直线与圆综合-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点25直线与圆的综合【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1圆的弦长与中点弦问题】...............................................................2

【题型2圆的切线及切线方程问题】............................................................4

【题型3直线与圆中的面积问题】...............................................................7

【题型4直线与圆中的最值问题】..............................................................II

【题型5距离及其新定义问题】................................................................14

【题型6阿波罗尼斯圆】......................................................................16

【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】...............................................19

【题型8直线与圆中的向量问题】..............................................................24

【题型9直线与圆中的探索性问题】...........................................................26

►命题规律

1、直线与圆的综合

直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与

圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出

现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1直线与圆相交时的弦长求法】

1.圆的弦长的求法：

设直线/的方程为夕=依+6,圆C的方程为(x—XoF+S—%)2=/,求弦长的方法有以下几种:

(1)几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离4、弦长/三者具有关系式：r2=e/2+(1y.

⑵代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为/(%,乂),8(x2,改).

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

y=kx+b

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元

22

(x—XO)+(y—yof=r

二次方程中根与系数的关系可得4+X2,x-X2或“+y2,yi-y2的关系式，通常把|/2|=晶一或

\AB\=yjl+/|弘一门|叫作弦长公式.

【知识点2圆的切线及切线方程问题】

1.自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2.求过圆上的一点的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率网原0),则由垂直关系可知切线斜率为由点斜式方程可求

得切线方程.如果Q0或左不存在，则由图形可直接得切线方程.

(2)重要结论：

2

①经过圆了2+=/2上一点p(x0,y0)的切线方程为Xo%+yoy=r.

②经过圆(x—〃)2+(y—6)2=/2上一点p(xo,yo)的切线方程为(%0—。)(%—。)+(%—6)(y—b)=*.

2

③经过圆/+y+Dx+Ey+F=Q上一点P(x。,%)的切线方程为+yoy+D-土产+E•芍凶+F

=0.

【知识点3解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】

1.利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题的解题方法

直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标一函数关系式，然后根据函数关系式的特征选

用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几

何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如片匕心的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x—a

②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如(x—a)2+3—⑦2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

►举一反三

【题型1圆的弦长与中点弦问题】

【例1】(2024•河南•模拟预测)直线I:久+y=l,圆C:/+产一2久一2y一2=0.则直线I被圆C所截得的弦

长为()

A.2B.2V3C.2V7D.V14

【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利

用勾股定理即可求解.

【解答过程】圆C的标准方程为1)2+3—1)2=4,

由此可知圆C的半径为r=2,圆心坐标为

所以圆心C(l,l)到直线I:x+y=l的距离为d=粤粤=4，

V1^+1^z

所以直线被圆截得的弦长为2V?亡万=2卜_倒=V14.

故选：D.

【变式1-1](2024•全国•模拟预测)已知直线Z:y=x+m(7n>0)与。C:(x-+y2=2交于力，B两点,

若1ABi=2,则爪=()

A.1B.V2C.V2-1D.V3-1

【解题思路】如图，根据点到直线的距离求出圆心C(l,0)到直线〃久-y+a=0的距离，由垂径定理求出

CD,建立关于"，的方程，解之即可求解.

【解答过程】如图，取力B的中点D,连接CD,AC,则力BlCD,

圆C:(x—l)2+y2=鱼的圆心C(l,0),半径为r=&,

圆心C(l,0)到直线2:x-y+m=0的距离为d=

又4=卜-(等¥=转力=1,所以甥=1,

由m>0,解得m=V2—1.

故选：C.

【变式1-2](24-25高二上•陕西西安•开学考试)直线/过点(2,1),且与圆C：(久一2)2+6—4)2=10相

交所形成的长度为整数的弦的条数为()

A.6B.7C.8D.9

【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确

定弦的条数.

【解答过程】由题设，圆C的圆心为(2,4),且半径r=

而(2-2尸+(1—4)2=9<10,即点(2,1)在圆内，且圆心到该点的距离d=3,

当直线Z与(2,1)、(2,4)的连线垂直时，弦长最短为2Vr匚下=2,

而最长弦长为圆的直径为2国，故所有弦的弦长范围为[2,2同],

所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为234,5,6,

根据圆的对称性，弦长为3,4,5,6各有2条，弦长为2的只有1条，

综上，共9条.

