数列综合大题归类：求和放缩不等式（16题型提分练）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题17数列综合大题归类：求和，放缩不等式

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目录

题型一：分组求和：公式法........................................................................1

题型二：分组求和：奇偶分段型....................................................................3

题型三：分组求和：正负相间型....................................................................5

题型四：倒序求和型..............................................................................7

题型五：裂项相消1：函数型......................................................................9

题型六：裂项相消2：指数型......................................................................12

题型七：裂项相消3：无理根号型..................................................................14

题型八：裂项相消4：分子分母齐次分离型.........................................................17

题型九：裂项相消5：等差指数混合型.............................................................20

题型十：裂项相消6：正负相间裂和型.............................................................22

题型十一：裂项相消7：三角函数型...............................................................25

题型十二：裂项型证明数列不等式.................................................................28

题型十三：三角函数型数列不等式证明.............................................................30

题型十四：先求和再放缩证明数列不等式...........................................................35

题型十五：先放缩再求和证明数列不等式...........................................................39

题型十六：利用导数不等式证明数列不等式.........................................................43

^突围・错;住蝗分

题型一：分组求和：公式法

指I点I迷I津

等差等比求和是求和的基础。等差等比求和公式：

等差:前w项和公式：喀口4=血抖.

,q=1,

等比：前〃项和公式：a。-q"）与一。应

1.（23-24高三・河北唐山•模拟）己知数列｛q｝,%=%=1,an+2-5an+1+6an=0.

⑴证明：数列｛%+「3q,｝为等比数列；

⑵求数列｛4｝的通项公式；

⑶求数列｛。,｝的前〃项和S,.

【答案】⑴证明见解析（2）为=2〃-⑶"=2W+1----

22

【分析】（1）根据已知条件得到4+2-2q+i=3（%+i-2%）,%+2-34+1=2（4+I-3%）,即可证明答案.

a.-2a=—3K1

（2）根据题意得到向Jc〜一，再解方程组即可.

K+i-3a„=-2-2

（3）利用分组求和的方法求解即可.

【详解】(1)因为％=。2=1，。,+2-5。“+1+62=。，

所以%+2-2为+1=34+1-2(),an+2-3an+l=2(a„+1-3a„).

a

而。2—2。[=—1w0,a2—3q=—2w0,所以n+i~2an。0,an+l—3anw0,

2+2]%=3,%+2=2.所以数列｛4+「2。”｝是以首项—1,公比为3的等比数列.

an+\"nan+\

数列｛a“+「3q｝是以首项—2,公比为2的等比数列.

⑵由⑴知：小一"一:"％=2"-3一

&+1-3氏=-2.2

(3)因为。"=2"-3"1,所以£,=21+22+…+20—(3°+。+…+3.T)=2(1-2")-'=？…3"3

1-21-322

2.(2024•山东•二模)已知数列｛%｝,｛么｝中，q=4,々=一2,｛%｝是公差为1的等差数歹|,数歹

是公比为2的等比数列.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)求数列出｝的前〃项和却

【答案】(1也=2"-〃-3⑵1=2向-史-乂-2

22

【分析】(1)先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列｛%｝的通项公式，再根据等比数列的通项公式计

算出数列｛%+〃』的通项公式，即可计算出数列他」的通项公式；

(2)根据数列｛2｝的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前〃

项和

【详解】(1)由题意，可得%=4+(〃-1)X1=〃+3,

故4=〃+3,neN*,

:数列｛%+2｝是公比为2的等比数列,且-—2=2,二缘+"=2-2"-1=2",

bn=2"-an=2"-n-3,〃eN*.

(2)由题意及(1),可得=2"-(”+3),则北=4+62+634---kb*

=<2i-4)+(22-5)+(23-6)+-+[2"-(〃+3)]=(2'+22+23+...+2,|)-[4+5+6+...+(n+3)]

=2(1-2")5+7)〃_2向17n2

1-22TT

3.(23-24高三•重庆九龙坡•模拟)已知等差数列｛风｝的前〃项和为工，且满足q=-2,邑=0.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)设吼=a“+3?求数列也｝的前〃项和九

9"-1

【答案】(1)4=4九-6(2)"(2〃-4)+

24

【分析】(1)利用等差数列的概念计算公差，再求通项即可；

(2)利用等差数列、等比数列的求和公式，分组求和计算即可.

