数列-2020-2024年北京高考数学复习试题分类汇编（解析版）

冷集07懿列

・

5年考情•探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

1.数列问题特别突出对学生的数

学思维能力的考查，所以问题

的设计要始终贯穿观察、分析、

归纳、类比、递推、运算、概

括、猜想、证明、应用等能力

的培养.既通过归纳、类比、递

推等方法的应用突出数学探

2020-2024：5年十三考：求数列通项；由递推公

究、理性思维的培养，又通过通

式总结数列性质；等差、等比数列的前n项和；

考点数列项公式、递推公式、前n项和

数列中最大（小）项；数列的单调性；基本量的

（5年几考）公式等内容进行大量技能训

计算；等差、等比中项；数列新定义；数列中的

练，培养逻辑思维、运算求解能

归纳问题

力。

2.从近几年的高考题可以看出、

数列部分主要以考查基础知识

为主，同时锻炼学生的运算求

解能力、逻辑思维能力等.重点

考查学生对数列基础知识的掌

握程度及灵活应用，同时也要

重视对通性通法的培养。

■=

5年真题•分点精准练

考点数列

1.（2023•北京・高考真题）已知数列｛4｝满足%=；（%-6）3+6（〃=1,2,3,），则（）

A.当4=3时，｛q｝为递减数列，且存在常数MW0,使得。“＞河恒成立

B.当4=5时，｛%｝为递增数列，且存在常数MW6,使得%<加恒成立

C.当q=7时，｛%｝为递减数列，且存在常数">6,使得4>“恒成立

D.当q=9时，｛%｝为递增数列，且存在常数〃>0,使得%<加恒成立

【答案】B

K祥解』法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.

1R

法2：构造〃x)=a(x-6)3+6-x,利用导数求得的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项4所

在区间，从而判断｛%｝的单调性；对于A,构造MX)=；X3_|X2+26A47(XW3),判断得。用<%-1,进

而取〃?=-["]+4推得不恒成立；对于B,证明(所在区间同时证得后续结论；对于C,记

Wo=log321og2(Af-6)+l,取《1=[见)]+1推得4>刊不恒成立；对于D,构造

_4_

1Qr

g(x)=：/一g/+26尤一49(x29),判断得an+l>an+\,进而取机=[河]+1推得an<M不恒成立.

1O]q

【详析】法1：因为%+i+6,故a“+i-6=w(%-6),

对于A,若％=3,可用数学归纳法证明：。“-6V-3即4V3,

证明：当”=1时，-6=-3<-3,此时不等关系43成立；

设当〃=左时，ak-6<-3成立，

贝lj%+i=—6)354,一，故以+i—6V—3成立，

由数学归纳法可得443成立.

而=；(。.-6)3-(％-6)=(%-6)-6)2-1,

1295

-(«„-6)^-1>--1=->0,an-6<0,故a用一见<0,故%+]<%,

故｛%｝为减数列，注意/-64-3<。

故%-6=：(a“-6)3=(a“-6)x；a-6)2<^(a„-6),结合%-6<0,

所以6-%q(6,故6-%23百,故a用46-31),

若存在常数MW0,使得。〃>屈恒成立，贝>M,

故A-_A/_>^?9Y,故"<iogg6一-M^,故a“>M恒t成立仅对部分"成立，

3⑷13

故A不成立.

对于B,若％=5,可用数学归纳法证明：-144-6<0即5«%<6,

证明：当”=1时，-1<<?!-6=-1<0,此时不等关系5V%<6成立；

设当”=%时，54aL<6成立，

则以+i-6=；（%-6丫,故一1Wak+i-6<0成立即

由数学归纳法可得5V.<6成立.

而见+1-。“6）3一（0“一6）=（%-6）*"—6）2-1,

-6）2-1<0,a„-6<0,故6+1-4>0,故4+i>%,故｛%｝为增数列，

若M=6,则。“<6恒成立，故B正确.

对于C,当％=7时，可用数学归纳法证明：0<%-6Vl即6<a,W7,

证明：当”=1时，。<卬-6V1,此时不等关系成立；

设当〃=左时，6<4«7成立，

则以+「6=；（七一6）建（0,；,故0<4厂6Vl成立即6<%W7

由数学归纳法可得6<a„<7成立.