故选：D.

【变式1-3](2024•广东广州•模拟预测)直线l:y=kx—2与圆。/+丫2-6比一7=。交于8两点,

则|4B|的取值范围为()

A.[V7,4]B.[2V7,8]C.[V3,4]D.[2V3,8]

【解题思路】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围.

【解答过程】由题易知直线Z：y=kx-2恒过M(0,—2),

圆C:%2+y2-6x-7=0化为标准方程得C:(x-3)2+y2=16,

即圆心为C(3,0),半径r=4,

圆心到M(0,—2)距离|CM|=J(3—0)2+(0+2尸=g<4,

所以M(0,—2)在圆C内，

则直线Z与圆C交点弦|4B|最大值为直径即8,

|力团最小时即为圆心到直线距离最大，

即CM12时，此时|AB|=27平-13=2®

所以的取值范围为[2b,8].

故选：D.

【题型2圆的切线及切线方程问题】

【例2】(2024•全国•模拟预测)已知圆C:/+y2+4x+6y+12=0,直线I过点P(—1,0),贝广直线I的方程

为4x-3y+4=0”是“直线/与圆C相切”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据直线与圆相切求出切线方程，再由充分条件、必要条件得出选项.

【解答过程】因为圆C:/+y2+4x+6y+12=0可化为（尤+2）2+（y+3）2=1,

所以圆C的圆心坐标是（一2,—3）,半径为1.

当直线/的斜率不存在时，直线2的方程是%=-1,满足直线/与圆C相切；

当直线I的斜率存在时，设直线［的方程为y=k（x+l）,即依-y+k=O,

由圆心C（一2,-3）到直线/的距离等于圆C的半径，得匕萼坦=1,解得k=g

V/c2+l3

故直线［的方程是4%-3y+4=0.

综上所述，当直线/的方程是x=-1或4%-3、+4=0时，直线I与圆C相切，

则“直线2的方程为4x-3y+4=0”是“直线2与圆C相切”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式2-1］（2024•四川攀枝花•三模）由直线y=x上的一点P向圆（久―4）2+y2=4引切线，切点为Q,则

|PQ|的最小值为（）

A.V2B.2C.V6D.2V2

【解题思路】根据已知条件，求得|PQ|=二芦=Vd^4,由此可知d=^==2鱼时，|PQ|取得最小

值，由此即可求解.

【解答过程】

由已知有：圆的圆心（4,0）,半径为r=2,直线的一般方程为x-y=0,

设点P到圆心的距离为d,则有PQ1CQ,所以|PQ|=Vd2-r2=Vd2-4,

所以d取最小值时，|PQ|取得最小值，

因为直线上点P到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，

所以4=需=2近，故|PQ|的最小值为Vd2-/=%二R=2.

故选：B.

【变式2-2](2024・天津和平•二模)过直线y=x上的点P作圆C：(久+3/+(y—5/=4的两条切线人,

%，当直线〃，G关于直线y=x对称时，点2的坐标为()

A.(1,1)B.g,|)C.g,|)D.

【解题思路】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.

【解答过程】圆C:(%+3)2+(y—5/=4的圆心为C(—3,5),

直线0Z2关于直线y=%对称时，CP与直线y=无垂直，

所以直线CP的方程为y-5=-(x+3),x+y-2=0,

由『+工/°解得所以P(L1).

【变式2-3](2024・湖南永州•一模)在平面直角坐标系中，过直线—y—3=0上一点P作圆C:/+2x+

产=1的两条切线，切点分别为力、B,则sin/APB的最大值为()

A2V6「2V5万遍c石

A--B--c-TD-T

【解题思路】由题意圆C:/+2%+y2=1的标准方程为C:(%+1)+y2=2,如图sin乙4PB=sin2a=

2sinacostr,又sina=黑=/—所以coscr=V1-sin2a=11-77I77,又由圆心到直线的距离可求出|CP|

\CP\7\CP\£7|CP|Z

的最小值，进而求解.