【详解】(1)由题意可知S?=4+%=-2+g=。，所以的=2,

设｛4｝的公差为d,则d=%-4=4,所以％,=-2+(〃-l)x4=4〃-6；

(2)由题意知，b„=a„+32n-3,

„,〃(一2+4〃-6)

易矢口%+%+.••+%=----------=2n9-4〃,

如,13〃(4+%)3一;(1一9"),八9"-1

故7＞卬+%+。3+…+4,+3T+3i+33+i+32"-3=_l^」L2+_三1=妆2"-4)+f

4.(22-23高三•河南郑州•期中)已知数列｛”“｝的前〃项和为S,,且满足S"+”=2a"(〃eN*).

⑴求证:数列｛4+1｝为等比数列；

（2）求数列｛6｝的前”项和

【答案】⑴证明见解析⑵5“=2.-〃-2

【分析】⑴由S“和%的关系式消去S“得递推式a“=2a,T+1,由此构造等比数列｛。“+1｝；

（2）法一、由（1）求出数列通项，再分组求和；法二、由（1）求出数列通项，代入已知式，整理即得.

【详解】（1）当”=1时，％+1=2%,解得％=1.因5“+”=2%①，

当“22时，S,i+5-l）=2a,T②

①-②得，an+l=2an-2a„_j,ipan=2an_1+1,贝Ija0+1=2（a._]+1）,即一--=2,（n>2）,又q+l=2.

a

n-i+1

所以。+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列.

=（21-1）+（22-1）+（23-1）+---+（2"-1）

（2）法一、由（1）可得%+]=2-2恒=2"，即氏=2"—1,=（2'+22+23+...+2"）-«

法二、由(1)可知a“+l=2-2i=2",即a"=2"-l,

又由题知：S,+〃=2a“(weN*).代入可得5“=2%-〃=2M-九-2.

题型二：分组求和：奇偶分段型

;指I点I迷I津

：分组求和法：

1.形如%=b“（等差）+c“（等比），用分组求和法，分别求和而后相加减

；2.形如a,=b“（等差比）+c”（裂项），用分组求和法，分别求和而后相加减

3.形如a,=b”+c“，（b„,"为可以求和的常见数列），用分组求和法，分别求和而后相加减

如果涉及到分段数列，则.要注意处理好奇偶数列对应的项：

（1）可构建新数列；（2）可“跳项”求和

1?"63-24晒：育靠麻赢丁藐零薪司褊币：々二17iis~~

数列，4=2,且4+邑=7,%+4TO.⑴求％与或;

为奇数）

（2）定义新数列｛Q｝满足£,=<如仅为偶数j;〃eN*),求｛C“｝前20项的和7M.

11

【答案】（1）%="，2=2"（2）等7Q6+?4

【分析】（1）设出公差和公比，根据等差数列和等比数列的基本量运算，列出方程组，解之即得数列通项;

（2）根据数列｛CJ的奇偶性特征，运用分组求和法计算5。，利用等差数列和等比数列的求和公式计算即

得.

【详解】(1)设数列｛厮｝的公差为d，数列｛%｝的公比为4,

\b+S=10f2g+2+d=7ft/=1,

则由2/2s可得，c2S，解得：。故%=1+5—1)=22=2〃.

[a2+b3=10[l+6?+2(7=10[q=2,

%（几为奇数）

（2）由（1）得,

2",（〃为偶数）

2420

则^20=(G+C3T-----FC]9)+(C2+C4+—FC20)=(1+34----1-19)+(2+2+—+2)

10(1+19)4(1-410)_4411_296411

21-43333

2.(2024•山西•三模)已知等差数列｛〃〃｝的公差d>0,前〃项和为且%。6=-5,S8=-16.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

[a,n=2k—l/*、,、

⑵若么=°：akeN*,求数列也的前2〃项和匕.

[2,〃=2化'/

4〃+1_4

【答案】⑴氏=2〃-11(2)2"一11"+^_1

【分析】（1）依题意得到关于6、d的方程组，解得生、d,即可求出通项公式;

（2）由（1）可得化eN*,利用分组求和法计算可得.

