四川省成都市某中学2024-2025学年高二年级上册十月月考数学试题

四川省成都市成飞中学2024-2025学年高二上学期十月月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知点4（2,2,-1）关于y轴的对称点为8,则|明等于C）

A-2V2B-2V5C-23D-3V2

2-向量0=（0,1,_1）在向量〃=（3,2,1）上的投影向量为（）

1一1一

A.nB.——n

147

1一1一

C.—nD.-

147n

3.如图，空间四边形CM8C中，方=£,京=否,双=小点”在。/上，且。必=2而，

2r1r1r2一[一]一

A.——Q+—b——cB.——a+—b+—c

322322

2-1一1一

C.D.—a+—b+—c

322322

4.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险;

试卷第11页，共33页

T，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个

险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（

)

A均•保费刖/一

I（XM4“年龄

不X年龄收入均参保密Ml

A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五

成

C.18—29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元

5.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测

试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率号，在实验操作中结果为优

秀的概率为三7，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

3

7151

A.'B.-C.—D.-

122123

6.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点

试卷第21页，共33页

数，用y表示绿色骰子的点数，用（x/）表示一次试验结果，设事件E:x+y=8;事件下：

至少有一颗点数为6；事件G:x>4;事件.则下列说法正确的是（）

A.事件£与事件尸为互斥事件B.事件厂与事件G为互斥事件

C.事件上与事件G相互独立D.事件G与事件“相互独立

7.P是被长为I的正方体4BCD一42c2的底面4402上一点，则强,用的取值范围

是（）

一5'°丁

8.有5张未刮码的卡片，其中〃张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡

片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码

结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉

下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则"

至少为（）

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

9.若｛。1，目是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）

A-a,2b,?>cB.a+b,b+c,c+a

Ca+2b,2b+3c,3a-9cD.a+b+c,b+c,c

10.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制,

即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙

获胜的概率为0.4.某同学利用计算机产生1〜5之间的随机数，当出现1,2或3时，表示甲

获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产

试卷第31页，共33页

生如下20组随机数：

423123423344114453525332152342534443512541125432334151314

354,

根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（）

A.甲获得冠军的概率近似值为0.65

B.甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5

C.比赛总共打满三局的概率近似值为0.6

D.乙以2：。的比分获得冠军的概率近似值为0.15

11.如图，正方体48co-的棱长为2,E为/内的中点，P为棱3c上的动点

（包含端点），则下列结论正确的是（）

A.存在点P,使尸E//CR

B.存在点尸，使

C四面体W的体积为定值g

PF

D.点/到直线的距离的取值范围为

三、填空题

12.某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班40人，3班50人，4班50人.该

校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取50人进行访谈，若

采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是—.

试卷第41页，共33页

13.已知单位向量7,两两的夹角均为60。，》=2f_]+3G石=2f_]+加且"，人则实

数人——•

14.已知四棱锥尸_N8CZ)的底面为边长为2的正方形，

PB=PC=BC,PA=PD=,N分别为AB和PC的中点，则平面DA/N上任意一■点到

底面48co中心距离的最小值为.

四、解答题

15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率；

(2)从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则

甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.

16.如图，四边形48cD与均为菱形，FA=FC>MZDAB=BF600•

(1)求证：/c,平面2。即；

(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值.

17.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯,

每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调

查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率

试卷第51页，共33页

分布直方图，如图所示.

频率

(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数；

(2)根据频率分布直方图，估计阅读时间在［50,70)的当地年轻人的平均阅读时间；(结果保

留分数)

(3)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位

于分组［50,60)，［60,70)和［80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中

至少有1人每天阅读时间位于［80,90)的概率.

18.如图，若V48c内一，点、P满足/P4B=NPBC=/PC4，则称尸为v/8c的布罗卡尔点.

