统计专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习14…统计专项训练

一、单选题

1.若数据再,％2,…，％25的方差为02则数据4%,4々「”,4须5的方差为（）

A.0.2B.0.8C.1.6D.3.2

2.随着汽车智能化与电动化的不断升级，无人驾驶汽车成为汽车行业发展的新趋势.据统

计，截至2024年7月底中国无人驾驶汽车行业存续企业数量为1782家，这些企业的注册资

本分布情况如图所示，则下列结论错误的是（）

□100万元及以内

□100万元―200万元

□200万元―500万元

□500万元一1000万元

□1000万元以上

A.注册资本不高于200万元的企业数量占比不足;

B.注册资本在1000万元以上的企业超过750家

C.注册资本分布数据的80%分位数是19.2%

D.从注册资本在100万元―500万元的企业中随机抽取1家，该企业注册资本在200万

元一500万元的概率不小于0.55

3.根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的

日平均气温（单位：。C）记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，

该组数据一定符合入冬指标的有（）

A.平均数小于4且中位数小于或等于3B.平均数小于4且极差小于或等于3

C.平均数小于4且标准差小于或等于4D.众数等于6且极差小于或等于4

4.有一组样本数据看、%、L、%,由这组数据得到新样本数据%、%、L、%,其

y.=Xi+C（i=1,2,C为非零常数，则下列说法正确的是（）

①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同

③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同

A.③④B.②③C.②④D.①③

5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况记录如下，甲：18,20,35,33,47,

41；乙：17,26,19,27,19,29.则下列四个结论中，正确的是（）

A.甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差

B.甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数

C.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定

D.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值

6.如图是某市随机抽取的100户居民的月均用水量频率分布直方图，如果要让60%的居民

用水不超出标准。（单位：t）,根据直方图估计，下列最接近。的数为（）

二、多选题

7.某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6位评委对他们的演

讲分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（）

・分数

A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数

B.甲得分的极差大于乙得分的极差

C.甲得分的第75百分位数小于乙得分的第75百分位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差

8.给出下列说法，其中正确的是（）

A.数据0,1,1,2,2,2,3,4的极差与众数之和为6

B.已知一组数据1,2,m,8,m+1,9的平均数为6,则这组数据的中位数是8

C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是

全班数学成绩的第20百分位数

D.一组不完全相同数据X],%,…，%的方差为3,则数据2为+1,2毛+1,L,2%„+1

的方差为12

三、填空题

9.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120,96,153,146,

112,136,则这组数据的40%分位数为

10.已知A,8两组数据，其中A：2,3,4,5,6；B：11,。，13,14,12；A组数据

的方差为,若A,3两组数据的方差相同，试写出一个。值____.

11.某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70,方差为95,后来发

现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后

的方差是.

12.学校为了解学生身高（单位：cm）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（男女

2

生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175,方差为184,

女生平均身高为160,方差为179,用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为.

四、解答题

13.某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售

一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每

完成一单提成4元.该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，

将样本数据分为［25,35）＞［35,45）,［45,55）、［55,65）、［65,75）475,85）、［85,95］七组，整理得到如图所

示的频率分布直方图.

（1）求直方图中。的值；

（2）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方

案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

（3）假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己

的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？

14.A,B两组各有7位病人.他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下:

A组：10,11,12,13,14,15,16；

2组:12,13,15,16,17,14,a.

当。为何值时，AB两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

15.为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数

分成五组：第一组朗5,55),第二组［55,65),第三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,95］,

绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频

率相同.

(1)估计这100名同学体能成绩分数的平均分和众数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均

数和方差分别为62和40,第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70,据此估计这次

第二组和第四组所有同学成绩的方差.

16.梵净山位于贵州省铜仁市的江口、印江、松桃三县交界处，是具有2000多年历史的文化

名山.梵净山山势雄伟、层峦叠嶂，溪流纵横、飞瀑悬泻.为更好地提升旅游品质，随机选择100

名游客对景区进行满意度评分(满分100分)，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

频率

(1)根据频率分布直方图，求尤的值；

(2)估计这100名游客对景区满意度评分的70%分位数;

⑶若采用按比例分层抽样的方法从评分在［50,60),［60,70)的两组中共抽取6人，再从这6

人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在［50,60)和［60,70)内各1人的概

率.

4

参考答案:

题号12345678

答案DCBADAABDAD

1.D

【分析】根据各数据同时乘同一数对方差的影响求解.

【详解】根据数据再,％2,…，％25的方差为0・2可得数据4为,4々,…,4々5的方差为0.2x4?=3.2.

故选：D.

2.C

【分析】根据饼状图可知注册资本不高于200万元的企业数量占比为23.5%<1,在1000

万元以上的企业数量为770>750,可判断AB正确，利用百分位数定义计算可得C错误，

根据不同资本的企业占比计算可得D正确.

【详解】选项A：注册资本不高于200万元的企业数量占比为12.4%+11.1%=23.5%,

23.5%<-,A正确.

4

选项B：注册资本在1000万元以上的企业数量为1782x43.2%土770,770>750,B正确.