「12~|

而见+「%=（见-6）-（a„-6）--1<0,故,+i<a“，故｛q｝为减数列，

又%一6=（4-6）><，4一6）二，4厂6）,结合％+|-6>（）可得：。用一64（卬一6）（£|,所以.W6+

若a用46+\],若存在常数M>6,使得恒成立，

则加-644]恒成立，故"WlogjM一6）,"的个数有限，矛盾，故c错误.

对于D,当q=9时，可用数学归纳法证明：%-6W3即229,

证明：当〃=1时，q-6=323,此时不等关系成立；

设当〃=%时，为29成立，

3

则ak+l-6=-（ak-6）>^->3,故ak+l29成立

由数学归纳法可得a.N9成立.

而见+i6）-（a„-6）--1>0,故%+i>a“，故｛%｝为增数列,

又--6=(%一6)x如一6『>》一6),结合%一6>0可得：«n+1-6>(a1-6)f|J=3停］，所以

9

9

若存在常数M>0,使得为〈〃恒成立，则M>6+3

(°Nn—1/°)

故M>6+3((J,故〃<咋(下一J+1,这与几的个数有限矛盾，故D错误.

故选：B.

法2：因为。〃+「4=工(%-6)+6-an=-al--a^+26an-4S,

io3

/(x)=—x3--x2+26x-48,则=—x2-9x+26,

令/«尤)>0,得0<尤<6-半或x>6+孚；

令尸(x)<0,得6一半<X<6+¥；

所以在F,6-呼和6+亭,+s上单调递增，在6-亭,6+亭上单调递减，

191

令/⑺=0,则1尤3一]尤2+26X-48=0,BP-(X-4)(X-6)(X-8)=0,解得x=4或x=6或尤=8,

注意至1」4<6<5,7<6+”<8,

33

所以结合“X)的单调性可知在(f,4)和(6,8)上/⑴<。，在(4,6)和(8,+⑹上/⑴>0,

对于A,因为%+|=；(%-6丫+6,则％-6=；(见一6)二

当"=]时，q=3,a,—6=a(q—6)<—3,贝ij%<3,

假设当〃=左时，4<3,

113

=a——

当〃二k+1时，ak+i—6~[k6)<—(36)<—3,贝!J必+]v3,

综上：。〃43,即4«-W,4),

因为在(-oo,4)上〃力<。，所以。则｛4｝为递减数列，

1319

1_%

因为。〃++1=工(4-6)+6-an+l=-al--^+26^-47,

193

=—x3--x2+26x-47(x<3),贝[]/z'(x)=—x2-9x+26,

-9

因为/（%）开口向上，对称轴为'二一不二。，

zx—

4

Q

所以〃（%）在（,，可上单调递减，故〃（%）2/3）=/32-9x3+26〉。，

所以"⑴在（―*3]上单调递增，/2（X）</Z（3）=^X33-|X32+26x3-47<0,

a

故n+i-«„+1<0,即an+l<an-l,

假设存在常数"WO,使得凡>“恒成立，

取见=-口1]+4,其中且[M]wZ,

因为“申<。“一1，所以外<o1T，4<02-1,,a.[M]+4<a_[M]+3-l,

上式相加得，。_陷+4<%-（一[加]+3）43+/-3=",

则％=，M]+4<M,与q>M恒成立矛盾，故A错误；

对于B,因为q=5,

1o1a

当〃=1时，％=5<6,a2=—（6^—6）+6=—x（5—6）+6<6,

假设当〃=%时，/<6,

当”=左+1时，因为必<6,所以以-6<。，则（以一6）3<0,

1q

所以以+i=z（4一6）+6<6,

131a

又当〃=1时，^2-5=-（^-6）+l=-x（5-6）+1>0,即%>5,

假设当〃=%时，ak>5,

当〃=k+1时，因为以N5,所以4-6之-1,则（%-6丫2—1,

1&

所以外+i=W（附一6）+625,

综上：5W〃〃<6,

因为在（4,6）上/⑴>0,所以。角>。〃，所以也｝为递增数列，

此时，取〃=6,满足题意，故B正确；

1.1.

