上海市某中学2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试卷

上海市复旦中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.设全集0=R,若集合/=KH»l，xeR｝,则彳=

2.若幕函数的图象经过(6,3),则此幕函数的表达式为.

3.不等式上40的解集是____

x-1

4.已知/(外=q-一二是R上的奇函数，则”幻的值为—.

22X+1

5.已知空间向量方=(1,2,3),g=(2,-2,0)，c=(1,1,2),若/_L(21+6),则;L=一・

6.已知加1+3］的二项展开式中各项系数和为729,则展开式中I项的系数是一

7.已知圆锥的侧面积为兀，且侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为一.

8.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入''援沪医疗队”，用A表示事件“抽到的

两名医生性别同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则尸(川m=-

9.已知在等比数列｛%｝中，％、的分别是函数了=%3_6/+6户1的两个驻点，则％=—

10.若片、骂是双曲线上一己=1(°>0,6>0)的左右焦点，过耳的直线,与双曲线的左右两

a2b2

试卷第11页，共33页

支分别交于A,B两点.若△/%为等边三角形，则双曲线的离心率为—.

H.若存在实数、使函数/（x）=cos（s+0）-g（o>0）在xeM，3可上有且仅有2个零点,

则。的取值范围为一

已知函数［口）=卜巴0<%<1的图像与直线4：

121,交于点/（匹,乂）,5卜2，%）,

lxlnx,x>1sin2a八'

其中占<尤2,与直线Wy=1交于两点。（尤3，%）、。（匕，居），其中鼻<匕，则

2cosa

xtx2+x3x4的最小值为-----

二、单选题

13.设复平面上表示2_］和3+不的点分别为点/和点2则表示向量方的复数在复平面

上所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

14.已知抛物线「：/=4x,过焦点尸且斜率为工的直线与抛物线交于两个不同的点

2

4B,则线段的长为（）

2715B.4回C.40D.20

15.如图，在正方体4BCD_44GA中，点尸是线段4cl上的动点，下列与8尸始终异面

的是（）

试卷第21页，共33页

D

C.ADX-gC

16.已知/(x)=sinx,集合已*卜处/(尤)+/(力保,xye}D,

一2'2

(x抄/(x)+/(y)l^,xyep•关于下列两个命题的判断，说法正确的是()

命题①：集合「表示的平面图形是中心对称图形；

命题②：集合。表示的平面图形的面积不大于

12

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

三、解答题

17.如图，在四棱锥尸—/5CD中，ABHCD,ZBAP=ZCDP=90°-

P

(1)证明：平面p/5,平面尸4D；

(2^PA=PD=4B=DC,N4PD=90。,且四棱锥尸一么"。的体积为|,求尸夕与平面

试卷第31页，共33页

N2CD所成的线面角的大小.

18.在锐角三角形/3C中，角43,C的对边分别为a,6,c，历为至在无方向上的投影

向量，且满足2。5.=石|而

⑴求c°sC的值；

(2)右方=6,q=3ccosB，求/8C的周长，

19.在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机

抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：卜)的频率

分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)求频率分布直方图中实数应匕的值；

⑵每天学习时间在［6.0,6.5)的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话

访谈，己知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在［6.0,6.5)和［70,7.5)的学生中按比例分层抽样抽

取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在go,6.5)的人

数丫分布和数学期望.

A.

试卷第41页，共33页

20.已知椭圆「4+4=i(«>z>>o)的左、右焦点分别为月、鸟.

a2b2

(1)以凡为圆心的圆经过椭圆的左焦点片和上顶点B,求椭圆「的离心率；

(2)已知°=5/=4,设点P是椭圆「上一点，且位于x轴的上方，若耳巴是等腰三角形，

求点尸的坐标；

(3)已知“=2/=6,过点片且倾斜角为乙的直线与椭圆「在”轴上方的交点记作人，若动

2

直线/也过点8且与椭圆「交于M、N两点(均不同于A),是否存在定直线：xQx()，使

得动直线/与的交点C满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数七

的值；若不存在，请说明理由.

21.若函数y=/(x)在x=x0处取得极值，且=(常数4eR),则称％是函数

k了⑴的“2相关点”.

⑴若函数尸3+2x+2存在“4相关点”，求2的值；

(2)若函数y=/_21nx(常数hR)存在“1相关点”，求上的值：

⑶设函数y=/(x)的表达式为/@)=弟+次+5(常数。、bceR且分0)，若函数

>=/(x)有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点2)存在3条直线与曲线

>=/(x)相切，求实数。的取值范围.