【解答过程】如下图所示:

由题意圆C的标准方程为C：(%+1)+y2=2,sin乙4PB=sin2a=2sinacosa,

又因为sina=耦=匾，所以cosa=V1-sin^a=卜血,

所以sin^APB=2sinacosa=2

又圆心C(—1,0)到直线2x-y-3=0的距离为d=,广厚=V5,

所以|CP|>d^V5,所以不妨设t=在,(0<t<1)>

则sin^APB=2ml一品=2J2t(1—2t)=2卜(一六二人)，

又因为f(t)在(0局单调递增，所以当且仅当1=(即|CP|=而，即当且仅当直线CP垂直已知直线"-丫-

3=0时，

sin2PB有最大值(sinMB)max=靡)=2J-4G-；)'+；=尊

故选：A.

【题型3直线与圆中的面积问题】

[例3](23-24高二上•福建南平・期末)已知圆C的圆心在直线始光—y-3=0上且圆C与x轴相切于点

M(2,0).

⑴求圆C的方程；

(2)已知直线%+2y—1=0与圆C相交于48两点，求aaBC的面积.

【解题思路】(1)设圆心坐标为C(a,b),由题意『一：]：=°,解方程组得圆心，进一步求得半径即可;

(2)求出圆心到直线G的距离，结合圆的弦长公式求得|力身即可得解.

【解答过程】(1)设圆心坐标为C(a,b),

由于圆C的圆心在直线兄万一丫―3=0上且圆C与x轴相切于点M(2,0),

可得｛”;二产。，解得｛j二_2],即圆心坐标为(2,—1),

由于圆C与无轴相切于点M(2,0),则半径丁=|-1|=1.

所以圆C的方程为(第-2)2+(y+I)2=1.

(2)依题意，圆心(2,—1)到直线％：丁+2y—1=0的距离d=恒+募9”=1，

因为直线％：%+2y-1=0与圆C相交于4B两点，

所以弦长|43|==2

所以S^ABC=114B|-d=|x?Xg='.

【变式3-1](23-24高二上•浙江湖州•期末)已知圆。：x2+y2=4,直线/:y=fcc+4.

(1)若直线/与圆。交于不同的两点4B,当乙4。8=90。时，求左的值；

(2)若k=泄，点P为直线I上的动点，过点尸作圆。的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,求四边形。CPD

的面积的最小值.

【解题思路】(1)根据垂径定理得圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求解；

(2)将四边形OCPD的面积的最小值转化为求SMPD的面积最小值，根据SMPD=[|。。|-\PD\=J|OP|2-4

求其最小值即可.

【解答过程】(1)当乙4。8=90。时，由垂径定理得圆心。到直线Z:y=kx+4的距离为迎，

则看=&'

解得々=±V7;

(2)当/c=决寸，直线Z:y=；%+4,即%—2y+8=0

由已知得SMPO=1\OD\­\PD\=^\OD\-J\OP\2-\OD\2=J|0P|2-4

又lOPlmin=焉=看

所以S^OPD的最小值为](+)—4=笠

又因为四边形OCPD的面积的为2s&OPD，所以其最小值为噜=蜉

V55

【变式3-2](23-24高二上•河南•阶段练习)已知圆M经过4(1,5),8(4,2),。(病+1,0)三点.

(1)求圆M的方程；

(2)已知斜率为-/的直线।经过第三象限，且与圆M交于点E,尸，求△EFM的面积的取值范围.

【解题思路】(1)设出圆方程，代入点坐标，利用待定系数法求解圆M的方程即可.

(2)设出直线方程，表示出aFFM的面积，根据参数范围即可求出AFFM的面积的取值范围.

【解答过程】(1)设圆M的方程为/+y2+o、+Ey+F=o,将4B,C三点坐标代入,

O+5E+F+26=0(D=-2,

则.40+2E+F+20=0,解得E=—4,

、(代+1)D+F+(V5+1)2=0.F=-4,

则圆M的方程为/+y2-2比一4y—4=0；

(2)I

由(1)知圆M的方程为1尸+(y—2/=9,

即圆心,半径为r=3,

可设直线/方程：y=—+k,k<0,

由于k<0,且直线/与圆交于两点，因此d>有,0<d<3,即近<d<3,

线段EF=2V9-d2,因此△EFM的面积S=1-d-2V9-d2=J一(d2-J+5

由于遥<d<3,则d2e(5,9),因此56(0,2店)，

所以△EFM的取值范围为(0,2强).

