江苏省南通市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故，故.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，即，解得，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C.3.下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A：若，，满足，但是，故A错误；对于B：若，，满足，但是，故B错误；对于C：当时，，故C错误；对于D：因为，则，所以，所以，即，故D正确.故选：D.4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，故，若函数有意义，则，解得.则函数的定义域为.故选：B.5.若，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，，，，.故选：B.6.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，当且仅当取等号，所以当时，的取值范围是，又因为函数为定义在上的奇函数，所以当时，，则，即当时，的取值范围是.故选：B.7.若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命题“，不等式恒成立”是真命题，则，令，则，则，可得，因为函数、在区间1,2上均为减函数，所以，函数在区间1,2上为减函数，故当时，，所以，.因此，实数的取值范围是.故选：A.8.存在三个实数，满足下列两个等式：①；②，其中表示这三个实数中的最大值，则（）A.的最大值是2 B.的最小值是2C.的最大值是 D.的最小值是【答案】B【解析】由题意可知，中有2个负数，1个正数，其中是负数，，则，所以，则，且，所以，即，所以的最小值为2.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A. B.C. D.若，则【答案】AC【解析】对于A：，，所以，故A正确；对于B：，，所以，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，，所以，故D错误.故选：AC.10.已知函数满足，下列结论正确的是（）A. B.C.为奇函数 D.为偶函数【答案】ABC【解析】依题意，令，得，故A正确；令，则，则，所以，令，所以，所以为奇函数，即为奇函数，故C正确，D错误；令，由可得，所以，故B正确.故选：ABC.11.已知，则下列结论正确的有（）A.的最小值为4 B.的最小值为9C.的最小值为10 D.的最小值为128【答案】BD【解析】因为，所以，解得（负值已舍去），所以，当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误；因为，所以，所以，当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误；因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算______________.【答案】【解析】原式.13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】当时，在区间上单调递减，故成立，当时，要使函数在区间上单调递减，所以，解得：.综上所述，实数的取值范围是.14.如图，边长为4的菱形ABCD的两条对角线交于点，且.动点从点出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到点距离的平方为，则函数在上单调递______________（填“增”或“减”）；若关于的方程恰有4个不等实根，则实数的取值范围是______________.【答案】减或【解析】由点作，垂足为点，由题意可知，是等边三角形，边长为4，所以，点由点到点的过程中，OP变短，所以在上单调递减；点到各边的距离都是，如图，垂足分别为，，，所以，画出函数的图象，当时，取得最小值3，时的函数值为4，时的函数值为12，与y=fx有4个交点时，或.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）因为，当时，，则或，所以，或.（2）因为是的充分不必要条件，则，则，解得.因此，实数的取值范围是.16.已知函数.（1）若，求的值;（2）若，求函数的最小值.解：（1）因为，所以，两边平方可得，所以.（2）因为，所以，令，则，当且仅当时，即时，等号成立，即，所以，对称轴为，所以函数在上单调递增，即时，，所以函数的最小值为.17.已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且.（1）若函数.①求证：函数是偶函数;②求函数的单调区间;（2）求不等式解集.解：（1）①∵是定义在上的奇函数，∴.∴，∴函数是偶函数.②设且，则，由，得，∴，即，所以函数在0,+∞上减函数；又∵函数偶函数，∴在上是增函数；所以的单调减区间是0,+∞；单调增区间是.（2）∵，是偶函数∴，由，故可转化为或，当时，由得，即，因为在0,+∞上是减函数，∴；当时，由得，即，因为在上是增函数，∴.即不等式的解集为.18.已知函数（1）若是上的增函数，求实数的取值范围；（2）若，方程有三个实数解.①写出实数和的取值范围;②求证:.解：（1）因为，又是上的增函数，所以，解得，所以实数的取值范围为.（2）当时，当时，所以在0,2上单调递减，在上单调递增，，令，即，解得；当时，则在上单调递增，且，；则的图象如下所示：①因为方程有三个实数解，即y=fx与有三个交点，由图可知，且，，所以；②由①可知，所以，所以，令，因为，所以，则，所以，则，又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以，所以.19.已知二次函数满足：有两个实数根.（1）若，求实数的取值范围;（2）若，记在时的最小值为，求的表达式;（3）若与都是整数且，求的值.