有理数运算中的巧算与规律（11种常考题型）（考题猜想）解析版-人教版2024七年级数学专项复习

专题03有理数运算中的巧算与规律(11种常考题型)

验型人余合

>归类法>数字规律

>对消法A等式规律

>拆分法>数表规律

>变形法>图形规律

>倒数法>数阵规律

>裂项相消法

驳型大通关

归类法(共2小题)

1.(22-23七年级上•广西贺州,期中)计算：-20+(-14)-(-18)+13；

【答案】-3

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.利用有理数的加减运

算的法则进行运算即可；

【详解】-20+(-14)-(-18)+13

=-20-14+18+13

=(-20-14)+(18+13)

=-34+31

=-3；

2.(22-23七年级上•云南昆明•期中)计算：

(1)13-16-12+17

(2)一户+(-36十8|

【答案】(1)2

(2)45

【分析】此题考查了有理数的混合运算.

(1)原式结合后，相加即可得到结果；

(2)先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行.

【详解】(1)解：13-16-12+17

=(13+17)+(-16-12)

=30+(-28)

=2；

⑵解：-产+(一36-卜8|

=-1+9+—一8

6

=-1+54-8

=45.

二.对消法(共2小题)

3.(22-23七年级上•山东青岛•期中)计算：

(1)16+(-14)+(-16)-(-4)；

(2)2x(-5)+22-3+g；

【答案】⑴TO

(2)-12

【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算方法是解此题的关键.

(1)根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案；

(2)先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可；

【详解】(1)16+(-14)+(-16)-(-4)

=16-14-16+4

=-10；

(2)解：2x(-5)+2?-3+g

-10+4-6

=-12；

4.(22-23七年级上•辽宁阜新•期中)计算:

(1)(-3)+40+(-32)+(-8)；

(2)-16-11-9-(-16)；

【答案】(1)-3

(2)-20

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正确计算是解题的关键.

(1)根据有理数的混合运算法则计算即可；

(2)根据有理数的混合运算法则计算即可；

【详解】(1)(-3)+40+(-32)+(-8)

解：原式=(一32)+(-8)+40+(-3)

=-3；

(2)-16-11-9-(-16)

解:原式=一16+(-11)+(-9)+16

--16+16+(-11)+(-9)

=-20；

三.拆分法(共3小题)

5.(23-24七年级上•安徽合肥・期中)阅读下题的计算方法

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]

_5

~~4

上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：12022§+12023|)+2024|+11；

8093

【答案】-

4

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据拆项法将所求式子拆分计算即可.

【详解】解：原式=（-2022）+2024

=[(-2022)+(-2023)+2024+(-1)]+

-2022+

8093

4

6.（23-24七年级上•河南郑州•期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题.

拆项法常用在带分数中，将带分数转化为整数与真分数的和，再将所有的真整数和所有的真分数分别相

加，从而达到简便运算的目的.仿照上面的方法，计算:

(叫+

7

【答案】⑴Z

101

(z2)----

20

【分析】本题考查了有理数的混合运算:

（1）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可.

（2）根据“拆项法”以及加法交换律和结合律计算即可.

原式=l+：+(-2)+[-g)+3+*|+(-4)+

【详解】（1）解:

_7

="4；

7

故答案为：-二；

4

(2)解：原式=(—3)+[—，]+(—1)+[—；]+2+|+7+；

=5+[

101

20

7.（22-23七年级上•安徽合肥・期中）计算:

Jc5rlJ941

1——2—+3----4——+5-------6——+7——

261220304256

【答案】V

O

【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键.先将式子化为

7+'],再去括号，最后计算加减即可.

5+1+7+:

261220304256

1111111

—+-+―+一+一+一+一

261220304256

15

~8

四.变形法（共3小题）

司+(-7)"+37x-3凡8

8.（23-24七年级上•云南曲靖・期中）计算：-120x

99,

【答案】350

【分析】逆用乘法分配律进行简便计算;

【详解】解：原式=，3：

x[(-120)+(-7)+37]

35

x(-90)

35

=——x90

9

=350；

17

9.（22-23七年级上•浙江杭州•期中）简便运算：99—x（-9）.

1O

【答案】-899：.

