\4(a>0,b>0=

\aib2]a~3b3

ii

(3)设%5+%-5=3,则%+%-1的值为

【答案】o/ab-17

【分析】（1）根据指数塞的运算性质，化简求值，即得答案;

（2）将根式化为指数累的形式，结合指数暴的运算，即可求得答案;

11

（3）将蓊+乂-5=3平方，即可求得答案.

2

[详解](1)[(0.064)2'53-隹一JI°

12

3X-25X

□/4xX5()3

3

--1

2

|-|-1=0.

11

(3)因为蓊+久一5=3,

x+X-1—(X2+-2=32-2=7.

故答案为：⑴。；⑵去（3）7

即时性测

1.（23-24高三上•北京丰台•期末）已知/（%）=空-4-工，则f（一|）+/（1）=.

【答案】0

【分析】由解析式直接代入求解即可.

【详解】因为/（｝=*-4号=2-|=|,

1111a

所以=0.

故答案为：0.

2.（23-24高三上•上海奉贤•阶段练习）已知a>0,将向后化为分数指数哥#形式，贝必=【答

案】|

【分析】利用根式转化为分数指数事，再根据指数幕的运算法则即可.

【详解】y/ayJa=Ja•成=

故答案为：:

4

3.(23-24高三上•上海闵行•期中)已知函数f(x)=高?若实数m,n满足27n+71=3mn,且/(m)=

则f(n)=.

【答案】4

【分析】由题设可得4•2巾=—3m>0,结合2m+n=3nm得—；■2"=n,即可求/(n).

77n1

【详解】由题设/(m)=2.+37n=则4•2血=一3m>0,故zn<0,

O-1

又27n+九=3mn,则——m•2n=3mn=---2n=n,

44

所以/⑺=-^―=——=4.

)''2n+3n2n---2n

4

故答案为：4

4.(20-21高三上•天津滨海新•阶段练习)计算：

_1

⑴(V2xV3)6+(-2019)°一4x得)2+7(3-7T)4

(2)log2.56.25+IgO.OOl+21nVe-21+10^3

【答案】(1)99+兀；(2)-6

【分析】(1)根据指数幕的运算法则，化简整理，即可得答案.

(2)根据对数的运算性质，计算化简，即可得答案.

【详解】⑴(V2XV3)6+(-2019)°-4x+V(3-7T)4=22X33+1-4|3-TT|

7

=4x27+1—4x—+兀-3=99+兀；

4

(2)log2.56.25+IgO.OOl+21n五一2i+1°g23

=log2,52.524-IglO-3+Ine—2X2Iogz3

=2—3+1—2x3=-6

【点睛】易错点为：在化简历时，，需注意括号内a的正负，考查计算化简的能力.

考点二、对数运算

典例引领

1.(23-24高三上•天津和平•期末)计算31+1呜2+lg5+log32xlog49xlg2的值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】直接由指数、对数的运算性质运算即可.

【详解】由题意3】+i°g32+ig5+log32Xlog49xlg2

log32*23

=3x3+lg5+log32xlog223xlg2

=3x2+lg5+log32xlog23xlg2

=6+(lg5+lg2)=6+1=7.

故选：C.

2.(2023•全国•模拟预测)求值：lg(727+10V2+727-10V2)=.

【答案】1

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算即得.

【详解】lg“27+10&+727-10V2)=lg(J(5+V2)2+J(5—位产)=lg(5+V2+5-V2)=IglO=

1.

故答案为：1

即时检测

1.(全国•高考真题)已知函数/(无)=log2(>2+a),若/(3)=1,则。=.

【答案】-7

【详解】分析：首先利用题的条件«3)=1,将其代入解析式，得到〃3)=log2(9+a)=1,从而得到9+a=

2,从而求得。=-7,得到答案.

详解：根据题意有f(3)=/0比(9+£1)=1,可得9+a=2,所以a=-7,故答案是一7.

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，

需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

2.(2024•全国•模拟预测)在等差数列｛a九｝中，已知的与是方程2/一%+根=。的两根，则

©log(a+a+",+aii)

412=()

A.叵B.2C.旦D.U

111142

【答案】B

【分析】由韦达定理得到5再由等差数列的性质得到的+。2+•••+的］的值，结合指数、对数的

运算法则可求值.