【变式3-3](2024•江苏苏州•三模)已知圆O:/+y2=4,直线4：x=m,直线％：y=x+6和圆交于/，

8两点，过/,8分别做直线k的垂线，垂足为C,D.

(1)求实数6的取值范围；

(2)若根=-4,求四边形/8OC的面积取最大值时，对应实数b的值；

(3)若直线和直线3c交于点E,问是否存在实数小，使得点E在一条平行于x轴的直线上?若存在，求出实

数小的值;若不存在，请说明理由.

【解题思路】(1)利用圆。与直线12相交可建立关于》的不等式，求解即可；

(2)联立圆。与直线%的直线方程，利用韦达定理和b表示出四边形/2DC的面积，再构造函数，利用导数

求解即可；

(3)表示出直线ND和直线交的直线方程，联立方程组得到y的值，再结合韦达定理可得实数也.

【解答过程】(1)圆。的半径为2,因为直线％和圆。交于/，3两点,

所以圆心到直线％的距离d=杯<2,

解得一2或<b<2VL

则实数b的取值范围为—2鱼<b<2V2；

(2)设4(Xi，yi),B(%2，y2)，贝1Jc(一4,yi),D(-4,y2)，

由)224得2/+2b%+按一4=0,

lx+y乙=4

所以X1+%2=一>，久1久2=^f^，为一丫2=%1一冷，

22

贝”为一为1=J01-％2)2=V(X1+%2)-4%1%2=V8-b,

因为四边形力BDC为直角梯形，

所以四边形力BDC的面积S=；(MC|+\DB\)\yi-y2|

=|(%1+4)|yi-y|=1V(8-^2)(8-bV>

+4+X22

令/'(b)=(8—b2)(8-b)2(-2V2<b<2V2),

f'(b)=4(8-b^b2-4b-4),令f'(b)=0,解得b=2-2&,

当一2鱼<b<2-2四时，f'(b)>0,f(b)单调递增，

当2-2近<6<2/时，/'(b)<0,外6)单调递减，

所以当b=2-2a时四边形ABDC的面积最大，

且最大值为(6+2V2)V2V2-1；

(3)A(x1,y1),B(x2,y2),则C(m,yi),D(m,y2)，且直线力。、BC的斜率存在,

b2—4

由（2）%1+x2=一b,XjX2^―,yi=Xi+b，y2x2+b,

直线4D:上空a,直线3。口=三巴,

yi-yi-?ny2~yix2-rn

（）（（。）（血）

联立得y=y2%i+K2yi-myi-my2%2+6%1-*+1+1%2-

Xi+X2~2m11+12-2771

2%2%I+(%i+%2)(力—血)—2bmb2—4—b(b—m)—2bmbm+4

x1+x2—2m—b—2mb+2m

若曾为常数，贝防巾+4=k(b+2a),其中k为常数，

b+2m

可得｛/":优/解得卜=±a，

(4=2mk

所以当m=±&时点E在一条平行于%轴的直线上.

【题型4直线与圆中的最值问题】

【例4】（2024・四川乐山•三模）已知圆。:d+、2=16,点E是/:2尤一，+16=0上的动点，过E作圆。的

切线，切点分别为4B,直线与E。交于点M,则|OM|的最大值为（）

A.2B.V5C.V6D.V7

【解题思路】根据已知条件及三角形相似，利用向量的关系及点在直线上，结合圆上的点到定点的距离的

最值即可求解.

【解答过程】由题意作出图形如图所示

A

设M（x,y）,E（x,y\由△AOEsaMtM,可得黑=鬻，

所以盟=翳=曰即1。用母。町即小玲丽,

所以（X'，/）=—（久，y）=（香，器9，

将点E的坐标代入直线2:2无一y+16=0中,

2

化简可得（x+l）2+（y—乡=3（x,y不同时为0），

所以点M的轨迹是以（-1,§为圆心，苧为半径的圆，

所以|OM|的最大值为J（—1—0）2+（g—0）+-^=V5.