【分析】先将991化为100-31，再运用乘法分配律求解即可.

13\1Id8/

【详解】原式

=10°X(-9)-\X(_9)

=-900+-

2

=-899-.

2

【点睛】本题考查有理数的混合运算，属于基础题，熟练掌握有理数混合运算的运算法则是解题的关键,

其中每一项的符号是易错点.

10.（22-23七年级上•山东青岛・期中）计算:

【答案】-4

【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算方法是解此题的关键.根据有理数的

乘法运算律计算即可得出答案；

【详解】解：Q+|-|1X（T2）

=^x（T2）+§x（一12）7（-12）

=-5-8+9

五.倒数法（共3小题）

11.（23-24七年级上•湖南湘西•期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理

数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算’

刘聪和他的小伙伴选择常规解法：==-7xl=一"张明开动脑

16J136JI6J166J16J2623

筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数:

所以，原式=-j.

⑴请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？

⑵请选择你喜欢的解法计算：[一1]+1:一1一0

【答案】（1）更喜欢张明的解法，理由见解析

【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律:

（1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法;

（2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出（1：-+1（I的值，进而求出

I弓的值的倒数即可得到答案•

【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下：

观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，

二更喜欢张明的解法；

（2）解：原式的倒数为：++

（4812JV8J

=_2+l+(f

5

3

12.（23-24七年级上•浙江杭州•阶段练习）阅读下面材料:

计算:「奸『昌T

解法①:

30；3130J10t30J6305；

1111

一+--+一

203512

]_

6

解法②:

1

W

解法三:

10

故原式=一'・

⑴上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法是错误的（填序号）

⑵在正确的解法中，你认为解法比较简便.（填序号）

请你进行简便计算：

1437）

【答案】⑴①

⑵③;~

【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是

解题的关键.

（1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误；

（2）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可.

【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的.

故答案为：①；

（2）解：在正确的解法中，解法③比较简便.

故答案为：③；

原式的倒数为K+I―m

=f--—+---^x（-42）

（61437j

=-7+9-28+12

=-14,

原式=-].

14

13.计、〜算:一i盘f七3一i石飞5+m1+W匕3一1历飞5+痣i卜w卜n.）

（1）前后两部分之间存在着什么关系？

⑵先计算哪部分比较简单?请给予解答；

⑶利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；

⑷根据上述分析，求出原式的结果.

【答案】①前后两部分互为倒数

⑵先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析

⑶另一部分的结果为-《

,、226

4----

15

【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可；

（2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面

部分，较方便；

（3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可；

(4)根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可.

(1)

解：••・乘积为1的两个数互为倒数

3614121836J(4121836Jv，

••・前后两部分互为倒数.

(2)

解：计算■-白-2+口应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算；

Jo1412loJoJ

计算《一WIL先化除法为乘法,然后根据乘法分配律,进行加减计算;

・•・先计算后面部分比较方便

计算如下：

Id

(4121836J136J

3151

=-36x—+36x----i-36x-----36x——

4121836

=—9x3+3xl+2x5—l

=-15.

(3)

解：,•,前后两部分互为倒数，后面部分：++=-15

(41218JoyvJoy

・•・前面部分:

4121836

51

------十一--1---

41218361836

【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律

等

六.裂项相消法(共3小题)

14-华4七年级上•江苏宿迁•期中）.=］_1_11111

⑴第5个式子是；第〃个式子是

111

⑵从计算结果中找规律，利用规律计算:H-----1-----1-----1---F

1x22x33x42020x2021

⑶计算：（由此拓展写出具体过程）:

①-L+—•..+1

Jx33x55x799x101

J________!_

」26129900•

1i1111

［答案］(1)痂=,一7；n(ZTI)"n-ZTT

2020

⑵

2021

⑶①/②击

【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

（1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第"个式子即可;

（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；

（3）①原式变形为:++…+l-点］,利用得出的规律化简，计算即可得到结果;

乙\JJJyyX\）iJ

②原式变形为1-1-J;-Jy———,利用得出的规律化简，计算即可得到结果.

1x22x33x499x100

【详解】（1）解：」=u，

1x22

1_11

诟一厂］，

111

3^4-3-4?