若设NP4B=/PBC=/PCA=。'则称。为布罗卡尔角,

(D若V4BC是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是V/5C的内心(内心是三角形三个

内角角平分线的交点)，求的外接圆的半径；

(2)在V/8C中，角4B，。的对边分别为。，b,c,记v/8c的面积为乱V/8C的布罗

试卷第61页，共33页

卡尔角为“，且0=巴.证明：/朝官2弟后；

6

(3)在V45C中，记V45C的布罗卡尔角为6,若4=2。，求证：sir?4=sin8sinC•

19.在空间直角坐标系。一肛2中，已知向量/=(〃/,0)，点片由J。,z°)•若直线/以"为方

向向量且经过点勺，则直线’的标准式方程可表示为二包=匕9=二①(He/0)；若平

abc

面a以方为法向量且经过点勺，则平面a的点法式方程表示为

a(x-xo)+Z?(j/-yo)+c(z-zo)=O-

⑴已知直线’的标准式方程为文」=?=出，平面内的点法式方程可表示为

1-V31

氐+尸z+5=0，求直线/与平面四所成角的余弦值；

(2)已知平面％的点法式方程可表示为2x+3y+z-l=0，平面外一点*1,2,1)，求点尸到平

面见的距离；

(3)⑴若集合M={(x,y,z)||x|+|y区2,|z区1}，记集合〃中所有点构成的几何体为S,求

几何体S的体积：

(ii)若集合N={(X,%z)||x|+2,3+1z42,|z|+1x区2}.记集合N中所有点构成的几

何体为7,求几何体7相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小

试卷第71页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案BCBBCDBCABDAD

题号11

答案BC

1.B

【分析】根据题意求出对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算可得结果.

【详解】易知点/（2,2,-1）关于〉轴的对称点8（-2,2,1），

所以可得卜回二J（2+2『+（2_2）2+（_]_]）2=20.

故选：B

2.C

【分析】根据投影向量的定义计算即可.

【详解】由£=（01,_1），«=（3,2,1）1

u•n-0x3+1x2+（―1）x1-1—

n=n

则相应投影向量为卜=—32+22+12l4-

故选：C

3.B

【分析】由向量的线性运算得到结果.

【详解】^=MA+AB+BN=^0A+（0B-0A）+^（0C-0B）=-^a+^b+^c.

故选：B.

4.B

【分析】利用统计图表一一分析选项即可.

【详解】对于A,由条形图可知丁险种参保比例为1_0,3-0.1-0.02-0.04=0.54>0.5

超过五成，故A正确；

答案第11页，共22页

对于B,由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：35%+10%=45%，故B错误；

对于C,由扇形图与折线图可知18—29周岁人群参保人数占比“％，

人均参保费用在（3000,4000），而54岁及以上人群参保比例虽10%,

但人均参保费用在6000,所以18—29周岁人群参保的总费用最少，故C正确；

对于D,由扇形图与折线图可知，人均参保费用约

15%x4000+40%x4000+35%x5500+10%x6000=4725，

不超过5000元，故D正确.

故选：B

5.C

【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.

【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：

12315

—x——|——x—=—.

434312

故选：C.

6.D

【分析】A选项，写出事件£,尸包含的情况，得到£口月/0，A错误；B选项，写出事件

G包含的情况，结合A选项，得到尸nGw。，B错误；C选项，写出事件EAG包含的情

况，故尸（EG）wP（E）尸（G），C错误；D选项，写出事件“和GC”包含的情况，得到

P（GcH）=P（G）P（H），D正确.

【详解】A选项，事件氏x+y=8包含的情况有⑵6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2），

事件尸：至少有一颗点数为6包含的情况有

r

答案第21页，共22页

（1,6）,（2,6）,（3,6）,（4,6）,（5,6）,（6,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）'

故£口下20，事件£与事件尸不为互斥事件，A错误；

B选项，事件G：尤＞4包含的情况有

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6），

故FCIG3。，事件厂与事件G不为互斥事件，B错误；

C选项，抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，共有6x6=36种情况，

故尸（£）=』,尸传）=竺=工，

''36''363

事件WG包含的情况为（2,（6,2）,故尸（咐亮亮，

故尸（EG）HP（E）尸（G），故事件E与事件G不相互独立，C错误;

D选项，事件包含的情况有

(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（6,1）,（6,2）,（6,3），共7种情况，

故尸（H）=竺=—

v7362

事件G"包含的情况有：（5,1）,（5,2）,（5,3）,（6,1）,（6,2）,（6,3），

故P(GC〃)=9=，

366

因为尸（Gc〃）=P（G）尸（〃），所以事件G与事件H相互独立，D正确.