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号13141516

答案ADBA

1.{x\-l<X<1}

【分析】解绝对值不等式求集合4应用集合补运算求丁

【详解】由题设4=或xW-1},又。=R,

所以/={x|-1<X<1},

故答案为：{x|-l<x<l}

2•y=x3

【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数Q即可得解.

【详解】由题意得（g[=3]=3=3,所以]=1，解得"=3

所以此嘉函数的表达式为了=r.

故答案为：y=x3,

3.[0,1）

【分析】化为整式不等式求解.

【详解】不等式上WO等价于卜（xT）4°,解得

x-1[x-l^O

所以不等式二L40的解集是[°/）.

X-1

故答案为：[0,1）

答案第11页，共22页

4-I

【分析】首先根据奇函数的性质求。，再代入求/(.).

【详解】因为=2-—3—是R上的奇函数，

')22Y+1

所以/⑼=?一|=0,解得："=3,

，(x)=H则/⑶春

故答案为：—•

6

5--1

【详解】2a+S=2(1,2,3)+(2,-2,0)=(4,2,6),

•.•cl(2a+Z?).;E(2,+6)=0,/.4+2+6A=0,

解得；L=_l，

故答案为：

—1

6.60

【分析】由二项展开式的各项系数和为729,求出加，用通项公式求解即可.

【详解】因为口+二:的二项展开式的各项系数和为729,

令x=l，得(1+加)6=729，解得加=2,

答案第21页，共22页

rr6-2r；

所以(x+2］展开式的通项公式为r］=晨.J。［2)=2-c6-x

令6-2r=2，得r=2'

所以一项的系数为22以=60.

故答案为：60.

7./

2

【分析】设圆锥底面半径为r，母线长为/，根据条件列方程，可求r的值.

【详解】设圆锥底面半径为「，母线长为/.

由圆锥的侧面积为兀，所以n”=r

由圆锥侧面展开图为半圆，所以牛=兀"/=2。

所以2r=1=，讨也

2

故答案为：也

2

1

8.3

【分析】结合分类计数原理，计算出抽到的两名医生性别相同的概率，计算出抽到的两名

医生都是女医生的概率，从而结合条件概率的计算公式即可求出P^B\A)-

【详解】由题意知，尸(/)=3&1=3,2(/5)=与=!，

,，C,7、)C；［

答案第31页，共22页

1

P(AB)71

所以尸配）

'尸(/)-•

7

故答案为：3

%也

【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得生，%的关系，后利用等比数列的性质可得答

案.

【详解】由题意可得：y=3x2-12x+6-

则%、%是函数y'=3--12x+6的零点,则%+Q7=4>0

a3a7=2>0

且｛4｝为等比数列，设公比为q/O,

a3>0a5=±V2

可得，解得

05=a3al=2

2

注思到%=a3q>0,可得名=亚,

故答案为：^2,

【分析】根据双曲线的定义算出△///?中，lAFj^a,|AF2|=4«,由AABF?是等边三角形

得/FIAF2=120。，利用余弦定理算出c=将。，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的

离心率.

【详解】因为AABF?为等边三角形，可知|/引=|%

答案第41页，共22页

A为双曲线上一点，|/耳|=2a，

B为双曲线上一点，则\BFi\-\BF2\=2a^即|明|一|48|=|皿|=2a,

""­|AF21=|AFX\+2a=4a,

由乙4陷=60°，则/44玛=120°，已知|££|=2c，

在△E4F?中应用余弦定理得：4c?=4/+161一2.24.44弋05120°，

得"=702,则e?=7=>e=⑺'

故答案为：77

【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到。，c的值，这时可将

£或P视为一个整体，把关系式转化为关于反或匕的方程，从而得到离心率的值.

aaaa

H.M

[33；

【分析】利用y=cosx的图像与性质，直接求出函数“X）的零点，再利用题设条件建立不

....、,.h--(D+2左2兀----69+k口-----(D+2左2兀—0+左..,.、.,,

等关系333%.2兀且33丁白兀'从而求出结果m•

CDCDCDCD

【详解】因为/(x)=cos(Gx+e)-；(°〉0),由/°)°,得至！Jcos(0x+e)=；,

兀_兀

所以cox+夕=—+24(k2)或cox+(p=----F2左(k2),

答案第51页，共22页

^-(p+2k-^-(p+2k

所以(左£Z)或X=

X=(keZ)9

CDco

又因为存在实数0,使函数/(x)在xq兀,3可上有且仅有2个零点，所以

7兀5兀I。,11兀兀।,j2兀1071

---(p+2k27i---(p+k丁一@+2左2兀二一夕+k口一□--

-3------------3---------W2兀且上-----------&-------->271f即二一W2兀且二一>2兀

O)CDCDCDCDCO

解得<69<—.