故选：B.

【变式4-1］（2024广东珠海一模）己知点力（一1,0）,8（0,3）,点2是圆0-3）2+3/2=i上任意一点，则△P4B

面积的最小值为（）

11

AA.H6B.—kC.-9D^.^67-1--0-

222

【解题思路】求出直线48的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点P到直线4B距离的最小值即

可求得最小值.

【解答过程】两点4（一1,0）,5（0,3）,则|4B|=J（-1）2+32="U,直线方程为y=3X+3,

圆(%—3)2+y2=1的圆心C(3,0),半径r=1,

点C到直线ZB:3%-y+3=0的距离d=126V10

V32+(-l)25

因此点P到直线力B距离的最小值为d—r=等—1,

所以△P4B面积的最小值是V1Ux（卓一1）=6—当.

故选：D.

【变式4-2］（2024•陕西商洛•模拟预测）已知圆。/+2乂+/=0,点「为直线2%+丫—2=0上的一点,

过P作圆C的切线，切点分别为4B,则COSNAPB的最小值为（）

A4追

A--Bc.延D

-IJ5--i

【解题思路】根据给定条件，利用切线长定理，结合二倍角的余弦公式列式，再借助点到直线距离求解即

得.

【解答过程】圆C:/+2久+y2=o的圆心翼一1,0）,半径r=l,

依题意，cos乙4PB=1-2sin2"PC=1-鬻f=1-白，

|PC『\PC\£

显然当|PC|取得最小值时，C0SN4PB取得最小值，

|PC|的最小值即为点C到直线2久+y—2=0的距离，即|PC|min=?，

所以（COSN力PB）min=1_-^―=1

（等）28

故选：B.

【变式4-3]（2024•陕西西安•一模）已知圆。的方程为：好+旷？=1,点力（2,0）,8（0,2）,P是线段4B上的

动点，过P作圆。的切线，切点分别为C,D,现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四

边形PC。。的面积的最大值为四；③丽•丽的最小值为-1；④丽•丽的最大值为|.其中所有正确说法的

序号为（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①④

【解题思路】利用数形结合，将面积PC。。的最值转化为求|0P|的最值，即可判断①②；利用数量积和三角

函数表示丽•丽，再转化为利用对勾函数的单调性求最值.

【解答过程】如图，当点P是4B的中点时，此时。4B,|0P|最短，最小值为近，

当点P与点4或点B重合时，此时|0P|最长，最大值为2,

因为PC,PD是圆。的切线，所以PC1OC,PD10D,

则四边形PCOD的面积为|PC||OC|=\PC\=J|PO|2一1,

所以四边形PC。。的面积的最小值为=最大值为=故①②正确；

2

PC-PD=\PC\[PD\cosACPD=|PC|x(2cos2zOPC-1),

=|而『+七一3,|而『e[2,4],

\PO\

设丫=土+：-3/6[2,4],函数单调递增，最小值为0,最大值为去故③错误，④正确.

故选：B.

【题型5距离及其新定义问题】

【例5】(2024•四川成都三模)已知圆C：x2+y2=1,直线Z：x-y+c=0,则“c=乎是“圆C上恰存在

三个点到直线用勺距离等于，'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

【解题思路】利用圆C上恰存在三个点到直线/的距离等于提等价于。(0,0)到直线Z：x-y+c=0的距离为

p从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.

【解答过程】因为圆C：x2+y2=1的圆心。(0,0),半径为r=1,

当圆C上恰存在三个点到直线1的距离等于T时，

则。(0,0)到直线/：x-y+c=0的距离为也

所以听等!=；,解得c=±q,即必要性不成立；

当C=亨时，由上可知。(0,0)到直线八x—y+c=0的距离为今

此时圆C上恰存在三个点到直线Z的距离等于右即充分性成立；

所以%=今是“圆C上恰存在三个点到直线I的距离等于"的充分不必要条件.

故选：A.