1_11

~4^5~4~59

・••第5个式子是：甘7=：一；；

5x656

111

第〃个式子是而弓=公一於；

111111

故答案为:T5x-67=£5-26-n7（~n+l）=nn7+71；

111

(2)解:+-----+-----+-----+…+

1x22x33x44x2020x2021

1111111

=1—।——।---------+H------------

2233420202021

=1———

2021

2020

2021

1

99x101

101

1

②

9900

11

-1J__L

1x22x33x499x100

1111

1----------1-----------1----------F•••H

1x22x33x4---------99x100

11111

=1禺+-+—+•••+

233499100

=1-1-击

=1-1+—

100

1

100

15.（23-24七年级上•江苏扬州•阶段练习）阅读下列材料:

Vr：-----1------1------F…H-------------

1x22x33x42021x2022

se4.1111111112021

223342021202220222022

这种求和方法称为''裂项相消法〃，请你参照此法计算：

1111

+---+----+----+-------------F+」

x33x55x77x9x1111x1397x99

49

【答案】荷

【分析】根据例题中的裂项相消法即可解答

【详解】解：依题意得:

11111

---+----+----+----+二+,+H--------------

1x33x55x77x99x1111x1397x99

11111111111111

=-x(l-3+3-5+5-7+7_9+9-11+11-13+-------1----

2959797

=-x(l--)

299

198

=—x——

299

49

99

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的方法是解本题的关键.

16.（23-24七年级上•浙江宁波・期中）多个数进行相加时，有许多计算技巧，其中一种为裂项相消法，有

一种裂项方法为：当小，均为正整数时，有-7二1

,例如

n\n+i

1111111

=­xl.根据上述结论，完成问题:

2x52x(2+3)322+3x25

111

⑴计算:-----1------1-----=1+

1x22x33x44

⑵直接写出下式的计算结果:

1111

-----1------1------1---F

1x22x33x4

⑶①计算占士+/1

+…H-的--值--;-------

2020x2023

②计算各小£+—“+1

的值.

4x648x50

［答案］⑴m13

44

674894

⑶①

20231225

【分析】本题考查了与实数运算相关的规律题.

(1)原式利用裂项方法变形，计算即可求出值;

(2)归纳总结得到一般性规律，利用裂项法求出值即可;

(3)①原式利用裂项法变形，计算即可求出值；②原式利用裂项法变形，计算即可求出值.

111

【详解】⑴解:-----1------1-----

1x22x33x4

1111

=i-+

」+2334

=1--

4

3

故答案为:Jg+g-；，1

1111

(2)1-----1-----117r

、1x22x33x4仆+1)

1111111

=1—I——I—+…-----

22334n77+1

=1—

n+1

n

n+1

故答案为：ET

111

(3)(D—+++…-I-----------------

1x44x77x102020x2023

1^111111

-----1----------p••.•+二

3144771020202023

1(1)

二一X1--------

3(2023)

—_1x_2_0_2_2

一32023

674

2023

②,+，+—.+1

^1x32x43x54x648x50

1

47x49j(2x44x48x50

，。二+」+…+工—旱」+…+，一八

21335474”2(2464850J

246

---1---

4925

894

-1225

七.数字规律（共3小题）

17.(23-24七年级上•广东深圳•期中)观察下列两行数:

0,2,4,6,8,10,12,14,16,...

0,4,8,12,16,20,24,28,32,...

探究发现：第1个相同的数是0,第2个相同的数是4,…，则第〃个相同的数是（）

A.8/7—8B.4〃—4C.8〃+1D.8〃+8

【答案】B

【分析】本题考查了数字类规律探索.根据前4个相同的数归纳类推出一般规律，由此即可得.

【详解】解：,•,第1个相同的数是0,

第2个相同的数是4=4x2-4,

第3个相同的数是8=4x3-4,

第4个相同的数是12=4x4-4,

.•・第〃个相同的数是4〃-4,

故选：B

18.(23-24七年级上•新疆喀什,期中)观察下列数字的排列规律，然后填入适当的数：3,-7,11,-15,

19,-23,,.

【答案】27-31

【分析】本题考查了数字类规律探索，观察可得前一个数的绝对值加4等于后面的数的绝对值，符号是正

负相间的，由此计算即可得出答案，得出规律是解此题的关键.

