湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，，所以.故选：D.2.若角的终边经过函数（且）的图象上的定点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意令，得，而此时，所以，角的终边经过定点，所以，所以.故选：C.3.已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由指数函数是减函数，可知，结合幂函数的性质可知，即，结合指数函数的性质可知，即，结合对数函数的性质可知，即，.故选：B.4.已知扇形的面积为5，周长为9，则该扇形的圆心角为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】依题意，解得或，故圆心角为或.故选：C.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以是偶函数，故A，C错误；，选项B符合函数，D不符合.故选：B.6.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，因为，所以，所以，即，所以，即，所以故选：C.7.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，由于，所以的定义域为，又，所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增，由得，即，则，解得或，所以不等式的解集为.故选：D.8.设，，且，则（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以，由于，所以当且仅当时，满足条件等式，所以，，即，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小㦁给出的选项中，有多项符合遇目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.若且，则为第二象限角B.C.若，则（）D.若角的终边在第一象限，则的取值集合为【答案】ABD【解析】若，则为第二或四象限角，又，则为第一或二象限角或终边为y轴非负半轴，则为第二象限角，故A选项正确；，B选项正确；当时，满足，此时，不满足（），故C选项错误；角的终边在第一象限，则角的终边在第一或第三象限，当角的终边在第一象限时，，当角的终边在第三象限时，，故则的取值集合为，D选项正确.故选：ABD.10.下列结论中，所有正确的结论有（）A.若，则B.若，则的最小值为C当时，D.若，，，则【答案】BD【解析】对于A：当时，若，有，不满足条件，故A错误；对于B：，设，则，因为在上单调递增，所以时，取最大值，即时，有最小值为，故B正确；对于C：当时，，不满足，故C错误；对于D：，，且，则，当且仅当即时等号成立，故D正确.故选：BD.11.已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和直线，如图：当时，方程无解，当或时，方程有唯一解，当时，方程有两个解，而一元二次方程最多有两个根，由题意若关于的方程有4个不同的实根，则当且仅当，一元二次方程在时，有两个不同的根，令，所以，解不等式组得或，对比选项可知实数可能的取值有.故选：ACD.12.定义在实数集上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（）A.函数的最小正周期为2 B.函数在上递增C.函数的值域为 D.方程有6个根【答案】BC【解析】对于A，因为当时，，所以，故，故A错误；对于B，定义在实数集上的奇函数满足，所以，则关于对称，又，即的最小正周期为4，则函数在上的单调性与单调性相同，由在上单调递增知，函数在上递增，故B正确；又当时，，结合对称性与周期性作出函数的图象，如图，由图可知函数的值域为，故选项C正确；作出的图象，由图知两函数共有5个交点，可得方程有5个根，则D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数为偶函数，且在区间上是增函数，则____________．【答案】【解析】【详析】由幂函数在区间上是增函数，则，解得，当时，，此时为奇函数，不满足题意；当时，，此时为偶函数；当时，，此时为奇函数，不满足题意，综上所述，．故答案为：.14.已知函数的定义域为，则函数的定义域为________________.【答案】【解析】由题意函数的定义域为，所以要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.故答案为：.15.函数，的值域是________________.【答案】【解析】，令，则函数为，故在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，所以的值域为.故答案为：.16.若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是________________________________.【答案】【解析】①当时，解得，不符合题意；故，关于的不等式，即，②当时，不等式即，解得或，即它的解集为，不满足题意；③当时，不等式即，由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，，由题意，即，解得或，则实数取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1），又因为，所以，即，所以为第二或第三象限角，当为第二象限角时，，，当为第三象限角时，，.（2），即，，由，得.19.已知函数为奇函数.（1）求函数的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应的取值集合；（2）求函数的单调递减区间.解：（1）依题意有即，为奇函数，满足题意，当时取最小值；当时取最大值2.（2）依题意，若单调递减，则，，又，令得其减区间为与.20.1999年以来，漳州市连续每年11月18日承办海峡两岸花卉博览会，开创了两岸花卉直接交流的先河．近年来，漳州市委、市政府高度重视花卉苗木产业的培育和发展，将花卉苗木产业纳入全市“千百亿产业培育行动计划”，出台了多项扶持政策．某花卉苗木企业积极响应市里号召，决定对企业的某花卉进行一次评估．已知该花卉单价为15元，年销售10万棵．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少4000棵，要使销售的总收入不低于原收入，该花卉每棵售价最多为多少元？（2）为了抓住此次契机，扩大该花卉的影响力，提高年利润，企业决定立即对该花卉进行种植技术革新和营销策略改革，拟投入x（）万元作为技改费和宣传费用，每棵售价定为（x+15）元，预估每棵成本为元，销售量与投入费用的函数关系近似为S（x）万棵．试问：投入多少万元技改费和宣传费能获得最高利润，此时利润是多少万元？（利润＝销售额－成本－技改费和宣传费）解：（1）设每棵花卉售价为元，依题意，有，即，又，于是有，即，因此该花卉每棵售价最多为25元．（2）依题意，设利润为万元，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，即，所以，从而有当时，有最大值113，所以投入3万元技改费和宣传费时，可获得最高利润113万元．21.已知函数是上的奇函数.（1）求实数，的值；（2）判断函数单调性，并用单调性的定义证明；（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以，又，即，所以，当，时，，此时，所以为奇函数，故，.（2）函数在上单调递增，证明如下：因为，设，则，因为，所以，，所以，即，所以在上单调递增.（3）因为为奇函数，所以不等式可变形为，又在上单调递增，所以，即对任意，有恒成立，令，则，所以，，故，所以，故实数的取值范围为.22.已知函数和函数.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）是否存在非负实数，，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出，的值；若不存在，则说明理由；