[2,〃=2上'7

【详解】（1）因为％。6=-5,s8=-16,

(%+2d)(%+5d)=—5

所以8x(8—1)，解得

8%T-----——-d=-16

n——9

因为d＞。，所以Jc,贝！|a“=q+(〃-l)d=2〃-n；

a=2

a,n=2k—\2〃—11,〃=2女—1

（2）由（1）可得〃=nwN*

2n,n=2k2n,n=2k

所以(“=[_9-5-l+3+7+…+(4〃-13)]+(22+2，+26+-+22")=〃[-9+(4〃-13)]+2。(1-：”)

4«+1_4

=2n2-lln+

-3~

3.（23-24高三下•广东•模拟）已知数列｛的J是公差不为0的等差数列，其前几项和为5“，S3=3,出，?，

4成等比数列.

⑴求｛&J的通项公式；

[a+3,n=2k,

⑵若2=1]，获N*,求数列也｝的前100项和小.

[2n,n=027k—l,

【答案】⑴见=2〃-3（2）%=5100+^^

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解通项，

（2）利用等差等比求和公式，结合分组求和即可求解.

【详解】（1）设数列｛&J的首项为4,公差为d,根据题意得；即/一、2/八/一、

[a3=a2a6,[（q+2d）=（%+d）（q+5d）,

解得?二'或夕:.又因d-0,所以夕所以5｝的通项公式为4，=2-3.

\d=2,[d=。[d=2

f2几〃—2人

（2）由（1）得2=c2；3一；।keN.即数列｛如｝的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列，

[2,YI—■2k+1,

奇数项是以!为首项，16为公比的等比数列.

数列｛%｝的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，

数列｛bn｝的前10°项和北=济+匕2+仄+.......+Z?99+b100.

：(1-165。)_220°T,4+々+4+50x49

+698+0100=50x4+--------x4=5100

4+4+&++方97+d9=2

1-1630

2200-1

所以小=5100+

30

4.(23-24高三•江苏盐城•期末)已知等差数列｛%｝的首项为1,公差d=2.数列也｝为公比q=2的等比数

列，且久也+3,4成等差数列.

⑴求数列也｝和数列也｝的通项公式；

为奇数()

(2)若c.=…数'求数列间的前2,项和

【答案】(1)%=2〃-1,b"=3-2"T(2)2“2—〃一2+22角

【分析】(1)直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果；

(2)分为奇数项和偶数项结合等差数列和等比数列的前〃项和即可得结果.

【详解】(1)由于等差数列｛%｝的首项为1,公差d=2

所以4,=2〃T,

由数列他,｝为公比是2的等比数列且打也+3,打成等差数列，

知2(4+3)=。+处2(曲+3)=改+跖,解得仇=3,所以么=3・2。

为奇数31

(2)由(1)知，c=,北“=1+3-2+5+3・23+…+4”-3+3.22"T

n3为偶数'

32n1

7；n=(l+5+9+---+4/7-3)+(3-2+3-2+--.+3-2-)

/i(l+4«-3)2(1-4")2

=」-------L+3-△--------=2n2-n-2+22n+2n1+.1

21-4

题型三：分组求和：正负相间型

指I点I迷I津

正负相间求和：

1.奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。

2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的

奇数项通项。

1.(24-25高三•全国•练习)已知数列氏求数列｛0｝的前几项和S".

3"为偶数，

2

【答案】s“=

_山，〃为奇数.

2

【分析】分奇偶讨论，结合分组(并项)求和即可.

【详解】若〃是偶数，贝iJS.=(-l+2)+(—3+4)+(—5+6)+…("一l)+”]=g.

若n是奇数，贝11S“=(―1+2)+(—3+4)+(—5+6)H----F(―«)=——n=——.

为偶数，

2

综上所述，S,=.

-小，〃为奇数.

2

2.(2023•广西南宁•模拟预测)已知数列｛%｝的前"项和为S"，S“=?-g,〃eN*.

⑴求｛见｝的通项公式；

H

⑵设％=(R)g34)2,Cn=(-l)7^-+-^—J,求数列匕｝的前〃项和

%2)

【答案】⑴a"=3"("wN*)(2)7；=/^V

【分析】(1)根据。”与S”的关系直接求通项公式即可;

(2)根据(1)中｛&J的通项公式得到么=(log3a“)2=(log33"『=/，分奇偶讨论「并整合即可得到答案.