【详解】解：观察可得，前一个数的绝对值加4等于后面的数的绝对值，符号是正负相间的，

■,-23+4=27,27+4=31,

：3,—7,11,—15,19•)—23,27,—31,

故答案为：27,—31

19.(23-24七年级上•江西吉安•期中)有一列数，按一定规律排列成1,-2,4,-8,16,-32,…，观察这列数的

规律解决如下问题：

(1)第七个数是,第n个数可表示为；

(2)若其中某三个相邻数的积是-512,求这三个数的和.

【答案】⑴64,(-2)"-1

(2)12

【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点.

(1)根据题目中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出相应的数据；

(2)根据(1)中发现的数字的特点和题意，可以计算出这三个数，从而可以得到这三个数的和.

【详解】(1)••・这列数为1,-2,4,-8,16,-32,…，

这列数的第"个数为（-2）"_,

当〃=7时，这个数是（-2产=64,

故答案为：64,（-2尸；

（2）设这三个数是（-2）1,（-2）",（-2严,

则（-2「（-2）”•（-2户=512,

即（-20=（一2。

解得"=3,

二这三个数是4,-8,16,

，这三个数的和是4+（一8）+16=12

八.等式规律（共3小题）

20.（23-24七年级上•贵州黔东南•期中）观察下列等式：

31+1=4,3?+1=10,33+1=28,3“+1=82,35+1=244,探究计算结果中的个位数字的规律，猜测32015+1的个

位数字是（）

A.4B.0C.8D.2

【答案】C

【分析】本题考查了数字类规律探究；根据3"的前几个数的尾数规律，4次一循环，进而即可求解.

【详解】3,的尾数为3,32的尾数为9,3,的尾数为7,3,的尾数为1,＞的尾数为3,3$的尾数为9,

而2015=4x503+3,

所以32cH$的尾数为7,则321n5+1的个位数字是8.

故选:C

21.（22-23七年级上,河南洛阳•阶段练习）观察等式：2=2，22=4，2=8,24=16,*=32,

26=64,27=128,….通过观察，用你发现的规律确定22必的个位数字是.

【答案】2

【分析】本题主要考查了有理数的乘方规律型题.解决本题的关键是熟练掌握以2为底的事的末位数字的

循环规律.

可以看出，以2为底的哥的末位数字是2,4,8,6依次循的，根据2021+4=505……1,得到的个位

数字是2.

【详解】•••2:2,22=4，23=8,24=16,

2$=32,2《=64,27=128,2s=256,

29=512,…，

・••以2为底的事的末位数字是以2,4,8,6依次循环，

.•.2021+4=505……1,

...22021的个位数字是2,

故答案为：2.

22.（23-24七年级上•云南昆明•期中）观察下列各式：

32-31=2x3*......①；

33-32=2x32……②；

34-33=2x33……③

⑴根据上述规律写出第5个等式是：_；

⑵试写出第〃（"为正整数）个等式：_；

（3）计算:31+32+33+-+33022.

【答案】（1）36-35=2X35

⑵3用-3"=2x3"

⑶三

2

【分析】本题考查了数字的变化规律类题型，正确理解题意、发现数字的变化规律是解决此题的关键.

（1）根据题目中式子的特点，直接写出第5个等式即可；

（2）根据题目中式子的特点，写出第〃个等式，然后将等式左边做适当的变形可得右边；

（3）根据前面得到的M个式子分别相加，变形后即可得答案..

【详解】（1）根据题意，等式中不变的是底数3,等式右边的系数2,运算符号不变，指数的特点是第1

个等式，两边的指数为2,1,1；第2个等式，两边的指数为3,2,2；第3个等式，两边的指数为4,

3,3,第，7个等式的指数为〃+故第五个等式为36-35=2x35；

故答案为：36-35=2X35.

（2）根据题意，等式中不变的是底数3,等式右边的系数2,运算符号不变，第"个等式的指数为

n+1,n,n,故第〃个等式为3e-3"=2x3";

故答案为：3”+J3"=2x3".