对于C,因为风+i=w（%—6）+6,贝ija/6=w（Q〃—6）,

注意至1]当q=7时，a2=—（7—6）+6=—+6,+6—6）+6=[；）+6,

猜想当“22时，4=；F+6,

假设当”=%时，％=&：M+6，

厂-]3

i3i（i（iW3"+l-1）

当〃=左+1时，所以％+i=]（%—6）+6=zI—I+6—6+6=1—1+6,

综上：a

nI

卯T)

易矢口3〃一1>0,贝1」0<<1，故为；+6e(6,7)(n>2)»

所以a“e(6,7],

因为在(6,8)上〃x)<0,所以。用<。“，则｛%｝为递减数歹!J,

假设存在常数">6,使得4>加恒成立，

记外=log321ogj（M-6）+l,取机其中方-1VM卜/，/eN*,

4_

则3">3w=21ogj（M-6）+l,

4

故;G.TAlogNMY）,所以）<知_6，即）+6<M，

所以a“<Af,故不恒成立，故C错误；

对于D,因为。1=9,

13?7

当〃=1时，a2-6=—（^-6）=—>3,贝!J〃2>9,

假设当〃=左时，ak>3,

33

当〃=左+1时，ak+｛—6=—^ak—6）>—（9—6）>3,贝!]%+i>9,

综上：%之9,

因为在（8,+8）上/（可>。，所以4+1>。〃，所以｛%｝为递增数列，

131o

因为。.一4T=7（"〃-6）+6_Q〃T=一]。；+26。〃-49,

1o3

令S（%）=—+26%—49（x>9）,贝!Jg'（%）=a/一9x+26,

-9

因为/(外开口向上，对称轴为、二一—二。，

乙x

4

a

所以g'(x)在[9,—)上单调递增，故g，(x)>g,(9)=1x92-9x9+26>0,

iQ

所以g(x)Ng(9)=1x93一/x9?+26x9-49>0,

故4+1-4-1>°，即%>4+1，

假设存在常数M>0,使得4,</恒成立，

取“=[阂+1,其中,且[Af]eZ,

因为所以％〉q+1，。3>%+1，，//]+1>4凹+1，

上式相加得，a[M]+1>aA+[M]>9+M-\>M,

则%”=0M+i>M,与凡<M恒成立矛盾，故D错误.

故选：B.

【『点石成金』】关键『点石成金』：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据

所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.

2.(2022•北京・高考真题)设｛4｝是公差不为0的无穷等差数列，贝『'｛4｝为递增数列"是"存在正整数N。，

当"〉乂时，。">0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

K祥解》设等差数列｛”,｝的公差为d,则d/O,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义

判断可得出结论.

【详析】设等差数列｛q｝的公差为d，则dwo,记国为不超过X的最大整数.

若｛4｝为单调递增数列，则d>0,

若420,则当时，«„>«1>0；若q<0,则％=q+(〃-l)d,

由%=%+("-l)d>0可得”>1一?，取乂=1-号+1,则当附>乂时，a„>0,

所以，"｛4｝是递增数列存在正整数N°,当心N°时，a„>0"；

若存在正整数N。，当〃>乂时，an>0,取上eN*且左>乂，%>0,

假设d<0,令a“=40可得〃>发一■力,且人—k,

当w>k卷+1时，％<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛?｝是递增数歹!].

所以，"｛q｝是递增数列"u"存在正整数N。，当心N。时，a„>0".

所以，"｛4｝是递增数列"是"存在正整数N。，当〃〉乂时，%>0〃的充分必要条件.

故选：C.

3.（2021・北京・高考真题）已知｛。“｝是各项均为整数的递增数列，且若4+%+-.+a“=100,则〃的最

大值为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

（祥解]]使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得"可能的最大值，然后构造

数列满足条件，即得到”的最大值.

【详析】

若要使〃尽可能的大，则1,递增幅度要尽可能小，

不妨设数列14｝是首项为3,公差为1的等差数列，其前〃项和为

贝=”+2，S1；=^-xl2=|O2>U）O，

所以“W11.

