数值分析 课件ch6-线性方程组的迭代解法

线性方程组的迭代解法06ChapterCh6线性方程组的迭代解法

迭代法方法简单，便于实现需要选取合适的迭代公式及初值Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代超松弛迭代Ch6线性方程组的迭代解法基本思想:用某种极限过程逐步逼近方程组的精确解。迭代法基本思想迭代法的基本步骤

则迭代过程收敛.迭代矩阵形式迭代公式的收敛性和收敛速率误差估计6.1Jacobi迭代法6.1Jacobi迭代法引例

解方程组

解1）等价形式

6.1Jacobi迭代法2）迭代公式

Jacobi迭代公式

6.1Jacobi迭代法迭计算结果如表012301.41.110.92900.51.201.05501.41.110.92945670.99061.011591.0002510.998240.96450.99531.0057951.0001260.99061.011591.0002510.99824

终止条件

6.1Jacobi迭代法n阶方程组的Jacobi迭代法

等价方程组

终止条件

6.1Jacobi迭代法Jacobi迭代法的矩阵描述

其中，6.1Jacobi迭代法Jacobi迭代法的矩阵描述

雅可比迭代公式的矩阵形式

6.1Jacobi迭代法

雅可比迭代格式Jacobi迭代矩阵

Jacobi迭代矩阵对角线为06.2Gauss-Seidel迭代法6.2Gauss-Seidel迭代法引例

解方程组

解1）等价形式

6.2Gauss-Seidel迭代法2）迭代公式

Gauss-Seidel迭代公式

6.2Gauss-Seidel迭代法迭计算结果如表01201.41.0634

00.781.0204801.0260.98751

34

0.9951041.00123

0.9952751.00082

1.00190.99963

终止条件【注】高斯-赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。

6.2Gauss-Seidel迭代法n阶方程组的Gauss-Seidel迭代法

等价方程组

终止条件6.2Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法的矩阵描述

G-S迭代公式的矩阵形式

6.2Gauss-Seidel迭代法

Jacobi发散，G-S发散.

Jacobi发散，而G-S10次达到精度0.001雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法可能同时发散；也可能同时收敛，但一个快另一个慢；可能一个收敛而另一个发散。

6.2Gauss-Seidel迭代法

G-S迭代格式G-S迭代矩阵

G-S迭代矩阵第一列为06.3迭代法的收敛性6.3迭代法的收敛性

等价形式为

迭代公式

迭代法收敛，否则发散

6.3迭代法的收敛性定义和定理

6.3迭代法的收敛性定义和定理

6.3迭代法的收敛性例6.3.1证明:Jacobi收敛，G-S发散。

证明1)

∴Jacobi收敛。2)

G-S发散6.3迭代法的收敛性特殊方程组的迭代法收敛性定义2（对角占优矩阵）行占优：弱对角占优矩阵：

且至少有一个不等式是严格成立。

定义3可约矩阵：

6.3迭代法的收敛性特殊方程组的迭代法收敛性

例

严格对角占优,∴Jacobi和G-S收敛.6.4超松弛迭代法6.4超松弛迭代法基本思想SOR迭代法:G-S迭代法基础上,用参数校正残差加速.

6.4超松弛迭代法

6.4超松弛迭代法超松弛迭代法的矩阵描述

超松弛迭代公式的矩阵形式

6.4超松弛迭代法

用G-S迭代得

用SOR方法

6.4超松弛迭代法迭代计算结果

12345111.3431.195451.20347211.491.47531.402361.40287351.71.6161.650951.6019815