答案第31页，共22页

故选：D

7.B

【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点尸的坐标为(x),z)，用坐标运算

计算出莎.属，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范围.

【详解】如图，以点。为坐标原点，〃所在直线分别为'J*轴，建立空间直角

坐标系，

则通1Q0。，G(0刈，设尸(x,y,z)，0<x<l>0<y<l，z=l,

PC；=(-x,l-y,0);

.•.莎・西=r(l_x)_Ml_y)=x2_x+y2_y=]x_g)-g，

当工、」时，两,七取得最小值-L

22

当x=0或1,>=0或1时，秒.七取得最大值0,

所以苏•七的取值范围是「J_,0.

2

8.C

答案第41页，共22页

【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张

“中奖”卡的概率大于工，再列不等式求〃取值.

2

【详解】由于总资金10。元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.

刮第1张卡前，下注50元：

若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少；

若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加；

所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少；

所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于!即可，

2

由5张卡片中任取2张的方法数有10种，〃张“中奖”卡中取到2张的方法数有风冒种,

所以迎心一0I。且2W〃W5,故”=4或5,即〃至少为4.

202

故选：C

【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于1为关键.

2

9.ABD

【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论.

【详解】由于｛凡瓦可是空间的一个基底，所以不共面，

对于A,向量2g,3"分别与反"共线，所以工253工不共面，能构成空间一个基底；

对于B,不存在实数“满足：+'=x(0+9+M"),因止匕之+否石+芯+£不共面，能构成

空间一个基底；

答案第51页，共22页

对于c,由于3@+25-（25+3工））=32-臭，因此这三个向量是共面的，不能构成基底.

对于D,不存在实数X/满足£+各+工=丁伍+-+,心因止匕a+B+c，g+c，c不共面，能构成

空间一个基底.

故选：ABD

10.AD

【分析】由20组随机数中的数字组合，根据获胜规则得出相应的数字组合，即可得出对应

概率.

【详解】根据题意可知，20组随机数中表示甲获胜的共有423123423114332152342

512125432334151314,即共有13组，

因此甲获得冠军的概率近似值为U13=0.65,即A正确；

20

甲以2：0的比分获得冠军需满足前两个数为1,2或3,共有123114332125334314,

共6组数据，其概率接近£=0.3,即B错误；

20

比赛总共打满三局的数字组合需满足前两个数为出现一次1,2或3,出现一次4或5,

共有423423344525152342534512432151354,

比赛总共打满三局的概率近似值为口=0.55，即C错误；

20

乙以2：0的比分获得冠军的数字组合共有453443541,共3组，

可知乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为3=0.15,即D正确.

20

故选：AD

11.BC

【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A,判断而=（27,-1,2）,西=（0,-2,2）是否

答案第61页，共22页

共线即可；对于B,由取.莺=_2+4_4=0即可判断；对于C，将问题转换为四面体

EPG2即三棱锥尸-EG2的体积即可判断；对于D,举反例说明即可.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：

