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§2.4线段的垂直平分线(2)复习回顾：1、什么叫线段的垂直平分线？2、线段垂直平分线的性质有哪些？3、如何用尺规作图法作一条线段的垂直平分线？4、自己用尺规作图法作一条线段的垂直平分线？（基本作图3）已知线段AB，画出它的垂直平分线.做一做说出你的作图思路这也是一个最基本的尺规作图作法：（1）分别以A、B两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于C、D两点；（2）过C、D两点作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。ABDC思考：在上面的作图过程中，为什么必须以大于的长为半径作弧呢？实验与探究：利用基本作图3“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段中点的这条线段的垂线，能利用这一基本作图作“过一个点作已知直线的垂线”吗？提示：由于一个点与一条直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，所以应分两种情况进行讨论。（1）已知直线l和直线上一点P

求作：过点P作直线l的垂线作法：①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线L交于点A与点B；②作线段AB的垂直平分线CD，则直线CD就是求作的过点P的直线L的垂线。DCABPL(2)已知直线L和L外一点P；

求作：直线CD⊥L，且CD经过点P分析：也要设法先在直线L上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等，再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线L垂直。作法：①任意取一点K，使点K和点P在直线L的两侧；②以点P为圆心，PK的长为半径作弧，与直线L相交于点A和点B；③作线段AB的垂直平分线CD。则直线CD就是过点P的直线L的垂线。DC·k·PLAB例1.海伦是古希腊的一位数学家，测量学家。相传，有一天一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河L边让马饮水。怎样走路程最近呢？”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线。··ALB作法：⑴作点B关于直线L为对称轴的对称点B′；（2）连接AB′，与直线L将交于点P；（3）连接BP，即A---P----B就是最短路线点P就是所求作的直线L使AP+BP的值最小的点·B′P请你说明作图的道理··ALBP·B′理由：因为点B，B′关于直线L对称，根据轴对称的基本性质，L是BB′的垂直平分线，所以PB=PB′如果再在直线L上另取一点P′，连接AP′,B′P′,根据三角形的三边关系的性质(或两点之间线段最短)可知：AP′+B′P′>AB′，即AP′+B′P′>AP+BP,所以AP+BP的值最小，将军走的路程最近。·P′挑战自我如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上的任意一点，你能在AC边上找出一点E，使BE+ED最小吗？画出图形，并说明理由。你能在BC边上找出一点F，使AF+FD最小吗？画出图形，并说明理由。BC·DA巩固练习:课本P50练习第1、2题课堂小结

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