【详解】因为与。9是方程2/-X+m=0的两根，由韦达定理得&3+=｝

a

因为数列｛即｝为等差数列，所以的+=a?+io==2a6=3,a6=

24

4

所以G常&+劭+…+aQ=(工产1。6=常=210g4±=2iog2^p=造

故选：B.

3.(2024•北京•三模)使Iga+\gb=lg(a+6)成立的一组a,b的值为a=,b=.

【答案】2(答案不唯一)2(答案不唯一)

ab=a+b

【分析】根据题意结合对数运算分析可得a>0,取特值检验即可.

、b>0

ab=a+b

【详解】若Iga+Igb=lg（a+b）,则Igab=lg（a+b）,可得a>0，

、b>0

例如a=b=2符合上式.

故答案为：2；2.（答案不唯一）

4.（22-23高三上•天津静海•期末）lg4+lg25+£x/=-

【答案】5

［分析］根据对数和分数指数幕的运算法则即可求得结果.

【详解】由题可知，

121

lg4+lg25+93xV3=lg（4x25）+3$x3$=IglOO+3=2+3=5

故答案为：5

5.（23-24高三上•山东•阶段练习）己知1,2,2,2,3,4,5,6的中位数是a,第75百分位数为6,则

也4+也。+（嬴）功=---------

【答案】蔡

【分析】由中位数、百分位数的概念结合对数运算、幕运算即可求解.

【详解】由题意得。=等=2.5,6=手=4.5,

所以lg4+Iga+岛『=Igio+1

故答案为：林.

考点三、指对运算综合

典例引领

X

1.（2023•北京•高考真题）已知函数f=4+log2x,则fQ=.

【答案】1

【分析】根据给定条件，把x=?弋入，利用指数、对数运算计算作答.

X

【详解】函数/'（x）=4+log2x,所以/'（I）=45+log2|=2-1=1.

故答案为：1

2.（2024•全国•三模）若a>1,贝卜电（3）-（但外做的值是（）

A.零B.正数C.负数D.以上皆有可能

【答案】A

【分析】b=Iga,则。=10%代入已知利用指数、对数运算化简求解即可.

【详解】令b=Iga,则a=10b,由a>1得b>0,

所以aigOga)-(lga)3=-bb=101g.-bb=0.

故选：A.

即时检测

I_________L__________

1.(2024•广东•二模)已知正实数771,几满足工Inm=ln(zn—2几)—工Irm,则巴=()

22m

A.1B.C.4D.1或2

【答案】B

【分析】利用对数运算法则化简等式，列出关于乌的方程求解即得.

m

【详解】由[In血=ln(zn—2几)一1In几，得InSnn=ln(m—2几),因此Snr=?n—2=>0,

整理得2(肾+2-i=o,解得户=L,即2=工，经检验符合题意，

、m7mvTn2m4

所以2=3

m4

故选：B

2.(2024高三下•河南•专题练习)已知实数几满足zn+Inm=4,nlnn+n=e3,则nm的值为()

A.e2B.e3C.e4D.e5

【答案】B

【分析】利用指对数的运算性质将式子等价变形，构造函数fQ)=/+%-4,根据函数的单调性可得Irrni=

3-Inn,进而可求解.

【详解】由Tn+Inm=4,?21rm+n=e3,得e1117n+Inm—4=0,e3-lnn+3—Inn—4=0.

令/(%)=ex+%—4,由于y=ex,y=x—4均为单调递增函数，所以/(%)在(―8,+8)上单调递增，

又/(Inm)=/(3—Inn),所以Inzn=3—Inn,所以In(rzm)=3,所以nm=e3.

故选：B.

3.(2024•江苏•模拟预测)已知％1+2X1=4,牝+1og2%2=4,则％】+冷的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】利用函数/(%)=%+2%的单调性结合指数对数的转化可得%1=log2%2,再计算即可.