对于“.=”+2，S„=^^xll=X8<l（X）>

112

取数列各项为化二〃+2（〃=1,2...10）,4=25,

贝ljq+%+•,,+q[=100,

所以n的最大值为11.

故选：C.

4.（2020•北京•高考真题）在等差数列｛。"｝中，％=-9,%=T.记T„=4%…%（〃=1,2,-）,则数列｛瑁（）.

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】B

K祥解》首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大

项和最小项.

【详析】由题意可知，等差数列的公差­=之二?=U：=2，

5—15—1

a

则其通项公式为：n=4+(九一1)4=一9+(〃-1)X2=2M—11,

注意至Uq<%<?<“4<〃5<°<〃6=1<%<，

且由4<0可知Z<0（后6,iwN）,

由?=%>27,iwN）可知数列｛（｝不存在最小项,

———

由于G=—9,%=7,%=5,%=3,a5=—1,%=1,

故数列忆｝中的正项只有有限项：（=63,7；=63x15=945.

故数列｛1｝中存在最大项，且最大项为

故选：B.

【『点石成金』】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知

识，属于中等题.

5.（2024•北京・高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次

为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

【答案】2357.5/?

K祥解》根据体积为公比为io的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.

【详析】设升量器的高为4,斗量器的高为均（单位都是mm）,则

故色=23mm,%=空皿.

2

故答案为：23mm,——mm.

2

6.（2024•北京•高考真题）设｛%｝与｛2｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合

M=\k\ak,给出下列4个结论：

①若｛玛｝与｛"｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛%｝与也,｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛%｝为等差数列，也“｝为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若｛玛｝为递增数列，也,｝为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

【答案】①③④

K祥解》利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的

特征及反证法可判断③的正误.

【详析】对于①，因为｛4“｝,｛〃｝均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，

而两条直线至多有一个公共点，故M中至多一个元素，故①正确.

对于②,取1=2"T也=-(-2广,则｛。“｝,也｝均为等比数列,

但当〃为偶数时，有%=2"一=2=-(-2广，此时M中有无穷多个元素，故②错误.

对于③，设勿=Aq"(AqwO,qH±l),an=kn+b(k^O),

若"中至少四个元素，则关于"的方程Aq"=M+6至少有4个不同的正数解，

若q>0,qN1,则由y=Ag"和y=如+方的散点图可得关于n的方程A/=初+6至多有两个不同的解，矛盾；

若q<0应工±1,考虑关于n的方程Aqn=初+b奇数解的个数和偶数解的个数，

当Aqn=hi+b有偶数解，此方程即为=hi+b,

方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时>0,

否则A左ln|@<0,因y=A\q\',y=加+6单调性相反，

方程A0"=也+6至多一个偶数解，

当Aq"=也+b有奇数解，此方程即为-A0"=如+6,

方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-人左也际>0即9ln|q|<。

否则〃ln|4>0,因yK—川蛾,y=〃+b单调性相反,

方程川引”=切+6至多一个奇数解，

因为〃ln|4>0,AZln@<0不可能同时成立，

故A/=也+b不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.

对于④，因为｛。“｝为递增数列，也｝为递减数列，前者散点图呈上升趋势，

后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.

故答案为：①③④.

【『点石成金』】思路『点石成金』：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来

分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.

7.(2023•北京•高考真题)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、用来

测量物体质量的“环权已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列｛%｝,该数列的前

3项成等差数列，后7项成等比数列，且%=1,火=12,佝=192,则%=；数列｛4｝所有项的和

为.

【答案】48384

(祥解1方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解“应，进而可求得结果；方法二：根

据等比中项求。7,%,在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.