选项C：80%x5=4,故80%分位数为19.2%与43.2%的平均数，C错误.

选项D：从注册资本在100万元―500万元的企业中随机抽取1家，

则该企业注册资本在200万元―500万元的概率为「，子心々0.5595,0.5595>0.55,

D正确.

故选：C

3.B

【分析】举出反例可得ACD错误，利用反证法可得B正确.

【详解】对于A,举出反例：0,0,0,0,15,其平均数为3,中位数为0,但不符合入冬

标准，故A错误；

对于B,假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3知，此组数据最小值为大于或等

于7,与平均值小于4矛盾，故假设不成立，故B正确；

对于C,举出反例：1,1,1,1,11,平均数为3,且标准差为4,但不符合入冬标准，故

C错误；

对于D,举出反例：6,6,6,6,10,其众数等于6且极差等于4,但不符合入冬标准，故

D错误.

故选：B.

4.A

【分析】利用平均数公式可判断①;利用中位数的定义可判断②;利用标准差公式可判断③；

利用极差的定义可判断④.

【详解】对于①，设数据4、Z、L、x”的平均数为最，数据％、为、L、y”的平均数为

y，

则y=X+%++%=(网+c)+(/+c')++(%+c)

nn

玉++x+nc

Z+n=x+c,故①错;

n

对于②，设数据X］、％、L、X”中位数为数据为、%、L、y”的中位数为N,

不妨设为<%<•<%，则％<y2V<y„>

若〃为奇数，则M=x四，N=y^=x^+C=M+C

222

尤”+X,,%+工〜+%+2c

若〃为偶数，则M=^—二，N=上~~二号~-----=M+c-

222

N=M+c,故②错;

对于③，设数据4、%、L、X”的标准差为S,数据%、为、L、y”的标准差为s',

则数据看、无2、L、x“的极差为乙-占，

数据%、%、L、%的极差为％-弘=(x“+c)-(x+c)=z-玉，故④对.

故选：A.

5.D

【分析】求出极差判断A；求出中位数判断B；求出平均数判断D；求出方差判断C.

【详解】将数据按升序排列可得：甲：18,20,33,35,41,47；乙：17,19,19,26,

27,29.

对于A,甲运动员得分的极差为47-18=29,乙运动员得分的极差为29-17=12,

且29>12,所以甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，故A错误；

对于B,甲运动员得分的中位数是至了=34,乙运动员得分的中位数是电誉=22.5,

22

且34>22.5,所以甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B错误；

对于CD,甲运动员的得分平均值为18+20+35：33+47+4乜32.33,

17+19+19+26+27+29

乙运动员的得分平均值为X22.83,

6

且32.33>22.83,所以甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故D正确;

2

甲运动员得分的方差为

-32.33『+(2。-32.33)2+(33-32.33)2+(35-32.33)2+(4「32.33)2+(47-32.33)[。1。9.22

乙运动员得分的方差为

)[(17-22.83)2+(19-22.83)2+(19-22.83)2+(26-22.83丫+(27-22.83?+(29-22.83丫卜21.47

显然乙的方差小于甲的方差，乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故C错误.

故选：D.

6.A

【分析】首先判断。位于［7.2,10.2)之间，再根据百分位数计算规则计算可得结论.

【详解】因为3(0.077+0.107)=0.552<0.60,3(0.077+0.107+0.043)=0.681>0.6,

所以。应在［7.2,10.2),

所以3(0.077+0.107)+(a-7.2)x0.043=0.60,解得a。8.316.

故最接近8.316的数为8.5.

故选：A.

7.ABD

【分析】运用极差、中位数及百分位数的公式计算，和方差的意义即可判断选项.

【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下：

甲7.08.38.98.99.29.3

乙8.18.58.68.68.79.1

故可得如下表格:

甲乙

丝受=8.6+8.6,A正

中位数8.9=0.0

22确

B正

极差9.3—7.0=2.39.1—8.1=1

确

6x75%=4.5,故第75百分位数是第5个数

第75百分位C错

数误

9.28.7

由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分D正

方差

的方差确

故选：ABD

8.AD

【分析】根据众数、极差的定义即可判断A；根据平均数、中位数定义即可判断B；根据百

分位数定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D.

【详解】对于A,数据0,1,1,2,2,2,3,4的极差为4-0=4,众数为2,

所以数据0，1,1,2,2,2,3,4极差与众数之和为6,A正确；

对于B,由题意可知l+2+/〃+8+，w+l+9=6x6=36,解得：m=7.5,

3

所以数据为：1,2,7.5,8,8.5,9,数据的中位数为六，=7.75,

B错误；

对于C,小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，

若成绩从低到高排序，小明的成绩排在第36位，又因为45x忐20=9,

又因为考试分数排名为由高分到低分，所以全班数学成绩的第20百分位数应为:

第班级成绩的第36名与第37名同学成绩的平均数，

所以小明的成绩不是全班数学成绩的第20百分位数，C错误；

对于D,因为毛，马,…，x”的方差为3,根据方差性质,

2%+1,2x2+l,L,2%+1的方差为22工3=12,D正确.

