江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高二上学期期中学情调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市联盟学校2024-2025学年高二上学期期中学情调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知直线方程为，则直线与垂直，即直线的倾斜角为，故选：C.2.圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆的标准方程为，该圆的半径为，因此，该圆的面积为.故选：B.3.直线关于轴的对称直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，则其关于x轴的对称点坐标为.已知直线，对称点在该直线上，所以将换为可得，即.故选：A.4.若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】曲线是双曲线，则异号.则，解得.故选：D.5.已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（）A.4 B.8 C.16 D.12【答案】A【解析】由题设及抛物线的定义，有.故选：A6.比较下列椭圆的形状，最接近于圆的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：，则，B：，则，C：，则，D：，则，由离心率越小，越趋向于圆，则，即最接近于圆.故选：C7.直线与圆交于，两点，则面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可化为，所以，圆心，其到的距离，又圆的半径为，所以，则面积为.故选：B8.设椭圆的左右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，可设，根据椭圆对称性，有，，所以，而，则，故，所以，即，由为平行四边形，则，又，所以.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知三条直线，，，则下列结论正确的有（）A.经过定点 B.，的交点坐标为C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】A选项：，即，令，解得，即直线过点，A选项正确；B选项：联立直线方程，解得，即直线，的交点坐标为，B选项错误；C选项：由，可得，解得，C选项错误；D选项：时，直线，满足，即，D选项正确；故选：AD.10.已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于，两点，则下列结论正确的有（）A.左焦点到渐近线距离为 B.若，则或1C.若，则，两点位于的两支 D.点不可能是线段的中点【答案】ACD【解析】对于选项A，由双曲线，得渐近线为，即.左焦点，左焦点到渐近线距离，所以选项A正确.对于选项B，根据双曲线定义，又，则，当时，；当时，.但是，所以舍去，，选项B错误.对于选项C，当时，直线的方程为.联立，消去得，展开并整理得，即.Δ=所以方程有两个不同的实根，设两根为，，，即两根异号，所以直线与双曲线相交于两支上，选项C正确.对于选项D，由，得到.展开.整理得，.设，，若是中点，则，则，所以，代入与前面矛盾.所以点不可能是线段的中点，选项D正确.故选：ACD.11.已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的有（）A.曲线有4条对称轴 B.曲线围成的图形面积为C.的最大值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】当时，，当时，，当时，，当时，，且曲线过原点，曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，令，有，又各圆半径为，则每个弓形圆弧是圆弧，所以曲线的图形如下图示，由图知，显然对称轴只有轴，A错；曲线围成的图形是四个全等的弓形组成，面积为，B对；由上分析，易知的最大值为，C对；由表示曲线上点与点所成直线斜率，结合图知，当过的直线与圆右上方相切时斜率最小，令直线为且，联立圆得，所以，则，整理得，所以，可得（正值舍），D对.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.两条平行直线与间的距离为________.【答案】【解析】由题设，即为，所以两直线距离.故答案为：13.两圆和的公切线有______条．【答案】3【解析】由题可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则圆心距，所以两圆外切，则公切线有3条.故答案为：3.14.已知椭圆的左右焦点分别为，，上的一点满足，且的面积为，则的值为__________，的取值范围为________.【答案】4；.【解析】由，（），所以，又，则，所以，结合，所以，由题设，则，故，由上分析知，而，当且仅当时取等号，所以，则，当且仅当时取等号，则，综上，.故答案为：4，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知△的三个顶点为，，.（1）求证：△为直角三角形；（2）求边上的中线长及中线所在的直线方程.解：（1）由已知条件得，,,则,所以△为直角三角形；（2）设的中点坐标为，则边上的中线,由中点坐标公式可得，，即的坐标为，直线的斜率为，所以边上的中线所在直线方程为，即.16.已知圆，点，.（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）点是圆上的动点，求的最值.解：（1）当过点且与圆相切直线斜率不存在时，该直线方程为，当过点且与圆相切的直线斜率存在时，设其斜率为，则该直线方程为，因为该直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，解得，即；（2）设点，为参数，且，则，因为，所以，所以的最大值为，最小值为.17.已知双曲线经过点，且左焦点为.（1）求的标准方程；（2）过的右焦点作斜率为的弦，求的周长.解：（1）由题设且，可得，故；（2）由（1）知，则直线，联立双曲线，得，整理，可得或，不妨令，则，而，故，，所以.18.已知四边形的顶点、、在椭圆上，是坐标原点.（1）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求菱形的面积；（2）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由.解：（1）对于椭圆，，，则，当点是的右顶点，则，因为四边形为菱形，所以与相互垂直且平分．所以可设，代入椭圆方程得，即.所以菱形面积是.（2）四边形不可能为菱形．理由如下：假设四边形为菱形．因为点不是的顶点，且直线不过原点，则直线的斜率存在且不为零，所以可设的方程为，设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，所以，，因为四边形为菱形，则，即点，所以，，因为，则与不垂直，故四边形不可能是菱形.19.已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点.（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，