【详解】令f(%)=x+2x,显然函数f(%)=久+2%为R上单调递增函数，

log2%2

又f(%i)=%i+2%i=4,/(log2%2)=1og2%2+2=4,

以％i—】Og2%2nX]+%2=4.

故选：C

4.(2024•江苏南通・模拟预测)方程无皿3+xln4=%垣5正实数解为

【答案】e2

【分析】运用对数的运算性质先证/og"=clog&a,可得原方程为31nx+41nx=51nx,%>0,可得glnx十

(i)lnX=1,再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解.

【详解】先证a1°gbc=clogz?a(a>0且aH1,b>0且bH1,c>0且cH1),

令小g"=m,cXogba=n,两边取b为底的对数，

log&a

可得logb?n=log》Qi°gbC=log》c•log》。，log匕九=loghc=log^a-logbc,

所以logb?n=log>几，所以m=n,即a1°g匕c=丑8匕。，

lnXlnx

则”3+xln4=”5(x>0)即为31n%+4=5(%>0),

可得铲+暖=1,

由于y=lnx在(0,+8)上单调递增，y=(l)X，y=(£)”在R上单调递减，

InxxInx

©,y=/6A)在(0,+8)上单调递减，

Inx/八Inx

©+g)在(0,+8)上单调递减，

22

又Inx=2时，即x=e2时，有6)+(。=1，

则原方程的解有且只有一个为x=e2.

故答案为：e2

【点睛】关键点点：本题关键是对数恒等式aiog"=ciog/的应用.

5.(23-24高三上•天津南开•阶段练习)设。="820+年西”=1。843,贝Ua+2b的值为()

A.1+V3B.1+V5C.26D.27

【答案】A

【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.

【详解】因为a=?g20+1g4=lgV20+lgV5=lg(V20xV5)=IglO=1,

2b=21Og43=421Og43=4，log4b-W，

所以Q+2b=1+V3.

故选:A.

考点四、指数函数中的条件等式

典例引领

1.(23-24高三上•天津•期中)已知4a=5,log89=6,则22a-3b=()

525

A.-B.5C.—D.25

99

【答案】A

【分析】根据指数、对数运算求得正确答案.

2

【详解】4a=22a_5/log89=log233=|log23=b,

23blog29

3b=21og23=log23=log29/2=2=9,

所以22所3〃=募=§.

故选：A

2.（2020•全国・高考真题）设alog34=2,则4一。=（）

A.—B.-C.-D.-

16986

【答案】B

【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,

所以有4-a=：,

故选：B.

【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则,

属于基础题目.

1.（2024•全国•模拟预测）已知m,n,p是均不等于1的正实数,加工=712y=p3z,z=」竺，则噌=（

x+ypJ

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】c

【分析】设m*=n2y=p3z=t,贝/＞。且t羊1,由指数式化为对数式，根据z=包得到乙+工一工=o,

x+yxyz

2

由换底公式和对数运算法则得到方程，求出log-詈=0,得到答案.

【详解】设zn*=n2y=p3z=t,则方＞0且tW1,

.*.%=logt=—,2y=logt=,3z=logt=

bmbnp

logtm/logtnbPlogtP

显然居y,zH0,贝！Jlogt/n=210gMi=5310gtp=p

由z=得xz+yz=xy,即yz+xz—xy=0,

等式两边同除以孙z得，iA-l=0,

x+yz

其中（+]一]=logt爪+21ogtn-310gtp=logt*

2zmn^7

故logt方mn"=°，^F=1-

故选：C.

2.（2024•全国•模拟预测）已知2工=3〃=4z=6,贝壮+三+工=

xyz----

【答案】3

【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系，再利用对数的运算性质及换底公式计算得解.

【详解】依题意，X-log26,y=log36,z=log46,

-1Q1-1O1

则-+-+-=-~

-=log62+31og063+lo0g64=0log6216=3.

xyzlog26log36log460

故答案为：3

3.（2023,全国•模拟预测）已知b=7^-,则心=.

【答案】e2

【分析】利用指数式与对数式互化关系及指数运算法则求解即得.

22

【详解】由6=（9,得Ina=马9即a=e万，所以力=（*）匕=e2.