则/（2,0,0）,C（0,2,0），A（0,0,2）,4（2,0,2）,与（2,2,2）,G（0,2,2）,E（2,1,2），

设尸”,2,0）,04/42，

对于儿而=（2—,-1,2）,西=（。,-2,2）,而于|,

所以PE,CQ不可能平行，故A错误；

对于B,取=«,2，一2）,莺=（一2,2,2”若2P_L/G，

则不•布=2+4-4=0,解得"0，

即当P,C重合时，有。/J.NC］，故B正确；

对于C,由题意过P作尸尸//cq交Be于点厂，

因为CGJ■面。1EG，所以尸尸，面。［EG，

所以尸产为三棱锥P-ECR的高，

答案第71页，共22页

又三棱锥的底面积为Sg=1x2x2=2,PF=CC\=2,

所以四面体"PGRy=J_.s.FF=-x2x2=-,故C正确；

333

对于D,设点4到直线尸£的距离

当点P与点8重合时，则窿=8£=石，

由的面积可得，x2*2=」dxVL解得d=2叵』W12］，故D错误;

225［5'

故选：BC.

12.10

【分析】根据分层抽样的方法计算即可・

［详解1由题意可知四个班级的人数比例分别为60：40:50:50=6:4:5:5'

即2班占全部学生的比例为——-——=

6+4+5+55

所以抽取50人访谈需从2班抽取50x(=10人.

故答案为：［0

13T

【分析】利用向量垂直的充要条件结合向量数量积公式计算即可•

［详解】由题意可知z-j=i-k=j-k=\xlxcos600=；,

a-Lb9

答案第81页，共22页

所以［石=卜7-7+33.（21j+4）=4+1+32-47J+（2；l+6）7仄一（2+3）］仄=0'

整理得5+34-2+2+3—"=0,解之得2=-g.

27

故答案为：V9

14.B

8

【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐

标系，由点到面的距离即可求得平面上任意一点到底面/BCD中心距离的最小值.

【详解】••・四棱锥P-/2CD的底面为边长为2的正方形，连接NC*。且相交于点O,则

点O是底面4BCD中心，PB=PC=BC=2'

取3c的中点尸，连接尸尸，则p尸,8C，

又•:PA=PD=41AB=2V2，

DC2+CP2=22+22=（2>/2）2=DP2,AB2+BP2=22+22=（2>/2）2=AP2

PCVDC,ABVPB

又PCcBC=P，AB//DC

CD1面PBC

又；CDu面48ap

■■^PBCL\^ABCD

又<PF工BC，8c为面PBC与面48co的交线，尸尸u平面尸3c

答案第91页，共22页

:.PF^ABCD

又u面/BCD，CFu面/8CZT

PF±OF,PF1CF

以尸点为原点，以PC,R2,FP分别为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,1,0),〃(1,2,0),N包0立］设平面。血亚的法向量为蔡=(x,%z),

12…2)

设。到平面DW的距离为“

r„—n[(x,y,z)-(-2,-l,0)=0

2x+y=0

贝叶_一►x3V3

ih'NM=0(%//)・--,1,——=03x-2y+VJz=0

i22

令"T，则旗

出

T

8

答案第101页，共22页

2

15.(1)-

3

(2)是公平的，理由见解析

【分析】(1)利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求

解；

(2)利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较

即可求解.

【详解】⑴试验的样本空间。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,设

标号和为奇数为事件2，则2包含的样本点为(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4个，所以

(2)试验的样本空间。

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},

共有16个，

设标号和为奇数为事件C,事件C包含的样本点为(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),

(3,4),(4,1),(4,3),共8个,

故所求概率为p(c)=5=；，即甲胜的概率为g，则乙胜的概率为:，

所以甲、乙获胜的概率是公平的.

16.(1)证明见解析

⑵巫

5

【分析】(1)结合菱形性质，利用线面垂直的判定定理求解即可；

(2)建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角即可.

答案第111页，共22页

【详解】(1)设AC与8D相交于点。，连接尸。，

:四边形/BCD为菱形，

且。为NC中点，FA=FC，:,ACLFO,

又FOcBD=O，FO,BDu平面BDEF,：.AC1平面BDEF.

