辽宁省朝阳市建平县2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省朝阳市建平县2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】复数在复平面内复数所对应的点为，位于第四象限.故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，则.故选：C.3.已知向量，若，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，解得，所以，所以故选：D.4.已知为偶函数，则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因为为偶函数，所以，，，，即，则，即，则，即，故.故选：B.5.“函数的图象关于对称”是“，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当函数的图象关于对称时，有，，得，，易知，所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．故选：B．6.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”是指企业､团体或个人通过植树造林､节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值（亿吨）（）后开始下降，其二氧化碳的排放量（亿吨）与时间（年）满足函数关系式，若经过7年，二氧化碳的排放量为（亿吨）.已知该地区近过植树造林､节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过（）（参考数据：）A.38年 B.42年 C.46年 D.48年【答案】B【解析】由题意，由题意，即，解得，令，即，故，即，可得，即，即该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过42年.故选：B.7.如图，在四棱锥中，，，平面，，，，则（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】如图，连接．由已知，，得．因为平面，所以，且，且平面，所以平面，平面，可得，同理可得．易证，所以，在中，，，所以，因为平面，平面，则,则．故选：D．8.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】设，连接，与轴交于点，由对称性可知，又，所以是正三角形，且.因为，所以，所以，所以，所以，又点在直线上，故，所以，所以.故选：B.二、选择题9.某组数据方差的计算公式为，则（）A.样本的容量是3 B.样本的中位数是3C.样本的众数是3 D.样本的平均数是3【答案】BCD【解析】依题意，样本数据为，因此样本容量为7，中位数为3，众数为3，平均数，故A错误，BCD正确.故选：BCD10.设函数的最大值为1，最小值为-3，若的图象相邻的两条对称轴间的距离为，将的图象向上平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.在内恰有3个零点C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】BCD【解析】由题意知，解得，的最小正周期为，即，所以，故.由，得，所以当且仅当，即时，，故在内恰有3个零点，故A错误，B正确；由，得，所以，故C正确；由，得，所以在上单调递增，故D正确.故选：BCD.11.已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，且，过的直线交于两点，是坐标原点，则（）A.抛物线的准线方程为B.的最小值为4C.若，则的面积为D.若，则的方程为【答案】BC【解析】由抛物线定义知，，所以，故的方程为，所以的准线方程为，故A错误；设（异于原点），又，，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4，故B正确；设直线的方程为，联立消去并整理，得，所以，因为，易求得，所以的面积，故C正确；由以上可得，又，，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，解得，故直线的方程为，即或，故D错误.故选：BC12.已知，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由，可得，又，所以，解得.当时，，则，又，所以，所以此时，故A错误；令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即，由知，所以，所以，故正确；由可得，可得（时取等号），因为，所以，所以，故C正确；因为，所以.令，则，令，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以1，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题13.若直线是曲线的一条切线，则实数______．【答案】【解析】由题可知，设的切点为，则切线斜率为，可得，解得．故答案为:.14.已知等比数列的前项和为，若，，则______．【答案】80【解析】由等比数列的性质可知，，，成等比数列，又，，所以，所以，，所以．故答案为：.15.现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为______．【答案】288【解析】根据题意，分3步进行：第一步，2名老师分别站两端，有种站法；第二步，先安排3名男生，有种站法，男生排好后，有4个空位可选；第三步，将3名女生安排在4个空位中的3个，有种站法，所以不同的站法有．故答案为：28816.已知正方体的棱长为2，M为空间中任意一点，且，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为____________．【答案】【解析】如图，因为，所以在一个平面内，点M的轨迹是以A，D为焦点的椭圆．又因为，所以该椭圆的长轴长为4，短轴长为，故点M的轨迹是以A，D为焦点的椭球表面．设AD的中点为L，要使三棱锥的体积最大，即到平面ABD的距离最大，所以当平面，且平面ABD时，三棱锥A-MBD的体积最大．此时由椭圆短半轴长知，且△MAD为等边三角形，设其中心为S，三棱锥A-MBD的外接球的球心为O，△ABD的外心为K，连接OK，OB，OS，则，，所以球半径，此时三棱锥A-MBD外接球的表面积．故答案为：.四、解答题17.已知数列是递增的等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）因为数列是递增的等比数列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.18.在中，内角的对边分别为,且.（1）求角的大小；（2）若点是线段上的一点，且的面积为，求的周长.解：（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.（2）因为的面积为，所以，得.因为，所以，所以，所以在中，由余弦定理得，所以，所以，所以周长.19.如图，在三棱锥中，是的中点，是的中点，点在线段上，且.（1）求证：平面；（2）若平面，且，求直线与平面所成角的余弦值.（1）证明：过点作交于点，过点作交于点，则.因为是的中点，是的中点，所以，因为，所以，则，所以四边形平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，，所以.设平面的法向量为，则即令，得，设直线与平面所成角为，则，所以，故直线与平面所成角的余弦值为.20.由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每年灭绝一种，兽类平均每年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取名进行调查，得到统计数据如下表：保护动物意识强保护动物意识弱合计男性女性合计（1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？（2）将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次.记被抽取的人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.附：解：（1）零假设为保护动物意识的强弱与性别无关联.由题意，，所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为保护动物意识的强弱与性别有关联.（2）由题意可知：在女性的市民中抽到人，抽中“保护动物意识强”的女性市民的概率为，所以的所有可能取值为、、、、，由题意可知，，，，，，，所以的分布列为所以.21.已知在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，为椭圆上任意一点，面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，且与椭圆相交于，两点，若弦长的取值范围为，求的取值范围．解：（1）由已知面积，所以当点为短轴顶点时，的面积最大为，又椭圆的离心率，且，解得，，所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，，，由直线与圆相切，可得，得，联立，消去并整理得，恒成立，则，．所以，，因为的取值范围为，则，解得，所以，因为，则，所以，所以的取值范围为．22.已知函数.（1）若，求证：；（2）若，试判断函数在区间上的零点的个数，并说明理由.（参考数据：）（1）证明：若，则，又，所以.令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当