323

【详解】(1)由题意，当〃=1时，a,=S,=-----=3,

1122

当心2时,册=—“=([3向丁出3、万(3"一3、尸，

当〃=1时，上式也符合,

所以｛&J的通项公式为%=3〃(〃£N*).

11

(2)由(1)得，an=3",所以=(logs)2=(logs3")2=1,%=(-1)〃(

、(,+1)2w+2)2、

1111111111

(0)当〃为偶数时，T=++…++

n一级一三n2"+1)1(〃+2力n+2f4

1111-11

(团)当〃为奇数时，T“=T”+「c向

("+3)24("+2『(71+3)"(“+2)24'

_㈠)"1

综上所述,

(n+2)24

3.(2024•辽宁沈阳•模拟预测)已知数列｛0｝满足％=1,an>0,凡是数列｛《,｝的前〃项和，对任意“6N*,

有250=2%+%-1

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)设=(-1尸4,求也｝的前100项的和.

【答案】⑴。“=颉+1);(2)-25

【分析】(1)根据q=4-5”_1(〃22)作差得到(%+%T)(24-2%_「1)=0,从而得到风一47=；(〃22),

结合等差数列的定义计算可得；一

(2)由⑴可得b“=(T)"Txg(〃+l),记％则％=-；，利用并项求和法计算可得.

【详解】(1)由2s“=2*+%-1,2sM=2。"+4--1(〃22),

两式相减得2%=2a；-+4-,即(%+)(2为一—1)=0,

因为a.>0,所以2a“-2a,1-1=。，即4-%、=；(w22),

故｛%｝是首项为1，公差为1的等差数列，所以为=；(〃+1);

L乙

(2)由(1)知勿=(-1)"-1%=(T)Ig("+1),所以应T+处=一；，

cn=bln_1+b2n,贝i]c“=_g,:,bx+b2+……+b｝W=cx+c2+……+c50=^-^x50=-25

4.(23-24高三•广东深圳•期末)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，S9=81,且/T,a4+l,%+3成等

比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若％eN*,么=(-!)%,+1,。是数列低｝的前〃项和.求应

2

【答案】⑴见=(九+7或4=2〃-1(2)或=4〃

【分析】(1)设出公差，根据条件求解公差，即可求出通项公式；

(2)利用并项求和法求解即可.

【详解】(1)㈤｝为等差数列，设公差为4,-59=9"&)=9%=81,二%=9,

%+1，%+3成等比数列，/.3+1)2=3-1)(%+3)，

即(9—d+l)2=(9—2d—l)(9+2d+3),整理得5d2—121+4=0,解得d=|或d=2,

?372

当d=E时，％=■—，cin=—n+7,当d=2时，％=1,a〃=2n—1,

•••数列｛4｝的通项公式为凡=("+7或4=2〃-1；

(2)•,・qeN*,由(1)知，.•.》“=(—1)"%+1=(—1)"(2〃-1)+1,

12

Vk+b2n=(4〃-3)+1]+[(-I)"(4«-1)+1]=4,

&=(=+b2)+(b3+fe4)+---+(^2„_i+Z>2„)=4+4+•-H-4=4M.^T2K-4n.

题型四：倒序求和型

指I点I迷I津

倒序求和：

倒序求和，多是具有中心对称的“函数型”，此类函数具有“和定”的特征，满足“和定”特征的还有组

合数。

1Y

1.（2022高三•全国•模拟）设4a,%）,3（孙％）是函数"xH=+log,一^的图象上任意两点，且

21—x

___,1.—.1

OM=-（OA+OB）,已知点〃的横坐标为万.

⑴求证：M点的纵坐标为定值；

（2）若S,=/…/eN*,且〃22求S“；

【答案】⑴证明见解析；（2）S“=—（〃》2,〃eN*）.

【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到%+9=1，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算

法则，可以得到常数；

（2）利用（1）中所求，当%+%=1时，y,+y2=l,可以采用倒序相加法，求和即可.

【详解】（1）证明：设"（x，y）,因为两=g（E+时，故可得苫=受产》=上产，

由X知5+兀2=1，故F=1-%，%2=1一%，

故_%+为小）+小）-含+陶吠1+啕之+9人」.

,22222

故M点的纵坐标为定值;.