(2)连接。尸，•.•四边形BDEF为菱形，且尸=60。，

.•.△£)8F为等边三角形，

•.♦。为8。中点，.•.R9_L3。，又/C_LFO，/C,8Du平面/8C。，

二.尸0_1_平面/2四.故。/,OB,。尸两两垂直，

建立空间直角坐标系。-xyz,如图所示，

设/5=2，：四边形48cZ>为菱形，ZDAB=60°<：,BD=2^AC273•

,：ADBF为等边三角形,：•OF=6■

：./(G,0,0),3(0,1,0),£>(0,-1,0),尸(0,0,6)，

.•.石=卜6,-1,0),AF=(-73,0,73),28=(-73,1,0),

n=(x,y,z)AF-n=-#>x+百z=0

设平面48尸的法向量为，贝上

AB-n=-\[?>x+y=0

令x=L解得力=(1，△，1),

设与平面厂所成角为0,

答案第121页，共22页

17.(1)85；

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求出〃，再根据百分数计算

规则计算可得；

（2）首先求出［50,60）、［60,70）的人数，即可估计平均数；

⑶首先求出［50,60），［60,70）和［80,90）各组抽取的人数，再利用列举法及古典概型的概

率公式计算可得.

【详解】（1）由题意可知，（0.010+2a+0.045+0.005）xl0=l，解得”0.020,

前3组的频率和为（O.OIO+O,O2O+O.O45）X1O=0.75<0.85，

前4组的频率和为（o.oio+0,020+0.045+0,020）x10=0,95>0,85，

所以第85百分位数在第4组，设为x,则0,75+（%-80）x0.020=0.85，解得x=85，

所以这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数为85；

答案第131页，共22页

（2）因为［50,60）的人数有：100x0.01x10=10人,

［60,70）的人数有：100x0.02x10=20人，

所以阅读时间在6°，70）的当地年轻人的平均阅读时间为」一x55+3—x65=—；

10+2010+203

（3）由于［50,60），［60,70）和［80,90）的频率之比为1：2：2，

故抽取的5人中［50,60），［60,70）和［80,90）分别为1人,2人，2人,

记［50,60）的1人为0，［60,70）的2人为可也，［80,90）的2人为qg，

故随机抽取2人的所有样本点为｛（2卜（见8），34,（％2）,他也）,（4,9卜（九。2），

他,％）,（%/）,（%/｝，共包含1。个样本点，

其中至少有1人每天阅读时间位于［80,90）的样本点为｛（3）,（"）,（配q）,（"。2），

（62，。1）,（62，。2）,（。“2）｝'共包含7个样本点，

故至少有1人每天阅读时间位于18°，9°）概率尸=_1.

10

18.⑴2。

3

⑵证明见详解

⑶证明见详解

【分析】（1）根据题意可知：/2尸。=茎,8。=2,利用正弦定理求外接圆半径；

（2）先根据S=S/BC=S./B+S./C+S咏表示出三角形得面积，再在

△加口PBC,P/C中，由余弦定理相加，再化简整理，即可得证；

答案第141页，共22页

(3)根据(2)得出与邑，肥的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式,

化简整理即可得证.

【详解】(1)由题意可知：ZBPC=—,BC=2,

3

△PBCBC_2

所以的外接圆的半径二=2sinNBPC=1万=亍♦

2x——

2

(2)若0」，

6

则S=S/人\&板k/\S1P/i.iKj+SrPaAuC+S广p„℃r^-c-APsmd+-a-BPsin3+-b-CPsmO

=^sinO(a-BP+c-AP+b-CP)=^a-BP+c-AP+b-CP),

所以++

在△血更，PBC,P4C中，

分别由余弦定理得：BP2=c2+AP2-2.C-APcosd，

CP2^a2+BP2-la-BPcos3，AP2=b2+CP2-2b-CPcosd>

三式相加整理得2cose(a-8尸+C-4P+6-CP)=/+62+C2,

因为。=工，所以/酉宫2H4Gs.

6

(3)由(2)^SAABC=^sm6(a-BP+c-AP+b-CP),

答案第151页，共22页

sin。

由285。(。・8月+。・42+儿。。)=。2