故答案为：e2

4.（23-24高三上•天津•期中）若log2（2/）=a,8b=2或，则a+b=.

【答案】2

【详解】利用指数运算、对数运算求出瓦a即可得解.

【分析】依题意，a=log???=|,23b=25,即36=|,解得6=%

所以a+b=三+工=2.

22

故答案为：2

5.（23-24高三上•天津和平•阶段练习）已知3a=5〃且？+<=1,则a的值为

【答案】2+log35

【分析】设3。=5"=>0,可得a=logsKb=logsk，代入已知等式，结合对数的运算即可求得k,进

而求得a的值.

【详解】由题意3a=5匕，则设3a=5"=k,k>0,

故a=\og3k,b=log5K

故马+：=1，即i2+=1,艮口210gze3+logfc5=1,

ablog3klog5/co"0”

故logk45=1,••・k=45,所以a=log345=2+log35,

故答案为：2+log35

考点五、指对等式比较大小

典例引领

1.（2024•河南•二模）"Inx>Iny”是“x1>丫2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】分别求出两个命题的充要条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为In%>InyQ汽>y>0,%2>y2<=>|%|>\y\>0,

所以"In%>Iny”是"%2>y2"的充分不必要条件，

故选：A.

2.（2024•湖南-二模）已知实数。>b>0,则下列选项可作为Q-b<1的充分条件的是（

A.yfa—y/b=1B.---=-

ba2

C.2a-2b=1D.log2a—log2b=1

【答案】c

【分析】利用特殊值判断A、B、D,根据指数函数的性质证明C.

【详解】取a=4,b=1,满足正一伤二1,但是推不出a-bV1,故排除A；

取。=2,b=1,满足:一工=：,但是推不出故排除B；

ba2

取a=4,b=2,满足log2。一log2b=1，但是推不出Q-bV1，故排除D；

由2。-2b=1,a>b>09可推出2a=2匕+1V2"i,即a<b+l,即a—b<l,故充分性成立.

故选：C.

1

1.（2024•天津南开•二模）已知a=log62,b=logzy，c=G］，则（）,

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

【答案】C

【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得。、氏c范围，即可判断.

【详解】因为。=叫序=震>黑=1，

blo3

=g2y=^og22~2=0<c=Q）<Q）=1,

故a>c>b.

故选：C.

2.（2024•天津河北•二模）若a=3。？/）=log。$3,c=0.32,则a,b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】D

【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得.

0,52

【详解】依题意，a=3>30=l,b=log053<log05l=0,c=0.3=0.09,

所以b<c<a.

故选：D

03

3.（2024高三•天津•专题练习）若。=4.2-。，3,b=4,2,,c=log420.3,则a,6,c的大小关系为（）

A.a>b>cB,b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【分析】因为y=4.2力在R上递增，得出0<a<l<6,又因y=log^尤在（0,+8）上递增，可得c<0.

【详解】y=4.2久在R上递增，<-0.3<0<0,3,

所以0<4.2-0-3<4.2°<4.20-3,所以0<4.2-0-3<1<4.203,即0<a<1<b,

因为y=log,zX在（0,+8）上递增，且0<0.3<1,

所以

log4,20.3<log42l=0,

即c<0,所以b>a>c,

故选:B.

4.（2021•全国•高考真题）己知a=logs2,b=log83,c=|,则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.

【详解】a=log52<log5V5=|=log82V2<log83=b,即a<c<b.

故选：C.

5.（2024•天津•二模）设a=log23^=1.3°9,0*=1.3,贝加仇c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】利用对数函数和指数函数的单调性再结合两个中间量“0”和“!”比较大小即可.

【详解】log23>log2V8=log225=I，a>I，

0<1.309<1.30<b<-,

22

c

・.・0.9=1.3,­•-c=log091.3<log09l=0,

•••c<0,c<b<a.

故选：C.

6.（2024•北京昌平・二模）若0<aVb<1,c>1,贝！J（）

bacc

A.c<cB.logca>logcbC.sin：>sin：D.a<b

【答案】D

【分析】构造函数丫=c%,根据函数的单调性判断A选项；构造函数y=logc》（%>0）,根据函数的单调性

判断B选项；构造函数丫=5也%,根据函数的单调性判断C选项；构造函数y=根据幕函数的性质，判

断D选项.