33

故答案为：—<69<

33

12.-+42

2

【分析】根据〃x)的单调性，易得忖=£1眸=—^,=1眸收，即々=lnx2,

sina

从而得到x.x2=%d=—U，同理得到三匕=—二-,再利用基本不等式求解.

sina2cosa

【详解】解：当0<x<l时，/(x)=xexf则/卜)=(1+小”>0，

所以/(x)在(0,1)上递增，且/(x)«0,e)；

当时'/(x)=xlnxJ则W=l+lnx>0，

所以f(x)在(L+8)上递增,若要使/(x)£(0,e)，则x£(l,e)，

所以工2，x4£(l,e)'lnx2,lnx4G(0,1)

答案第61页，共22页

xe，,0<x<l的图像与直线4：尸_二交于点/（」必）,8（%，%）,

因为函数/（x）=

xlnx,x>1sma

项

所以巧炉=x2lnx2=一\—9

sina

所以玉=In%，即了

1

所以X^2=;~~7同理X3X4

sma2cos2a

1

所以1112

xx+XX=——-----F+

1234sina2cos2asin2acos2a

c1

、2

r2-sina

12.22\3cosoc2事及,

—十sma+cosa=—+——---F

cos2a'2sin2acos2a

7

,Lin2atan2a=V2

当且仅当cos-a_2,即，等号成立,

sin2acos2a

所以x,x2+x3x4的最小值为1+V2.

2

故答案为：-+V2

2

【点睛】思路点睛：首先确定函数每段的单调性，从而得到交点横坐标的关系，建立模型，

再利用基本不等式求解.

13.A

【分析】由复数的几何意义求出48,即可得出向量方的复数在复平面上所对应的点所在

象限.

答案第71页，共22页

【详解】复平面上表示2_i和3+4i的点分别为点/和点8，

则/（2,-1）,8（3,4），所以方=（1,5），

所以向量方的复数在复平面上所对应的点位于第一象限・

AB

故选：A.

14.D

【分析】设直线的点斜式，与抛物线方程联立，消去x,利用韦达定理求出|必_%|,再利

用弦长公式求弦长.

【详解】易知尸（L°）,则直线"J了=3*-1）="=2夕+1.

代入＞2=4X，得＞2=4（2＞+1），整理得：j/2—8y-4=0,

设”（冷必），3（%2，%）,则M+%=8

必力=-4

所以（%-%『=（必+%）2-4yM=64+16=80,所以|%-%|=疯=4＞厚

所以|/5|=1+-1^-y2|=V5x4x/5=20-

故选：D

15.B

【分析】根据异面直线的定义一一判定即可.

【详解】对于A,连接用2、BD当尸为4c1中点时，PeBR，因为BBJIDD\，

所以百四点共面，则2尸、OR在平面上，故A不符合题意；

答案第81页，共22页

DiC,

J

AB

对于B,因为/c〃4G，所以4c,4,C］四点共面，尸e平面/c4G，

3e平面NC4G，P夫AC所以NC与3尸始终是异面直线，故B符合题意;

fDii

1

AB

对于C,当尸与q重合时，因为皿/g，所以4D//AP，故C不符合题意；

DiG(P)

1

AB

对于D,当尸与q重合时，设百cnBCi=o，则3pn4c=。，

故D不符合题意.

答案第91页，共22页

16.A

【分析】根据/(x)=sinx是奇函数，可以分析出当"F)e时(­，日卜，所以集合「表

示的平面图形是中心对称图形；结合集合「代表的曲线及不等式的范围可以确定集合。表

示的平面图形，从而求得面积，与至进行比较.

12

【详解】对于「台(X的/(x)+/(j)快,xye)D,集合。=关于原点中心对称,

且函数/(x)=sinx是奇函数,

若(x砌e贝”2/(x)+/(>)=。贝”2/(-x)+/(-y)=-2/(x)-/(y)=-[2/(x)+/(y)]=0.