【详析】方法一：设前3项的公差为d,后7项公比为4>0,

4%192,

则=—=—=16,且q>。，可得4=2,

%12

则〃3=1+2d=-,即1+22=3,可得d=1,

q

空1：可得〃3=3,%=〃3『=48,

…A3（1-2，）

空2：4+%+L+%=1+2+3+3X2+...+3X26=3+-^^=384

方法二：空1：因为｛凡｝,3工〃<7为等比数列，贝IJ蜡=%的=12X192=482,

且。〃>°，所以%=48；

2

又因为则%=&=3;

%

空2：设后7项公比为">0,则"2=%=4,解得g=2,

a3

-曰3（。1+%）ua3-a9q3-192x2

nJ-fg1q+%+%—------------=6,%+%+〃5+。6+〃7+。8+%=------------=---------------=381,\以

21-q1-2

q+%+L+%—6+381—q=384.

故答案为：48；384.

8.（2022・北京•高考真题）已知数列｛可｝各项均为正数，其前〃项和S“满足ajS“=9（w=l,2,）.给出下列

四个结论：

①｛%｝的第2项小于3；②包｝为等比数列；

③｛4｝为递减数列；④｛4｝中存在小于击的项.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

99

（祥解》推导出见=-------,求出生、电的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性

anan-\

的定义可判断③.

【详析】由题意可知，VneN\。〃>。，

当〃=1时，=9,可得q=3；

9999

当时，由S〃=一可得S~二——,两式作差可得4=------------,

%%an册一1

999

所以，=an,则%=3,整理可得域+3〃—9=0,

%%〃2

因为的>0,解得生=普二2<3,①对;

假设数列｛。“｝为等比数列，设其公比为q,则何=%。3,

所以，Sl=StS3,可得a；(l+q)2=a；(l+4+q2),解得g=0,不合乎题意，

故数列｛4｝不是等比数列，②错；

9na

当“22时，an=--^-=^-'~"Ko,可得乙<<，所以，数列｛%｝为递减数列，③对；

a

na”一4%

假设对任意的〃eN*,见2焉，贝UR000002K)0000x+=1000,

991

所以，«100000=-----^7T737<—,与假设矛盾，假设不成立，④对.

31000001WU1

故答案为：①③④.

【『点石成金』】关键点『点石成金』：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证

法来进行推导.

9.(2024•北京•高考真题)已知集合

M=｛亿je｛3,4｝,左e｛5,6｝,ive｛7,8｝,且i+j+%+w为偶数｝.给定数列A:%,电,,出，和序

列O:7；Z，Ts,其中(=已"山,叫eM(r=l,2,,s),对数列A进行如下变换：将A的第4",配”项均

加1,其余项不变,得到的数列记作1(A)；将工(A)的第向，唳项均加1,其余项不变,得到数列记作

砧(⑷;…;以此类推，得到刀也⑷，简记为。(A).

⑴给定数列A：L3,2,4,6,3,1,9和序列。5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(A)；

(2)是否存在序列。，使得。(A)为%+2,%+6,%+4,%+2,%+8,4+2吗+4,%+4,若存在，写出一■个符合

条件的。；若不存在，请说明理由；

⑶若数列A的各项均为正整数，且％+/+%+%为偶数，求证："存在序列。，使得。(㈤的各项都相等"

的充要条件为"％+。2=%+%=%+。6=%+为”.

【答案】⑴。(A)：3,4,4,5,8,4,3,10

⑵不存在符合条件的O,理由见解析

⑶证明见解析

K祥解》(1)直接按照。(A)的定义写出。(4)即可；

(2)解法一：利用反证法，假设存在符合条件的。，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法

二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4,可知序列。共有8项，可知:

+处)-(%i-i+%i)=8,〃=1,2,3,4,检验即可；

(3)解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若弓+。2=生+。4=“5+。6=。7+。8，分类讨论

%,%,多，为相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列。，使得C(A)为常数列，结合定义分析证明即可.

【详析】(1)因为数列41,3,2,4,6,3,1,9,

由序列7；(1,3,5,7)可得7；(A):2,3,3,4,7,3,2,9；

由序列④(2,4,6,8)可得巴「(4):2,4,3,5,7,4,2,10；

由序列4(1,3,5,7)可得T式或(A):3,4,4,5,8,4,3,10；

所以£l(A):3,4,4,5,8,4,3,10.

