江苏省南京市六校联合2025届11月联合调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校联合2025届11月联合调研数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，令，则，令，则，所以或，且，所以.故选：C2.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则的虚部为（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因为复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，所以，所以，虚部为.故选：D3.已知向量，，则（）A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的充分条件C.“”是“”的必要条件 D.“”是“”的必要条件【答案】B【解析】若，则，解得；若，则，解得或；故ACD错误，B正确；故选：B.4.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件的个数为，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的基本事件为，，，，，共6个，因此抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为.故选：B5.已知圆锥的母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出轴截面如图所示，为内切球的圆心，为圆锥底面圆的圆心，为切点，由已知条件可知，内切球的表面积等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圆锥的体积.故选：C6.已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数为偶函数，则，因为，所以，则解析式为，由函数解析式可知，，因为，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，所以在中，，所以最高点的纵坐标为，即，所以解析式为，所以.故选：D7.已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，令，则∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故选：A.8.已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则，因为，是函数在定义域上的两个极值点，则，，因为，代入，，得，解得.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，，直线：.为圆：上的动点，下列选项中正确的是（）A.若圆关于对称，则 B.与圆总有公共点C.面积的最大值为 D.面积的最小值为【答案】BC【解析】对于A，若圆关于对称，则直线过圆心，则，解得，故A错误；对于B，因为直线：，即恒过点，又，所以点在圆内部，所以与圆总有公共点，故B正确；对于C，D，因为，且,则直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，即点到直线的距离的取值范围为，所以面积的取值范围为，故C正确，D错误；故选：BC10.根据气象学上的标准，从秋季进入冬季的标志为连续5天的日平均温度均低于.现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（）A.平均数为3，极差为2 B.中位数为7，众数为9C.众数为5，极差为6 D.平均数为4，方差为2【答案】ABD关键点：“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：，A选项，，，若，则，与平均数为矛盾，所以A选项正确.B选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是，第个数为，所以个数据都小于，所以B选项正确.C选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以C选项错误.D选项，，，，若，则，矛盾，所以D选项正确.故选：ABD11.若数列满足，则称数列为项数列，集合是由所有项数列构成，现从集合中任意取出两个数列，，记随机变量，下列选项中正确的是（）A.中有16个元素B.的所有可能取值为0，1，2，，C.D.若的期望，则的最小值为32【答案】ACD【解析】对于A，数列中每一项均为1或2，只有两种可能，，所以中有个元素，A正确；对于B，数列，为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，所以不能取0，的所有可能取值为1，2，，，B错误；对于C，根据数列中1的个数可得，集合中元素的个数共有个，故中共有个元素，当时，则数列中有项取值不同，有项取值相同，从项中选择项，和在项的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反，由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况，所以，故，C正确；对于D；所以随机变量的分布列为：123因为，所以，令，所以数列是递增函数，，D正确.故答案为：ACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______.（用数字作答）【答案】56【解析】第一个括号内取1时，第二个为；第一个括号内取时，第二个，所以展开式中的系数为，故答案为：56.13.已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为______【答案】【解析】若函数有三个不同的零点，即有3个不同的根，即y=fx与的图象有3个不同的交点，作出y=fx则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.14.在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______.【答案】【解析】，∴∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵为锐角，∴∴,当且仅当，即时等号成立.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的首项，且满足.（1）求数列的通项；（2）若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.解：（1）设公差为，方法1.，，，.方法2..，，.（2）由（1）知，.，即，，.16.如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点.（1）若点为中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）如图所示：连接，点、分别是，的中点，，又，且，四边形是平行四边形，，，又平面，且平面，面.（2）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A2,0,0，，，，，，，设，，，设平面的一个法向量是，则，取得，因为直线与平面所成的角的正弦值为，所以，解得（负值舍去）故，则平面的一个法向量是，，设平面的一个法向量是m=x,y,z则，取得，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.17.在直角梯形中，已知，，，，.（1）求；（2）若动点，分别在线段，上，且与面积之比为，试求的最小值.解：（1）作，垂足为，设，，，由于，则，，又，所以，解得（舍去），所以.（2）设，由（1）.由题：，.又，..当且仅当时取等号.18.已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与.（1）求的方程；（2）当斜率为1时，求直线的方程；（3）求证：为定值.解：（1）由，得，又因为，所以，所以，所以：.（2）由题知：，设Ax1,y1联立，消去可得，则，所以，则，又直线，互相垂直，则，设，则，联立，消去可得，则，所以，则，所以：.（3）由题意可知，的斜率不为0，设：，Ax1,y1，B由可得，.所以，，，所以.所以，所以.同理可得：，.令，得.当，，时，直线的斜率.所以：，化简得：，即为：.所以到的距离，所以到的距离，所以.由（2）知，当时，，所以.19.已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若函数.（i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合.（ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）的定义域为，由，得，①当时，，在上单调递增；②当时，则当时，，单调递增；则当时，，单调递减；综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）（i）由，得，设点和点，不妨设，则曲线在点处切线方程为，即；同理曲线在点处的切线方程为；假设与重合，则，化简得，.两式消去，得，则，令，，由，所以在上单调