(2)由(1)知玉+%2=1，/(石)+/(无2)=1=/(―)+f(-)4F/()

nnn

Sn=/(^)+/(^)+...+/(-),两式相加得：

nnn

2s“o⑺+&小4]…+[/R+4小-1，

故s“=%^(〃》2,〃eN*).

2.(20-21高三•全国•模拟)已知函数〃尤)=：/+；x,数列｛g｝的前〃项和为S“，点(〃,S,X〃eN*)均在函

数〃x)的图象上.

(1)求数列｛0｝的通项公式；

(2)若函数g(x)=]g，令聂[〃eN*),求数列出｝的前2020项和以2。.

【答案】(1)a„=n；(2)^020=1010.

1clfS,,n=1,、

【分析】(1)由题意可得当=:川+:“，然后利用。“=|、。可求出数列｛%｝的通项公式；

(2)由题意可得g(x)+g(l-x)=l,然后利用倒序相加法可求得结果

【详解】⑴回点(1)均在函数的图象上，ES„=|n2+|«.

当〃22时，%=S“一=n；

当〃=1时，/=耳=1,适合上式，回

(2)Sg(x)=-^—,回g(x)+g(l-x)=l.又由(1)知。，=〃，^bn=g[-^-].

4+2<2021y

*2。"+%+…+源2°=g[焉)+g[嘉卜-+g(翳)，①

立.777/2020、/2019、/11

又(020=62020+82019+…+4=s\+g—~r+…+gTT7T，②

①+②，26。=20201(焉[+8]工)=2020,0^=1010.

3.(20-21高三•江苏苏州•期中)已知/⑺=4+a£+…+H镇+…%C：(neN*).

(1)若。，=〃一1,求/(")；

(2)若a,=3"L求"20)除以5的余数

【答案】(1)f(n)=n-2n-l；(2)余数为1.

【分析】(1)根据倒序相加法，结合二项式系数和公式进行求解即可;

(2)根据二项式定理进行求解即可.

【详解】(1)因为/m=0&+iy+2C；+3.C：…

所以/(〃)=〃&+(〃-1)。丁+("-2)。尸+…+1C+0C

2/⑺="C；+”C+“C；+…+仁=〃(端+&+戏+…+&)=〃♦20,

(2)因为/⑺=3°d+3y+32第+…+3”£；=(1+3)"=4".

20202019182

/(20)=4=(5-1)=C^o5-C^05+C^5----+C^5-以51+C；；5°

除以5余数为1,所以〃20）除以5的余数为1.

4.（23-24高三•四川成都•模拟）己知数列｛%｝满足：争墨+段+…+墨=小=*）,数列出｝满足

bn=六.⑴求数列｛风｝的通项公式；

a〃十,

⑵求a+如0一〃的值；

⑶求4+b2+b3-\---的值.

199

【答案】（1）。“=2"（2）酒⑶声

【分析】（1）根据题意，当心2时，可得多+$+号+.-+畀="-1,两式相减，求得q=2“，再由〃=1,

得到4=2,即可求得数列｛厮｝的通项公式.

（2）由（1）得包=彳占7,结合指数幕的运算法则，即可求得2+九。一"的值；.

（3）由（2）知=。，结合倒序相加法，即可求解.

【详解】（1）由数列｛0｝满足:++—---H而■=,当Z1N2时,可得寸+或+才H-----F—=n-l

乙乙乙乙乙乙乙乙

两式相减，可得枭=1，所以。“=2”,当〃=1,可得?=1,所以％=2,适合上式，

所以数列｛&J的通项公式为«„=2".

(2)由数列｛%｝满足a=&'5。=2」25。，

川〃11_12"_1।2"2"+2$。_]

_n50100-n50n5010050n50n5050n505050

人」Dn+"100—〃2_1_22+2~2+22+2,22〃+2(2+2)2-(2+2)2-2,

(3)由(2)矢口4+仇00.〃=表，

可得4+4+&+-+如=7^+^^+.“+?^’

贝I49+48+勾7+…+4=299+250+298+250+…+'

9999

-

两式相加可得2sl+b2+b3-\----4处)=-50'所以4+>2+&■1-----4，99—~^51,

题型五：裂项相消1:函数型

指I点I迷I津

函数型，指的是3型

pq

（1）f（n）=t（q-p）,差型;

（2）f（n）是分离常数型；

1.（24-25高三•广东•开学考试）已知数列｛%｝的各项均为正数，4=LS”为｛q｝的前〃项和，且

⑴求｛4｝的通项公式;

（2）设2=与争

记他,｝的前〃项和为1,求证：

【答案】（1）«„⑵证明见解析

■\12rl-1-A/ZH—3,〃22.