故选：AD

9.120

【分析】先将6个数据从小到大进行排列，再根据百分位数的定义和求解步骤即可求解.

【详解】6位老年人的收缩压数据从小到大排列为：96,112,120,136,146,153,

因为40%x6=2.4,所以这组数据的40%分位数为120.

故答案为：120.

10.210或15

【分析】根据方差公式及其变形即可得到方程，解出即可.

【详解】A组的平均数；=2+3+,+5+§=%

II+Q+13+14+12。+50

B组的平均数%'=

55

则A组的方差为

22222

2（2-4）+（3-4）+（4-4）+（5-4）+（6-4）

s=------------------------------------------------------------=2

5

则8组的方差为

22222

,211+«+13+14+121。+50丫_。

$=5J=2>

解得4=1。或15.

故答案为：2；10或15.

11.85

【分析】根据平均数、方差的计算公式求解即可.

【详解】设更正前甲，乙，丙…的成绩依次为40,

贝|4+%+…+%0=40x70,

BP50+80+/+.…+=4°x70,

以130+/+...+。40=40x70,

4

(q—70)2+(丹-70)2+…+(%o_70)2=40x95,

2222

即20+10+(a3-70)+-70)=40x95,

所以IO?+(生一70)2+...+(a4c-70)2=40*95—400.

,__.,,*70+60+生++Q4c130+++Q4c

更正后的平均分X=------------京------也=------5---------=70，

4040

12222

更正后的方差s=^[(70-70)+(60-70)+(%-70)++(a40-70)]

22

=—[10+(a3-70)++(<740-70)[=L(40x95-400)=85.

故答案为：85.

12.236

【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案.

【详解】根据题意，由于男女生人数之比为3:2,则样本中男女生人数之比为3:2,

其中，男生平均身高为175,方差为184,女生平均身高为160,方差为179,

32

则样本的平均数了=M*175+]乂160=169,

样本的方差片=|X[184+(175-169)2+|X179+(160-169)2]=236,

用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为236.

故答案为：236.

13.(1)0.002

⑵选择方案(2)

(3)每日的平均业务量至少应达82单

【分析】(1)由频率分布直方图的矩形面积和为1求出。的值；

(2)由每日人均业务量的平均值分别求出方案(1)和(2)的人均日收入；比较大小后再

做选择；

(3)用40除以400得到，该员工收入需要进入公司群体人员收入的前10%,即超过90%,

分析90%是否在前5组频率和以及前6组频率和之间，设对应销为无，由频率分布直方图的

百分位数的公式得到对应的x值.

【详解】(1),/(0.005x3+2a+0.03+0.015)x(35-25)=1,

a=0.02

(2)每日人均业务量的平均值为：

(30x0.005+40x0.005+50x0.02+60x0.03+70x0.02+80x0.015+90x0.005)x10=62,

方案(1)人均日收入为：100+62x2=224元，

方案(2)人均日收入为：200+(62-50)x4=248元，

V248元>224元，

所以选择方案(2)

(3)V40^400=0.1,即设该销售员收入超过了90%的公司销售人员.

5

由频率分布直方表可知：

前5组的频率和为(0.005x2+0.02+0.03+0.02)*10=0.8

前6组的频率和为(0.005x2+0.02+0.03+0.02+0.015)x10=0.95

V0.8<0.9<0.95,设该销售的每日的平均业务量为x,

则(％-75)>0015+0.8>09,

；.x>81.7,又YxeN*

最小取82,

故他每日的平均业务量至少应达82单.

14.。=11或。=18.

【分析】方法一：计算出A组的方差，从而计算出B组的平均数，利用方差相等列出方程，

求出。=18或11；

方法二：按照两组数据的特点，结合方差相等，得到8组数据也应该依次增大1,从而得到

。=11或a=18.

10+11+12+13+14+15+16

【详解】方法一：A组的平均数为=13,

7

故A组的方差为(1。-13f+(11-⑶?++(15一13f+(16-13f=彳,

7

,,C/口AAu■,业心12+13+14+15+16+17+Q87+。

故B组的平均数为-----------------------=--,

77

Lc87+a丫87+4丫(87+0?

故8组的方差为J2一一厂J++117-一厂J+卜一一二J

7

解得。=18或11,

方法二：由于两组数据的方差相同，A组的数据依次增大1,

而8组数据除。之外，其余数据也依次增大1,

故要想两组数据的方差相同，8组数据也应该依次增大1,

将8组数据重新排列，

A组：10,11,12,13,14,15,16,

2组:12,13,14,15,16,17,a,

或

A组：10,11,12,13,14,15,16；

2组：a,12,13,14,15,16,17.

所以，a=ll或a=18.

15.(1)平均数：69.5,众数为：70.

【分析】(1)由频率直方图先求出的值，然后求解平均数与众数即可；

(2)设第二组，第四组同学成绩的平均数与方差分别为：计算出两组频率之

比为，然后计算这次第二组和第四组所有同学成绩的方差即可.