即若(XF)C则(rFy)£，即集合「表示的平面图形是关于原点中心对称图形，故①是

真命题;

对于C台(x舛+年,xye^),

由2f(x}+f(y]=0即2sinx+siny=0知siny=-2sinx,

设ysin%"，则’与，一一对应且‘随，的增大而增大，FT』］,

答案第101页，共22页

▼J二-2sinxGi「11

又由知一2sinxw[—rl,l],sinx£，

nr-i1*,x

结合xe一生，生知在xe一生，生范围内，与一一对应且随的增大而减小,

22JL66_

~|r~|yyx

所以在无e范围内，.与一一对应且是关于的减函数，

_66jL22_

由①可知2sinx+siny=0图象关于原点中心对称，所以可得到2sin%+siny=0在

所以2sinx+smy"的区域是右半部分,

面积为正方形面积的一半，即集合。表示的平面图形的面积S='x7tx兀='兀2＞』兀2,故

2212

②是假命题.

故选：A.

【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围

第一步：得到等式对应的曲线；

第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是

否符合不等式；

第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一

答案第111页，共22页

侧区域为不等式所表示的区域・

17.(1)证明见解析

(2)30。・

【分析】(1)利用面面垂直的判定定理证明；

(2)根据线面垂直的判定定理证明得底面/BCD，再根据四棱锥的体积公式求出

PA=PD=AB=DC=2,从而用线面角的定义求解.

【详解】(1)因为在四棱锥P-4SCZ)中，ZBAP=ZCDP=900,

所以45_LPZ，CD1PD'

XABI/CD'所以/81PZF

因为=尸，尸平面尸/。，

所以4B_L平面P4D，

因为ABu平面P/人所以平面平面尸NZT

(2)取4。中点0，连结尸0，

因为P4=PD，所以尸0J_4D，

由(1)知48_L平面PAD，4Du平面P4D，所以48_1_尸0，

因为ABoAD=A，4民ZZ>u底面ABCD，

所以尸O_L底面，

设PA=PD=AB=DC=a,求得/〃=J/+/=缶,p0=Jla,

2

答案第121页，共22页

p

因为四棱锥‘"C"的体积为g,

X

所以心ABCD~S四边形Z8CDXP0

11B1Q

=—xABxADxPO=—xaxy/2ax——a=—a3=—

33233

解得〃，

CI.—2乙

所以尸3=\lPO2+AO2+PB2=J2+2+4=272'

因为PO_L底面4BCD'

所以/P5O为尸5与平面4SCZ)所成的角，

夫Rt/\POB.poV2

在中，smZPBO=-=-^

PB2722

所以/尸50=30°•

所以08与平面ABCD所成的线面角为30°・

2

18.(1)-

3

(2)2百+收

【分析】(1)依题意可得|而|=6cosC,即可得到2csinB=@cosC,

利用正弦定理将边

答案第131页，共22页

化角，即可得到2sinC=J5cosC，再由平方关系计算可得；

（2）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（1）的结论得到sinfiu^cosB，

从而求出sinB、cosB,再由正弦定理求出c，即可求出.，从而得解.

【详解】（1）由函为而在方方向上的投影向量，贝日西=6cosC,

又2csir^=V5|CZ）|,即2csin5=小bcosC,

根据正弦定理，2sinCsin5=氐in5cosC，

在锐角ZB。中，则,辿＞°,即2sinC=^cosC,

[ilCefo,-Y则cMC+sin2c=1,整理可得=1,解得cosC（负值舍

⑵由a=3ccos/根据正弦定理，可得siiL4=3sinCcosB'

在V4BC中,A+B+C=TI,则sin（3+C）=3sinCcos8，

所以sin5cosc+cosBsinC=3sinCcos5'所以sin5cosc=2sinCcos^

由⑴可知cosC=2,sinC=VT3^W=g，贝i]sinS=^cos2,

33

答案第141页，共22页

sin25+cos25=15cos23+COS25=1V6

cosBD=——

由，则,解得.6（负值舍去）

・A而

sin^=------

6

根据正弦定理，可得上=上，贝卜=电0%=也，0力c3

sinBsinCsmB2

故V/BC的周长C"c=a+6+c=26+V^

19-⑴a=0.26，6=0.38

用

（3）分布列详见解析，数学期望为之

4

【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得°力•

（2）根据古典概型的知识求得所求概率.

（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.

30

【详解】（1）0.56+0.5x0.22=—,/?=0.38.