（3）根据题意，得

32-3'=2x3*……①；

33-32=2x32……②;

34-33=2x33......③

33022_33021_2x33021

左右两边，分别相加，得

31+3?+33+…+333=3+3①+32+33+…+33021),

...(31+32+33+--+33022)=3+3(3I+32+33+--+33021+33022)-3X33022,

...3x333一3=33+32+33+…+3如+33022)-(31+32+3、…+33022),

3皿-3=2（3】+32+3?+…+33021+33022）,

-53023_&

31+32+33+…+3皿+33022=^_Z2

...2

九.数表规律（共3小题）

23.（23-24七年级上•安徽芜湖•期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）

142638410

29320435554

第1个第2个第3个第4个……

A.139B.209C.109D.259

【答案】B

【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键.

观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题.

【详解】解：观察所给表格可知，

4+2-1=1,

6+2-1=2,

8+2-1=3,

10+2-1=4,

所以。=20+2-1=9.

又因为左下方的数比左上方的数大L

贝lj6=a+l=10

又因为2x4+l=9,

3x6+2=20,

4x8+3=35,

5x10+4=54,

所以1=10x20+9=209.

【分析】首先通过分析找到。与6的关系，然后找到6与18的关系，进而找到x与b和18的关系，即可以

得到结果.

【解答】解：根据题意可知:

4=2x2,

6=3x2,

8=4x2,

2=1+1,

3=2+1,

4=3+1,

18=2b,。=6—1；

b=9(7=8；

又・「9=(4-l)x(2+l),

20=(6-l)x(3+l),

35=(8—l)x(4+l),

Ax=(18-l)x(fo+1)=17x10=170.

故选：C.

【点评】本题考查数的规律，解题的关键是通过一列数，找到斜对角的关系是本题的突破口，然后再通过

乘法的分解即可求出x.

25.（2021秋•江宁区期中）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m=（用

则左下角的数为：2,3,4..,左上角的数为：1,2,3...,--1,

22

2

所以右下角的数%=4x"+（N-l）=L+g-l.

2222

故答案为：—-+--1•

22

【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出机的

值.

十.图形规律（共2小题）

26.（23-24七年级上•内蒙古通辽•期中）观察下列图形：它们是按一定的规律排列，依照此规律第〃个图形

共有（）个五角星.

4

斗¥¥¥¥斗

4斗斗斗斗斗4斗斗斗斗斗斗斗斗

斗斗:

平

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

A.1+nB.1+2〃C.2+nD.1+3”

【答案】D

【分析】本题考查图形类规律探索，其关键是观察图形分析数字关系找出规律求解.

观察图形可以得出规律：每个图形上方始终只有一个五角星，左、右、下的五角星个数与图形序号一

样，，从而可得解.

【详解】解：第1个图形共有4个五角星，而4=l+lx3,

第2个图形共有7个五角星,而7=l+2x3,

第3个图形共有10个五角星，而10=1+3x3,

第4个图形共有13个五角星，而13=1+4x3,

第n个图形共有0+3”）个五角星.

故选：D

27.（22-23七年级上•浙江台州•期中）观察下列图形规律，当”=1图形中的“•"的个数和"O”个数和4,当

〃=2图形中的“•"的个数和"O”个数和9,那么当图形中的"•"的个数和"O"个数和为85时，〃的值

为.

n=ln=2n=3

【答案】10

【分析】本题主要考查图形变化的规律，根据所给图形用含"的代数式表示出第"个图形中"•"的个数和

"O"的个数之和是解题的关键.

根据所给图形，依次求出图形中"•"的个数和的个数之和并发现规律即可，然后根据规律求解即可.

【详解】解：由所给图形可知，

Ix2

第1个图形中"・"的个数和的个数之和为：4=1x3+—；

第2个图形中“•"的个数和"O"的个数之和为：9=2x3+学；

3x4

第3个图形中“•"的个数和的个数之和为：15=3x3+；-；

依次类推，第〃个图形中“•〃的个数和的个数之和为：3〃+幽土

222

37

2

当+

2-2-=85时，解得：”=-17或10（舍弃负值），即“=10.

故答案为：10.

十一.数阵规律（共3小题）

28.（23-24七年级上•黑龙江牡丹江•期中）杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形（1261）一书中用如

图的三角形解释二项式和的乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年.

第一行

第二行

第三行