数值分析 课件 ch1-绪论

数值分析

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教材

提问：数值分析是做什么用的？数学建模

构造算法程序设计实际问题近似解输入复杂问题或运算数值计算方法

逻辑运算计算机数值分析算法影响计算的速度和效率

数值分析算法影响计算的精度

数值分析算法影响计算的精度

即使数学上的恒等公式，用计算机来算，结果也是不一样的。绪论01Chapter1.1数值分析研究对象与特点数值分析也称计算方法.它根椐实际问题的数学模型提出求解问题的数值计算方法.算法能在计算机上实现，并有好的计算复杂性；面向计算机，提供切实可行的有效算法；有可靠理论，对算法进行误差分析，并能达到精度要求；通过数值实验证明算法行之有效；研究对象学科特点1.2误差来源与误差分析实际问题数学模型建立算法上机计算结果(初值误差)观测误差模型误差(方法误差)截断误差舍入误差误差来源1.2误差来源与误差分析1.模型误差（描述误差）/*ModelingError*/简化，抽象问题后建立的数学模型与实际问题之差。2.观测误差/*MeasurementError*/观测和实验得到的参量（物理量为电压、电流、温度等）误差种类1.2误差来源与误差分析误差种类3.截断误差（方法误差）/*TruncationError*/有限过程代替无限过程的误差（无穷级数求和，只能取前面有限项求和来近似代替）。这种计算方法本身出现的误差，所以也称为方法误差。如右端是截断误差。

1.2误差来源与误差分析误差种类4.舍入误差/*RoundoffError*/计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下：舍入误差很小，本课程将研究它在运算过程中是否能有效控制。

1.2误差来源与误差分析大家一起猜？11/e

S4R4取则称为截断误差|

舍入误差|由截去部分引起由留下部分引起=0.747……1.3误差的基本概念

绝对误差/*absoluteerror*/相对误差/*relativeerror*/

1.3误差的基本概念

有效数字/*significantdigits*/

1.3误差的基本概念用四舍五入法取准确值的前n位作为近似值，则x*必有n位有效数字；有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差限不一定相同；有效位数与第一个非0项后的数字个数是不一致的。四舍五入所得到的数是一致的。准确值被认为具有无穷位有效数字.一定要从规格化后的数来判断其位数将任何数乘以10m(m为整数)，等于移动该数的小数点，并不影响它的有效数字的位数；有效数字的几点说明1.3误差的基本概念

数字末尾的0不可随意省去1.3误差的基本概念

1.3误差的基本概念有效数字与误差之间的关系

1.3误差的基本概念

1.3误差的基本概念

1.3数值运算的误差估计代数运算的误差估计加法和减法结果的误差乘法和除法结果的误差积的误差积的相对误差商的误差1.3数值运算的误差估计一元函数情形

1.3数值运算的误差估计多元函数情形

1.3数值运算的误差估计例1.3.4：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。试求近似面积s*=a*b*的绝对误差限与相对误差限。

Ch1绪论

解1.4选用算法应遵循的原则BS

避免相近二数相减

几种经验性避免方法：

1.4选用算法应遵循的原则BS

避免小分母

分母小会造成舍入误差增大例：1.4选用算法应遵循的原则BS

避免大数吃小数

算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.00000000011010，取单精度时就成为：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数1.4选用算法应遵循的原则BS

避免大数吃小数

注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。1.4选用算法应遵循的原则BS

简化计算步骤，避免误差累积

一般来说，计算机处理下列运算的速度为

1.4选用算法应遵循的原则选用稳定的算法

注意此公式精确成立

1.4选用算法应遵循的原则选用稳定的算法

????!!!发生了什麽?!

造成这种情况的是不稳定的算法迅速积累,误差呈递增走势.