【详解】A：构造函数、=产，因为c>l,所以y=c%为增函数，

又因为0<aVb<l,则有犬>/,所以A错误；

B：构造函数y=logc%(x>0),因为c>l,所以y=logc%(%>0)为增函数，

又因为0<QVb<l,则有log/<log*，所以B错误；

C：因为0VaVbV1,所以工>工>1,又c>1,贝！J*>工>1,

abab

构造函数丫=sin%,当%>1时，函数y=sin%不单调，

所以无法判断$徐£与5[后的值的大小，C错误；

D：构造函数y=%c,因为0VaV力<l,c>1,所以函数y=汽。在(0,+8)上单调递增，

有片</,D正确.

故选：D.

考点六、指对最值问题

典例引领

1.(2023•全国•模拟预测)已知m>0,0<几<2,且log2si+n)=log4(m+九)+log4(2-冗)，贝+(

的最小值是()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【分析】首先利用对数运算求得m+2rl=2,再利用“1”的妙用，结合基本不等式，即可求解.

【详解】由log2(ni+ri)=log4(m+n)+log4(2-九)得log2(zn+n)=-log2(m+n)(2-n),

2

所以210g2(m+n)=log2(m+几)(2—n),所以(zn+n)=(m+n)(2—n),

BP(m+n)(m+2n-2)=0.因为7n>0,0<n<2,

所以m+2n=2,3+[=久m+2n)(3+£)=]x(4+*(4+2何=4

当且仅当鲤=―,即m=2n=1时，等号成立.

mn

故选：C

2.(2024•全国•模拟预测)若2、-4'=鱼，X,yGR,则％—y的最小值为()

135

A.-B.-C.-D.4

224

【答案】c

-)2X.一

【分析】构造4>y=%,变形2'=4，+苗,然后用基本不等式求出结果即可.

4y

【详解】因为4=4*+迎，

所以4>y=丝=9包=44+2调.+2=犷+2+2vL

4y4y4y4y

因为2y>o,所以4y+5n2J4yx5=2V2.

L5r

所以4%-J>4V2=44,即％—y>-.

174

当且仅当4y=2,2X=4〉+VL即y=；,久=：时等号成立,

4y,42

所以％-y的最小值为

故选：C.

.即_时__检__测___

1.(2023•全国•模拟预测)己知点P(a,b)在直线y=2x—2上，则4。+(今”的最小值为(

)

A.—B.—C.4D.2

48

【答案】c

【分析】根据点P(a,6)在直线上得a,b关系，然后由基本不等式可得.

【详解】因为点P(a,b)在直线y=2刀一2上，则b=2a—2,即2a—b=2,

62ab

所以4a+Q)=22a+2-b>2V2X2-=2M22a-b=2〃=4,

当且仅当摩;即a=%6=-1时，其取得最小值4.

故选：C.

2.(2023•全国•模拟预测)已知正数％,y满足lg(2y-％)=lg(2y)-1g%,则y的最小值为()

1

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】C

【分析】先根据对数的运算得y=再利用基本不等式求解.

2VX-1J

【详解】由正数％,y满足lg(2y-x)=lg(2y)-Igx,得lg(2y-％)=Igy,

所以2y-%=§,y=结合％>0,y>0,得％-1>0,

所以y=-^―=U)+y=1[(X-1)+J-+21>-(2l(x-l)--+2)=2,

当且仅当久一1=工时，即x=2时取等号，

x-1

故选：C

3.(2022•河南•模拟预测)若实数x,y满足>+犷=2X+2^,则x+2y的最小值为(

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】由条件结合基本不等式求x+2y的最小值.

【详解】因为*+4〉=2*+22y>212%+2y,又2》+4>=2X+2^

所以2工+2>>2丁+1

所以x+2yN2,当且仅当x=1,y=；时取等号，

所以久+2y的最小值为2,

故选：C.