【变式5-1](2024•河南•模拟预测)已知实数a,6满足a2+F+l=2a+2b,则(3a+4b-的最小值

是()

A.1B.2C.4D.16

【解题思路】将已知a?+/+1=2。+2b表示成一个以(1,1)为圆心，1为半径的圆，将问题转化为圆上一

点到直线3x+4y-1=0距离最小值问题，从而找到解题关键.

【解答过程】依题意可知曲线f(a,6)=0表示一个以(1,1)为圆心，1为半径的圆，

求(3a+46-1)2的最小值相当于先求d=塔段竦=照和的最小值，

V32+425

即求圆(a-I)2+(b-=1上一点到直线3%+4y-1=0的距离d的最小值，

所以脸.必产-

即(3a+46-1)2的最小值为1.

故选：A.

【变式5-2](2024•河南•模拟预测)一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但

过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线C是直线族(产-l)x-2ty+

2t2+2=0(teR)的包络线，则C上的点到直线x+y=4的最小距离为2鱼-2.

【解题思路】将切线方程转化为关于珀勺方程为0+2"2-2yt+2-x=0.根据一个解对应一条切线可知该

方程仅有一解，利用A=0可得曲线C的方程，结合直线与圆的位置关系即可求解.

【解答过程】曲线C上任一点PO,y)对应的切线方程为(产一1)%—2ty+2t2+2=0,

将其整理为关于t的方程为(x+2)/—2yt+2—%=0.

由题意知，一个解对应一条切线，即关于t的方程仅有一解，

所以△=(-2y)2-4(%+2)(2-久)=0,整理，得/+y2=4,

即曲线C的方程为/+y2=4,

故C上的点到直线％+y=4的最小距离为d=±-2=2V2-2.

故答案为：2a一2.

【变式5-3](2024高三•全国・专题练习)已知点P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.

⑴求P点到直线3久+4y+12=0的距离的最大值和最小值.

(2)求x-2y的最大值和最小值.

(3)求与的最大值和最小值

x—1

【解题思路】(1)转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值；

(2)解法一，转化为直线％-2)/—1=()与圆(>+2)2+必=1有公共点，解法二，利用三角换元求最值；

(3)首先设芸=匕再转化为直线依―y—k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有交点，

【解答过程】⑴圆心C(一2,0)到直线3久+4y+12=0的距离为d=.(-泮萼但=1

:・P点到直线3%+4y+12=0的距离的最大值为d+r=|+l=y,最小值为d-r=|-l=1.

(2)解法一：设£=%-2y,则直线％-2y-t=0与圆(％+2)2+y2=1有公共点，

”彳工1,解得—V5_2<t<V5—2，

3+j22

则tmax=遮一2,tmin=-2—遮，即久一2y的最大值为出一2,最小值为一2-遮•

解法二：设汽=-2+cos6,y-sin3,则汽—2y=-2+cos0-2sin6=—2—V5sin(0—w),其中tang=

・・・得一2-遮W%—2y4一2+遮，即％—2y的最大值为遥一2,最小值为一2一遮.

(3)三表示圆上的点P(%,y)与点4(1,2)连线的斜率为左，

设=k,BP/ex—y—k+2=0,直线k%—y—fc+2=0与圆(％+2)2+y2=1有交点,

设

解得字<fc<^.

44

则kmax=竽,kmin=竽，即三的最大值为等，最小值为三•

【题型6阿波罗尼斯圆】

【例6】(2024・广西河池•模拟预测)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：

平面内与两点距离的比为常数4(4K1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点。(0,0),

A(7-1\动点P(3)满足黑=£若点P的轨迹与圆C：x2+y2+6x+2y-r2-10(r>0)有且仅有三

\t)J7|r/l|Z

条公切线，贝b=()

A.-B.IC.2D.3

2

【解题思路】由题意计算可得点p的轨迹为圆，由公切线条数可知两圆外切，借助两圆外切的性质计算即可

得解.

【解答过程】由题意可得丁产笆,=咚,化简得/+y2-2%—4y+l=0,

加)+61)2

即1)2+。-2)2=4,即动点P(x,y)的轨迹为以(1,2)为圆心，2为半径的圆,

由C：x2+y2+6x+2y—r2—10(r>0),可得(x+3尸+(y+1)2=

故圆C以(-3,-1)为圆心，r为半径，由两圆有且仅有三条公切线，

故两圆外切，即有r+2=J(1+3尸+(2+1)2=5,即r=3.