【分析】（1）由题意知，当心2时，an=S„-S,^,代入题干表达式可得S；-S3=2（〃22）,通过计算数

列｛S；｝的通项公式即可计算出前〃项和S“的表达式，最后结合公式即可计算出数列

｛。九｝的通项公式；

（2）由（1）计算出数列｛匕｝的通项公式，再运用裂项相消法计算出前〃项和北的表达式，最后根据不等式

的性质即可证明结论成立.

22

【详解】⑴由.工.得S〃—S〃T即S：-S；T=2（〃22）；

》〃十dn-l凡+兀

又S：==1,

所以｛1｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以年=1+2（九-1）=2〃-1,又｛a“｝是正项数列，所以S,,=而二I.

当”22时，an=Sn-=\lln-l-\j2n-3,又当〃=1时，q=1不符合〃N2时册的形式.

1,〃=1,

所以%二B_7B_T>0

72n-y/2n-3,n>2.

（2）证明：

b=S；+S；M=2〃-1+2〃+1=4"=1F111

"S；S：+1（2n-l）2-（2n+l）2（2n-l）2-（2n+l）22（2n-l）2（2n+l）2'

一,,,11~111111"I1］，111

2产323252⑵-if（2〃+1）［2］（2«+l）2J2

2

2.（23-24高三•江西,模拟）已知数列｛4｝满足"+，%+•••+疯=与土

⑴求｛q｝的通项公式；

,2n+l,、3

⑵设“=-----,记数列出｝的前〃项和为S“，证明：-<5„<1.

anan+l4

【答案】（1）。"=/⑵证明见解析

【分析】（1）利用作差法得到百=%即可求出｛0｝的通项公式；

,11

（2）由（1）可得优=/一7~节，利用裂项相消法求和即可得证.

【详解】（1）因为用+向+…+向=£产，当”=1时内=—=1,所以4=1；

当心2时在+疯+一.+百=（^±^，

所以《=勺1_e_1）；+1=“,所以

经检验当〃=1时%=n2也成立,

所以％=

,2n+l2n+l_11

（2）由（1）可得或=二丁/5+1广+，

anan+l

所以S“=1+f+…+』一/:八2=1_/L、2<1，当”=1时，S|=l-J=],

449〃（〃+1）（〃+1）44

且S"+f=i-1二-1--7-1

（n+2）[（H+1）J（H+1）（n+2）

所以｛s“｝单调递增，所以（VS,<1.

3.（2024•陕西西安•模拟预测）设数列｛g｝的前"项和为S”,％=1,且S,=色要.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若么=，数列也｝的前〃项和为&V〃eN*'〈”恒成立，求实数加的最小值.

an'an+\

【答案】⑴4⑵1

an

【分析】（1）根据条件，利用。“与I间的关系，得到工=-再利用累积法，即可求出结果;

«„-i"T

（2）根据（1）中结果得到勿='一品歹，利用裂项相消法得到北=1-云尸，即可求出结果.

【详解】（1）因为S,=（"+1"”①,所以当“22时，5,1=殍②，

22

由①一②得到%=比警-生衿，整理得到又4=1,所以。，尸0,得到&=义,

22〃〃-1匕1

ana,an_^a0nn—12

所以当“22时，an=—•—•—••---«）=--x--x...x-xl=n,

«„-i限an_3q«-ln-21

当〃=1,满足%=〃，所以%=〃.

,a+2〃+111

⑵由⑴知”/不二而可=/一乐,

所以7>4+仇+…+2=1-*+*-:+…+，-春=1-春，

因为而:且N>°'所以I是关于”的递增数列'由V"eN*,7；〈根恒成立'得到m21,

所以实数加的最小值为1.

4.（23-24高三・河北石家庄•模拟）已知等差数列｛%J的前"项的和为S”,S2,$3,邑-2成等差数列，且的,%,%2

成等比数列.

