江苏省如东县2025届高三上学期开学期初测试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省如东县2025届高三上学期开学期初测试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解出和，再求交集得到.故选：C.2.已知，则“”的充要条件是（）A.a，b都不为1 B.a，b不都为1 C.a，b不都为0 D.【答案】A【解析】且，即都不为1，故选：A3.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，先求定义域，即且，即.函数式子两边平方，即.当，由二次函数性质知道的值域为.则的范围为.开方得的值域为.故选：D.4.已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是R上的增函数，则要满足：，解得.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，故选：D.6.已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】①,,为奇函数，为偶函数，②，①+②得，①-②得，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为，故选：B.7.已知直角的面积是10，CD是其斜边AB上的高．将沿CD折起，使得二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】记，则，得，又，所以，当且仅当时等号成立，由直角三角形性质可知，在图2中，因为，二面角是直二面角，所以，所以可将三棱锥补形成长方体，记外接球半径为，则因为函数在区间单调递增，所以当时，取得最小值，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值.故选：B8.已知函数在区间上的值域为，若，则k的最小值是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】当时，在区间上的值域为；当时，在区间上的值域为；则.当时，在区间上的值域为；则.当时，在区间上的值域为；则，则，则k的最小值是4.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，所以所以A正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为,不妨取,所以C错误；对于D，令，则，所以在R上单调递增，因为，所以，即，所以，D正确.故选：ABD.10.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（）A.该正八面体结构的表面积为 B.该正八面体结构的体积为C.该正八面体结构的外接球表面积为 D.该正八面体结构的内切球表面积为【答案】ACD【解析】对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故A正确；对B：连接，则，底面，故该正八面体结构的体积，故B错误；对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确；对D：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故D正确；故选：ACD．11.已知函数的定义域为，且，若，则（）A. B.C.是奇函数 D.【答案】ABD【解析】选项A：令，得，因为，所以，所以选项A正确；令，得，因为，所以；令，得，所以，选项B：所以，故选项B正确；选项C：，显然不为奇函数，故选项C错误；选项D：因为，显然单调递增，要证明，即证，而；构造函数，得，显然当时，f'x<0，所以，即，即选项D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12.若存在满足，则a取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，令，因为与在区间上单调递增，所以函数fx在区间上单调递增，所以，所以，所以的取值范围为.13.对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为______．【答案】0,2【解析】当时,,则，令,，则,对称轴为，开口向下，所以在上单调递减，此时所以，此时当时,,则，令，则,对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，此时，所以,此时；终上所述，.故答案为：0,2.14.已知，，记集合，，若，则实数a的取值范围为__________．【答案】【解析】如图，作出函数的简图.由可得，因，解得，即，由可得，即,因，结合图象，可得：，消去可得，，因，即得，，解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，函数．（1）若是奇函数，求a的值；（2）若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围．解：（1）因为的定义域为，且为奇函数，所以，即．此时，的定义域为，且，为奇函数，所以．（2）因为的图象过点，则，解得．令，得．因为函数与x轴负半轴有两个不同交点，所以方程有两个不相等的负根，所以，解得．所以，所以的取值范围为．16.在直四棱柱中，，，，，．（1）求证：平面；（2）若为直角三角形，求四棱柱的体积．（1）证明：因为，平面，平面，故平面．在四棱柱中，，又因为平面，平面，所以平面．因为，平面，故平面平面，平面，所以平面．（2）解：设四棱柱的高为h，在直四棱柱中，平面，平面，所以，同理可得，．因为，，，，，所以，．因为，所以，．在直四棱柱中，，，所以四边形ABCD是平行四边形，所以．因为，为直角三角形，所以或，解得．因为四棱柱的底面积为，所以四棱柱的体积为．17.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）当时，比较与的大小；（2）当时，求；（3）函数，当时，求的解析式，并求在区间上的值域．解：（1）当时，，，所以．（2）依题可知，右边图形最后一个小矩形的面积为，所以．当时，，解得．此时．（3）当时，．当时，．因为，所以在区间的最小值为0.02．又因为，，所以在区间上的值域是．18.如图，已知多面体，，，均垂直于平面ABC，，，，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，所以．因为，，，所以，又因为，所以，所以．同理可得：．又，平面，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）取AC中点O，过O作平面ABC垂线OD，交于D．因为，所以．因为，，所以，．以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为n=x,y,z则，．令可得．．设直线与平面所成的角为，则．所以直线与平面所成的角的正弦值为．19.已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）若，求实数a的值；（3）若，证明：．（1）解：．因为，所以，所以．所以函数在处的切线方程为．