故选：D.

【变式6-1](2024•全国•模拟预测)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P到相异两点4和B

距离比值为不等于1的定值，则动点P的轨迹是圆心在直线4B上的圆，该圆被称为点力和B相关的阿氏圆.已

知P在点A和B相关的阿氏圆。:/+产=4上，其中点力(一4,0),点Q在圆M:(x—3)2+(y—3尸=1上，则

|PQ|+g|P2|的最小值为()

A.3V2-1B.3V2+1C.4D.6

【解题思路】借助阿氏圆定义计算可得8点坐标，进而可得川=|P8|,结合两点之间距离最短计算即可

得.

【解答过程】方法一：因为圆。:炉+产=4的圆心为。(0,0),点力(一4,0),

由阿氏圆定义知，点B在x轴上，设B(t,0),

圆。:/+y2=4与％轴的交点Pi(-2,0),P2(2,0),

则由阿氏圆定义知版=匿，即噂=?,

1户1川田2川26

解得t=-l或t=-4(舍)，故8(-1,0),

且需=3即初川=陷|,

故|PQ|+1\PA\=\PQ\+\PB\>\PB\+\PM\-rQM>\MB\-rQM=5-1=4,

当且仅当B,P,Q,M四点共线时，|PQ|+g|P*取最小值4,故选：C.

方法二;设P(%o，yo),则其+羽=4,故就=4一埼，

故川=乒尹=卜+甘”痣=/不而

=J(W+羽)+2%0+1=J(Xo+1)2+%,即B(T0),贝岭|P4|=|PB|,

故|PQ|+\\PA\=\PQ\+\PB\>\PB\+\PM\-rQM>|MB|-rOM-5-1-4,

当且仅当B,P,Q,M四点共线时，|PQ|+1|P4取最小值4.

【变式6-2](2024•广西・模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历

山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数4(4>0且4力1),那

么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A(2,0),B(-2,0)的距离比为g，则点P到直线

2V2x-y-V2=0的距离的最大值是()

A.3V2+2V3B.2+2百C.4bD.6V3

【解题思路】先由题意求出点P的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.

【解答过程】由题意，设点P(x,y),则黑=擎|普=百,

•••茨禽=3,化简得点P的轨迹方程为(尤+4/+y2=",

二点P的轨迹是以(一4,0)为圆心，半径r=2日的圆.

圆心(—4,0)到直线/：2V2x-y-V2=0的距离d=卜「阈=3近，

J(2V2)2+(-l)2

.•.点P到直线最大距离为d+r=3迎+2值.

故选：A.

【变式6-3](2024•全国•模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山

大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点4B的距离之比为定值44>0,且4片1)的点的轨

迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，力(-2,0),8(4,0),点P满足黑=；.设点P的

轨迹为曲线C,则下列说法错误的是()

A.C的方程为0+4)2+y2=16

B.当4B,P三点不共线时，则N4P0=NBP。

C.在C上存在点〃，使得|MO|=2|M4|

D.若D(2,2),则|PB|+2|PD|的最小值为4代

【解题思路】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结

合三点共线时线段取得最短即可求解.

【解答过程】设P(%,y),由鬻=；，得俨吃=:，化简得(尤+4)2+y2=16,故A正确；

\rH\L4)"+yZ2

当4B,P三点不共线时，器=：=黑，所以P。是乙4PB的角平分线，所以41PO=N8P。，故B正确；

\UD\L|rDI

设M(x,y),则JN+y2=2j(x+2)2+y2,化简得(％+|)2+y2=^,因为](—4+g)2+(0_0j=|<4-

p所以C上不存在点河，使得|河。|=2|河*，故C错

误;

因为震=1,所以|PB|=2|PA|,所以|PB|+2|PD|=2|P4|+2|PD|22幽|=4后当且仅当P在线段4D

上时，等号成立，故D正确.

故选：C.