⑴求的通项公式；

（2）若母==丁，数列｛%｝的前几项的和为1,试比较（与白的大小，并证明你的结论.

anan+l7。

【答案】⑴/=2〃+1⑵（<，，证明见解析

【分析】（1）根据题意，利用等差中项和等比中项列出方程组，即可解出首项和公差，进而求出｛厮｝的通项

公式；

（2）将“化简，利用裂项相消法求和，即可得（〈至，从而判断

f2S?=S2+S4—2

【详解】（1）设｛叫的公差为d,由题意得24,

必=%42

2（3q+3d）=（2q+d）+（4%+6d）-2=3

手（〃i+6d）2=（q+d）（q+21d）'解信jd=2'

所以q=4+（〃—Dd=3+（n—1）x2=2n+1.

n+1n+111_________1___

（2）b

n=222Z

%%+1（2a+1）2（2"+3）28（2n+l）（2n+3）

所以7:■"W[三一手+不一尹+…+?^^!7一^7]=45一^7

因为Lr°,所以0状44,即

题型六：裂项相消2：指数型

指I点I迷I津

指数型，类仞的数型的列项思维

1.（23-24高三•河南・模拟）已知数列｛%｝满足q=1。，。用=3%-2.

⑴求｛q｝的通项公式；

Q—11

⑵若么=口；2）a'记数列也｝的前〃项和为】，求证：工,〈飞.

【答案】⑴4=3加+1；⑵证明见解析.

【分析】（1）构造等比数列结合等比数列的通项公式，即可求得结果;

（2）根据（1）中所求明,利用裂项求和法，求得（，再证明即可.

【详解】（1）因为。用=3。“-2,所以。声—1=3（为-1）,又a/l=9,

Z7—1

所以4T=3,

所以｛。,-1｝是以9为首项，3为公比的等比数列，

所以4-1=93"T=3用，所以a,=3.+1.

2.（23-24高三下•河南・模拟）已知数列｛%｝满足％=3,。,用=34-2〃+1.

⑴求证：为等比数列；

⑵数列｛见―〃｝的前九项和为S“，求数列卜弋的前“项和人

I3〃3〃+IJ

【答案】⑴证明见解析；⑵3r

【分析】（1）变形给定等式，再利用等比数列定义判断得解.

（2）由（1）求出数列｛（一"｝的通项公式及前一项和，再利用裂项相消法求和即得.

【详解】（1）数列｛册｝中，an+l=3an-2n+l,则凡讨—（"+1）=3（%—〃），

而〃1=3,即％—1=2,

所以数列｛见-可是以2为首项，3为公比的等比数列.

(2)由(1)知，%=2・3"1,%+1—〃—1=2・3",Sn=2'x-------=3〃—1,S〃+i=3'”—1,

1—3

%_”1_2x3"_(3向_1)_(3"_1)_]_1

HH+1n+1

SnSn+l—(3"-1)(3--1)—(3-1)(3-1)―3"-1-3-l

a—几—1（11

所以数列｛弋一｝的前〃项和

3角一1

3.（23-24高三•云南曲靖•模拟）设等差数列｛q｝的前"项和为S,,且2%-%=2,55=30.

⑴求数列｛。”｝的通项公式；

b7---------2"-------

⑵若"可。第八，求数列｛%｝的前“项和&

Z—1Z—1

【答案】⑴见=2"⑵7；=1-0工

Z—1

【分析】（］）设数列｛4｝的公差为d,然后由已知条件列方程组求出弓,“，从而可求出其通项公式;

2〃]]

（2）由（1）得“一(2"-1)(2〃+1-1)—2〃一12n+i-l再利用裂项相消法求和.

J2(q+d)-(4+2d)=2%=2,

【详解】（1）设数列｛g｝的公差为心由题意可得。,解得

II+10J=30d=2.

/.册=%+(H—l)d=2n；

2n

b7----------------T_11

(2)由(1)可知"fI丫等]

22—122—1(2n-l)(2n+1-l)-2n-l

\J\J

T=b,+b-\----Fb=1-+-----------—HF--------------=1-----------.

"12"L22-lJ1^22-123-lJ（2"-12"+1-lJ2"+1-1

4.（23-24高三•湖北武汉•模拟