(2)解法一：假设存在符合条件的O,可知。(A)的第1,2项之和为％+的+s,第3,4项之和为名+%+5,

\(a,+2)+伉+6)=+a^+s

则。，而该方程组无解，故假设不成立，

+4)+(%+2)—%+〃4+$

故不存在符合条件的。；

解法二：由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4,

假设存在符合条件的。，且Q(A)：4也,…,4，

「J+6+4+2+8+2+4+4o

因为----------4---------------=8,即序列。共有8项,

由题意可知：也“_[+&)一+%“)=&"=1,2,3,4,

检验可知：当"=2,3时，上式不成立，

即假设不成立，所以不存在符合条件的。.

(3)解法一：我们设序列4…4工(4)为{税“}(”〃48),特别规定外,=a"(l<"W8).

必要性：

若存在序列。:7]石，却使得Q(A)的各项都相等.

贝!Jas,l=4,2=4,3=4,4=4,5=4,6=4,7=4,8，所以as,\+4,2=as,3+4,4=as,5+4,6=4,7+4,8.

根据，..qZ(A)的定义，显然有％+%J=鹭T,2/T+4T幻+1，这里/=1,2,3,4,5=1,2,....

所以不断使用该式就得到％+%=。3+&=%+。6=%+%=%」+4,2-,必要性得证.

充分性：

若％+。2=〃3+〃4=〃5+〃6=。7+〃8•

由已知，6+/+%+%为偶数，而。1+%=。3+。4=。5+。6=%+。8，所以

%+%+4+q=4(q+2)—(q+/+%+%)也是偶数.

我们设..Z7；(A)是通过合法的序列。的变换能得到的所有可能的数列。(A)中，使得

a

s.l-4.21+|%3-4,41+|京5—4,61+|%7—4.8|最小的一个•

上面已经说明4,2/T+4,2/=4一I,2/T+4—1,2/+1,这里/=1,2,3,4,s=1,2,....

从而由％+=。3+〃4=。5+〃6=%+〃8可得4,1+4,2=4,3+4,4=4,5+4,6=4,7+4,8=%+%+$.

同时，由于1；+1+（+叱总是偶数，所以ql+q,3+q,5+q,7和％2+q,4+q,6+q,8的奇偶性保持不变，从而

a

4,1+4,3+s,5+4,7和4,2+4,4+4,6+4,8都是偶数.

下面证明不存在j=1,2,3,4使得|^2._,-^2.|>2.

假设存在，根据对称性，不妨设/=1,4,2/—1-4,2/22,即“…2.

情况1：若k，3—4,/+|4,5—4,61+|%7-4]=0，则由%,1+4.3+4.5+4,7和4,2+见,4+4,6+4,8都是偶数，知

^,1-^,2^4,

对该数列连续作四次变换（2,3,5,8）,（2,4,6,8）,（2,3,6,7）,（2,4,5,7）后，新的

14+4J—y+4,21+14+4,3-4+41+14+4,5—4+46|+14+4,7—4+4,8|相比原来的

*一4』+|%3-4,/+|4,5-编+口-4/减少4,这与%-4』+|%3-4"|+|4,5-以+*一4』的最小性

矛盾；

情况2:若|&,3_4,』+|七5_4,61+|q7_4,81>°，不妨设1%3_4J>0•

情况2-1：如果%3-4—1,则对该数列连续作两次变换（2,4,5,7）,（2,4,6,8）后，新的

14+2,1_4+2,21+14+2,3_4+2,41+14+2,5-4+2,61+14+2,7-4+2,8|相比原来的

J一/J+|%3-4,41+|4,5-4,61+|%7-4,81至少减少2，这与|%1-4,2|+|43一4.4|+|4,5-4,61+|4,7-4,8|的最

小性矛盾；

情况22如果%4-%321,则对该数列连续作两次变换（2,3,5,8）,（2,3,6,7）后，新的

14+2J—4+2,21+14+2,3—4+2,41+|4+2,5—4+2,6|+14+2,7-4+2,8|相比原来的

*一41+|%3-4」+宿5-编+口-4」至少减少2，这与《一41+|4,3-41+|4,5-编+入一4」的最

小性矛盾.