【题型7直线与圆中的定点、定值、定直线问题】

【例7】(2024高三•全国•专题练习)已知圆A：(%+2)2+y2=25,人为圆心，动直线2过点P(2,0),且与

圆月交于8,C两点，记弦BC的中点Q的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过2作两条斜率分别为均，的的直线，交曲线E于M,N两点，且的&=-3,求证：直线MN过定点.

【解题思路】(1)根据题意可得：AQ1BC,AQ1PQ,即点Q的轨迹为以力P为直径的圆，从而得到曲线E

的方程；

(2)讨论当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为丫=kx+t,M(%i，yD，W(x2,y2),联立/+y=4,

xx

结合韦达定理可得：X]+乂2l2^2+j>化简上1卜2=J；2.=—3,可得(t—k)(t—2k)=0,

从而得到1=鼠得到直线MN过定点(—1,0),当直线MN斜率不存在时，设直线MN：x=t(—2<t<2),

可得的期3,可得t=一1,从而得到直线MN过定点(―1,0),得证.

【解答过程】(1)因为Q是弦8c的中点，

所以力Q_LBC,即4QJ.PQ,

所以点Q的轨迹为以力P为直径的圆，所以曲线E的方程为/+y2=4.

(2)当直线MN的斜率存在时，

设直线MN的方程为y=kx+t,

代入%2+y2=4,得（k2+l）%2+2ktx+t2-4=0.

设N（%2，V2），则％1，小是方程的两解，

2

A、c,

则rrniA>°，久1+第2=一后2kt五'"1"2=t西-47，

2

yiy2kx1+tkx2+tk%^++x2)+产

i2%1+2%2+2%1+2%2+2%1%2+2(%i+%2)+4

根据根与系数的关系，得十-3kt+2k2=o,

即(t—k)(t—2k)=0.

若t-2k=0,则直线MN过点4舍去；

所以t—k=0,BPt=fc,

直线MN的方程为y=k(x+1),故直线过定点(一1,0).

当直线MN斜率不存在时，设直线MN：久=t(—2<t<2),

与曲线E的方程联立，可得M（t,V4—t2）,W（t,-V4-t2）,则的七=一三东=一3,解得t=—L

故直线MN的方程为%=-1,恒过点（-1,0）.

综上，直线MN过定点（一1,0）.

【变式7-1］（23-24高三上•黑龙江哈尔滨・期末）圆G经过点（2,2百）,（一4,0）,圆心在直线y=x上.

⑴求圆G的标准方程；

⑵若圆G与久轴分别交于M,N两点，A为直线，:％=16上的动点，直线4M,4N与曲线圆G的另一个交点分别为

E,F,求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标.

【解题思路】(1)设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；

(2)设出直线力M的方程和直线AN的方程，分别与圆的方程联立写出E、F的坐标，进而写出直线EF的方程,

化简即可证明直线E尸经过定点，并求出定点的坐标.

【解答过程】(1)因为圆心在直线y=x上，设圆心为(a,a),

又因为圆G经过点(2,2b),(-4,0)

2

则(a—2尸+(a—2旧)=(a+4)2+a2,解得a=0,

所以圆心(0,0),半径为J(0+4)+02=4,

所以圆G的标准方程为/+y2=16

(2)由圆G与%轴分别交于两点，不妨设M(—4,0),N(4,0),

又4为直线E:x=16上的动点，设4(16,t)(tH0),则的M=5,%N=5，

则方程为y=《(X+4),AN方程为y=5(尤一4),

设EQq/i）,F{x2,y2）,

y一而（"+4）,解得（400+t2）x2+8t2%+16（t2-400）=0,

联立方程

,%2+y2=16

所以一4丫=16（/-400）即=-4（^-400）=160t_/-4^-400）160t

1400+t2'1400+t2'为400+/'\400+t2/400+t2.

y_五（“_4）,解得（144+t2）x2-8t2x+16（tz-144）=0,

联立方程

x2+y2=16

所以4丫=16（产-144）即「（产-144）=-9二即尸往2-144）-96t

所“2144+/'2144+M'及144+产'\144+t2/144+t2,

160t—96t

2

当t0±4底时,400+t144+t2_32t

-4（t2-400）4（t2