江苏省苏州市黄埭中学2025届高三上学期开学考试模拟数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省苏州市黄埭中学2025届高三上学期开学考试数学模拟试卷一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，其表示所有的奇数，则.故选：A.2.设复数，若，则（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】，，，，所以，则，解得：.故选：B．3.下列数中，与不相等的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，；对于B,对于C,，对于D，，故选：B4.中，AD为中线，AD=4，BC=6，作，则等于（）A.7 B. C. D.9【答案】A【解析】在中，由，则，由三点共线，则，设，则，且，则.故，即.所以.故选：A.5.在抛物线上任取A、B两点，若过A、B点作抛物线的切线斜率分别为－2，4，则直线AB的斜率为（）A.1 B.3 C.－1 D.－3【答案】A【解析】求导，得到,设，，则，，由于，两式子相加得到,则.故.故选：A.6.若函数的图像全部在x轴上方，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数的图像全部在x轴上方，所以,即,设,当单调递减，当单调递增，当，.故选：C.7.已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（）A.2 B. C. D.1【答案】B【解析】因为两直线交于，则，即，且，则；由原点到直线的距离由，则，当且仅当时，取最大值，此时.即两直线重合时，原点到直线的距离最大.故选：B.8.直角三角形中，，分别为的中线，角平分线，若线段的长度成等差数列，公差，则等于（）A.5 B. C.2 D.【答案】B【解析】设，由题意可得,由成等差数列，得，则，故,由正弦定理可得，即故,故选：B二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.9.随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（）A.事件与事件B相互独立 B.C. D.【答案】AC【解析】根据，可得；又，可得；即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确；易知，因此B错误；由可得，即可知C正确；计算可得，所以，即D错误.故选：AC10.平行四边形ABCD中，，，，P、Q分别线段AB，AD上动点，且，则（）A.△APQ面积的最大值为 B.可能成立C. D.【答案】ABD【解析】对于A，由题意，设，因，，，则，且，则△APQ面积，因，故当时，，故A正确；对于B，如图设则，，于是，，，则，而,由可得，，解得，即存在，满足，即B正确；对于C，由B项得，，，因，则，，由，因，故，即恒成立，故C错误；对于D，因，则，由，因，则，即恒成立，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，共15分.11.已知，写出的一个解析式______.【答案】（答案不唯一）【解析】因为，由求导法则可知，若，可知.故答案为：（答案不唯一）.12.已知点A为抛物线上一点，过A作x轴垂线交抛物线于B，过A作y轴垂线交抛物线的准线于C，设抛物线焦点为F，若，则______.【答案】【解析】当点在焦点左侧时，如图1，设过A作x轴的垂线交轴，连接.设，则，由，由抛物线的定义可知，则.故，这与矛盾，故点不在焦点左侧.当点与焦点重合时，如图2，设过A作x轴的垂线交轴，连接.同理可得，这也与矛盾，故点也不与焦点重合.当点在焦点右侧时，如图3，设过A作x轴的垂线交轴，连接.同理可得，即三点共线.由对称性可知，，所以，由，在中，得，故，故三内角分别为，则，设，，则，解得；代入抛物线方程可得，故此时.四、解答题：本大题共5小题，共77分.13.记的内角A、B、C的对边为a，b，c，已知.（1）求;（2）若的面积为，，求.解：（1）由整理可得，即，解得或（舍）利用正弦定理可得，所以；（2）由（1）可知当时，可得；所以的面积为，解得.14.如图，直四棱柱中，,点E为的中点，F为中点.（1）若，证明：；（2）若二面角的正弦值为23，求.（1）证明：以分别为轴建立空间直角坐标系，,可得,所以中点,所以,，可得.（2）解：设,则设平面法向量为n=x,y,z因为，则，令，可得，设平面法向量为，因，则，令,则，设为，因为所以,则,解得（舍负），所以.15.已知，，为偶函数.（1）求的解析式；（2）求证：时，有且只有一个根，且；（3）若恒成立，求a解：（1）由，可得，由于为偶函数，故，进而可得，由于不恒为0，故，解得，故（2）令，当时，则，令，则，令则，故在