这就说明无论如何都会导致矛盾,所以对任意的j=1,2,3,4都有|外2『一4.2.,怕1.

假设存在j=1,2,3,4使得履J——4幻|=1，则+a®是奇数，所以

«,.1+见,2=见.3+4.4=见,5+4,6=4,7+4,8者B是奇数，设为2N+1.

则此时对任意j=1,2,3,4,由,,2.1-4.2/W1可知必有｛久2.1，4幻｝=｛N,N+1｝.

而%」+4.3+%,5+4,7和%+4,4+4,6+%都是偶数，故集合｛同4,"=N｝中的四个元素i,j,k,w之和为偶数，

对该数列进行一次变换则该数列成为常数列，新的

14+1J—4+1,21+14+1,3-4+1,41+14+1,5-4+1.61+14+1,7-4+1,8|等于零，比原来的

I4」++.4,6|+|4,7—qj更小，这与|4,1_°』+|4,3_4.4|+|4,5_4,6|+|4,7_4,8|的最小性矛

盾.

综上，只可能|42/-1—4,2]=°（/=1，2,3,4）,而。,“I+4,2=。“3+44=%+4,6=4,7+4.8,故{&,”}=C（A）是

常数列，充分性得证.

解法二：由题意可知：。中序列的顺序不影响。（A）的结果，

且（4，%），3，%），（。5,46），（%，«8）相对于序列也是无序的，

（团）若〃[+%=〃3+。4=〃5+。6=%+〃8，

不妨设aY<a3<a5<a7,贝I]a2>a4>a6>as,

Q]—。3=。5=〃7，贝！J“8=06=〃4=〃2，

分别执行％个序列（2,4,6,8）、的个序列。，3,5,7）,

可得4+々2吗+〃2吗+。2吗+〃2，。1+〃2，。1+〃2吗+。2,4+。2，为常数列，符合题意；

②当％,中有且仅有三个数相等，不妨设4=%=生，则。2=4=%，

分别执行g个序列（1,3,5,7）、%个序歹U（2,4,6,8）

可得q+。2，〃2+%，4+。2，〃2+%，。1+〃2，。2+。7，。2+。7，。7+〃8，

即q+%,%+。7，4+〃2，。2+。7，%+%，。2+%，。2+。7，%+。2，

因为q+/+%+%为偶数，即3%+%为偶数，

可知对%的奇偶性相同，则发”©N*,

分别执行及尹个序列（1,3,5,7）,（1,3,6,8）,（2,3,5,8）,（1,4,5,8）,

可得

3%+2%—《3%+2/一63%+2g—3%+2%-43cLi+2%—43aq+2/一％3%+2%—43%+2•一4

2'2'2'2'2'2'2'2

>

为常数列，符合题意；

③若。1=%<%=。7，贝1J。2=4>%=%，即。1，。2，。1，。2，%，。6，。5，。6'

分别执行«5个（1,3,6,8）、/个（2,4,5,7）,

可得q+。5，41+。2，〃1+。5，〃1+。2，%+。5，。5+。6，〃1+〃5，〃5+。6，

因为％+生=。5+〃6，

可得%+%，%+“2，%+。5，%+“2，%+。5，%+。2，%+。5，%+。2，

即转为①，可知符合题意；

④当。1，。3，。5，%中有且仅有两个数相等，不妨设〃1=。3，贝!)?=%，

分别执行％个(2,4,5,7)、％个。，3,6,8),

可得%+%，%+〃2，〃1+。5，〃1+〃2，%+。5，〃5+〃6，〃1+。7，〃5+。8，

且41+〃2=〃5+。6，可得4+%，%+〃2，%+。5，〃1+〃2，%+〃5，%+〃2，〃1+。7，〃5+〃8，

因为4+生+%+。7=24+%+%为偶数，可知%，%的奇偶性相同，

则(4+%)+(6+%)+(4+%)+(%+%)=44+3%+%为偶数,

即转为②，可知符合题意；

右，4</<。5<%，贝U〃2>。4>。6>“8，艮口%，。29“3，。4，“5，。6，%，“8，

分别执行日个(2,3,5,8)、牝个。，4