4.(2022•辽宁•模拟预测)已知实数a,b满足a?+logab=1,(0<a<1),则夕og》a-a2的最小值为

()

A.0B.-1C.1D.不存在

【答案】A

【分析】由题设条件可得logab=1-。2,从而利用换底公式的推论可得，代入要求最小值的

代数式中，消元，利用均值不等式求最值

22

【详解】a+logaZ?=1=>logah=1-a=>log6a=

又0<a<1,则0<1-a2<1

22

ilogba-a=+(l-a)-l>2x(1—-1=0

当且仅当Uw=1-a2即a=学时取等号

4(l-a2)2

故选:A

5.(2023•全国•模拟预测)若3勺+於3丑23,则当2取得最小值时，q=—.

【答案】log3|

【分析】分离参数，利用基本不等式即可得到答案.

【详解】根据指数函数值域可知3-q>o,

则依题意得22詈=3勺(3-3勺)，而3勺(3-3勺)<丝笠竺，

当且仅当31=|,即q=log，时等号成立，故％21og3|.

故答案为：logs*

fl好题冲关

基础过关

1.(2024•河南开封•三模)已知aloggd=1,则2一。=()

111

A.-B.-C.-D.3

983

【答案】c

【分析】运用对数与指数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求得.

【详解】由alog94=1可得4a=9,即(2。)2=9,2a=3,故2"=1.

故选：C.

2.(23-24高三上•山东潍坊•期中)将搐写成分数指数幕的形式为()

Va4

4_47_7

A.ayB.a~C.加D.a~Z

【答案】B

【分析】根据根式与指数暴的互化即可求解.

【详解】将会写成分数指数幕的形式为

故选：B.

3.(23-24高三上-四川•期末)log3216—310g32=()

7346

A.--B.--C.--D.--

5455

【答案】D

【分析】利用换底公式和对数运算法则计算出答案.

【详解】10g3216-3幅2=鬻-2=H

故选：D

x

4.(2024•北京丰台•二模)已知函数/(久)=2,g(x)=log2(x+1),那么.

【答案】1

【分析】先求出g(0),再求/'(9(0))即可.

【详解】易知g(0)=log2(0+1)=0,故/(g(0))=/(0)-2°-1,

故答案为：1

a

5.(23-24高三上•浙江宁波•期末)已知a+2=log2b+b=3,求2。+>=.

【答案】8

【分析】利用函数的单调性解方程，得到a,b的值，问题即可解决.

【详解】设八%)=尤+2，，则久久)在(-8,+8)上为增函数，且外1)=1+21=3,所以a+2a=3只有一

解：a=1；

同理：方程b+log2b=3只有一解：b=2.

所以：2。+〃=23=8.

故答案为：8

6.(2023•四川德阳•一模)已知107n=2,10皿=3,则2爪+lg25+IO"1-71=.(用数字作答)

【答案"

【分析】利用指数对数的运算性质计算即可.

【详解】10m=2,10n=3,・,.m=lg2,n=lg3.

101g228

・•.2m+lg25+10m-n=21g2+lg25+10厄2Tg3=]+]5+-=IglOO+-=

g4g210呜333

故答案为：?

7.（2024•上海浦东新•三模）已知a=lg5,贝iJlg20=（用a表示）

【答案】2—a/—a+2

【分析】根据对数的运算性质计算即可.

【详解】由a=lg5,

得lg20=IglOO-lg5=2-a.

故答案为：2-a

B能力提升

1.（2024•四川•模拟预测）若实数m,n,t满足5机==t且工+工=2,贝1=（

mn

A.2V3B.12C.V5D.V35

【答案】D

【分析】根据指对数的互化可得m=logt,n=logt,代入工+工=2,即可计算得至股的值.

57mn

【详解】因为5nl=7n=t且工+工=2,易知t＞。且t中1,

mn

所以m=log53n—log7t,

所以\=logt5,=logt7,

所以A+：=logM4-logt7=logt35=2,贝ijt=V35.

故选：D.

2.(2024•青海•模拟预测)若a=log35,5b=6,贝！Jab-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.

【详解】由5b=6=b=log56,

所以ab-log32=log35-