100

（0.14+a+0.42+0.58+0.38+0.22）x0.5=l'解得a=0.26-

（2）已知抽取的学生有男生，

则抽取的2人恰好为一男一女的概率为=_4x3_=12=2

C”C；21-3183

（3）每天学习时间在［6.0,6.5）和［7.0,7.5）的学生比例为（0.5*0.14）:（0.5、0.42）=1:3,

所以在［6.0,6.5）的学生中抽取2人,在［7.0,7.5）的学生中抽取6人―

再从这8人中选3人进行电话访谈，

答案第151页，共22页

抽取的3人中每天学习时间在［6.0,6.5)的人数X的取值为0,1,2，

c°c3205

尸(X=o)=普

55614

3015

尸(X=l)=皆

5628

C泣63

P(X=2)

5628

所以y的分布列如下:

A.

73

数学期望E(X)=3x：=；.

20.(1)1

2

(2)答案见解析

⑶存在，厮=4,理由见解析

【分析】(1)由题意知°=2c，即可知离心率；

⑵分|P周=|尸7讣|「耳|=|耳目和|尸闻=|片闾三种讨论即可；

(3)设直线/：7=M尤一1),联立椭圆方程得到韦达定理式，计算舄M+KV，将韦达定理

式整体代入，再计算",，得到方程即可.

【详解】(1)由题意得V?寿=2。即”=2c,所以离心率e，=_L.

a2

答案第161页，共22页

22

(2)由题意得椭圆r：M+3=i

2516

①当附|=|尸闾时，由对称性得尸(0,4).

②当|尸胤=|可用时’|尸耳|=|耳阊=6,故|叫=2。-圈=4,设尸(范力，

£(-3,0),%(-3,0)/月(x+3『+y2=36fx2+6x+y2=27

26x+7

由得(X-3)2+J^2=16^V-/=，

两式作差得xg

代入椭圆方程，得丫=逑(负舍)，故/58VT

313,3J

③当I尸甩=1片闾时，根据椭圆对称性可知8万.

[3,3J

(3)由题意得椭圆「1+：=1,片(_1,0),8(1,0),A^1

设直线/:y=,

y=k(x-l)(4左2+3)—8左2尤+442-12=0

由V"-1得

43

—M，乃),N(Z/2)8k2

x,+x=-：---

1274r+3

设

4r-12

r2=^n

33

M-2%一2

k&M+《AN++

再一1X?_1X]—1

答案第171页，共22页

2fcti9一12发+|]（%+%）+2%+32k,一+1）4:I：§+2左+3

—_____：___c.________=_______2；____________=2k—],

X1%—（1]+12）+14左2—128k2+]

4左2+3-4公+3

%一：左伉_1）一：3

kAC=——2=-------------2=k__——，

x「lx0-l2（x0-l）

由2左一1=2左一——,得％=4.

X。T

【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线/：了=《（》一1），从而将其

与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出舄时+斤.的值，再将韦达定理式整

体代入，当然本题也可引入S,设直线/：》-1=啊.

21.⑴…

⑵4=1

⑶（-00,-1）

【分析】（1）函数y=f+2x+2在（_巩_1）上单调递减，在（T,+8）上单调递增，可得

-1为函数/=/+2X+2的极值点，进而结合题意即可求解；

⑵由题意可得卜;一1=°,即得为+21叫-1=0,设0（x）=x+21nx-l（x>O）,

结合导数可得函数夕（x）=x+21nx-1在（0,+司上单调递增，且夕⑴=0,进而求解；

（3）由/⑴=渥+6%2+0才=2%，可得办2+乐+°_2=0，设占，%为函数/（%）的“2相

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b=0c=3a<0

A”-2ag)>A4=6勺2acQ>

b2b

关点”，贝%1+%2=-----xi+x2=--,进而可得,故

Ia

c—2c

XX

x1x2=------12=丁

a3a

/卜）=分+3工，再结合导数的几何意义求解即可•

【详解】（1）函数了=尤2+2》+2的对称轴为x=-l，

且函数昨/+2x+2在（―1）上单调递减，在（T,+00）上单调递增,

所以-1为函数y=x2+2x+2的极值点，

因为函数>=X2+2X+2存在“4相关点

由题意可得，（T）2+2X（T）+2=_4,解得;l=-l.

(2)由y=^2_21nx(x>0),则2(依2T),

yr=2kx—

xX