江苏省常州市22024届高三上学期期末学业水平监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省常州市2024届高三上学期期末学业水平监测数学试题一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程解得或，得，不等式解得，得，所以.故选：A．2.在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，，则对应复数1.故选：A．3.已知实数，满足等式，下列三个关系式中可能成立的个数为（）①；②；③．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】当时，，③可能成立．，时，，，，，，，即，此时，①可能成立．当，时,，，，，，即，即，②不可能成立，即①③可能成立，故选：C．4.对任意实数，，，在下列命题中，真命题是（）A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件【答案】B【解析】对于A，若，则由，“”不是“”的必要条件，A错．对于B，，“”是“”的必要条件，B对，对于C，若，则由，推不出，“”不是“”的充分条件对于D，当时，，即成立，此时不一定有成立，故“”不是“”的充分条件，D错误，故选：B．5.已知扇形的半径为5，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，，，弧的中点为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故选：B．6.已知正三棱锥的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点到平面的距离是（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】设底面边长为，为的中心，则底面面积，，，，令，，，则时，，单调递增，时，，单调递减，，即时，，到面距离，则，.故选：C．7.已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】构建，则，因为，则，即，可知在上单调递减，且，由可得，即，解得，所以不等式的解集是.故选：A．8.已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】方法一：如图建系，，圆，，，，，同理，，是的两根，，．方法二：以所在直线为轴，以中垂线所在直线为轴建系，设，，在上的射影分别为，，，，，在抛物线上运动，两根为，，.故选：D．二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知一组样本数据，，，，其中，若由生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有（）A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差【答案】BC【解析】对于A选项，不妨设，则样本数据，，，的极差为，样本数据、、、的极差为，因为，则，故A错误；对于B选项，设样本数据，，，的平均数为，即，所以，样本数据、、、的平均数为，由可知，当时，两组样本数据的平均数相等，故B正确；对于C选项，当时，设样本数据，，，的中位数为，样本数据、、、的中位数为，同理可知当时，中位数相等，当时，设样本数据，，，的中位数为，样本数据、、、中位数为，同理可知当时，两组数据的中位数相等，故C正确；对于D选项，设样本数据，，，的标准差为，样本数据、、、的标准差为，则，，因为，则，故，故两组样本数据的标准差不可能相等，故D错误.故选：BC.10.对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（）A.B.当天下午3：00温度最高C.温度为是当天晚上7：00D.从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于【答案】ABD【解析】时，，，第二天凌晨3：00最低为，此时，∴，∴，A对．，令即时取最大值，对应下午3：00，B对．，或10，上午11：00或下午7：00，C错．时，，D对.故选：ABD．11.在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（）A.存在点，使得平面B.不存在点，使得直线与平面所成的角为C.的最小值为D.以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是【答案】BCD【解析】方法一：如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，,，则，对于A，因为为正方体，所以，由三垂线定理得，，因，平面，所以平面，是平面一个法向量，假设面，则与共线矛盾，假设不成立，A错．对于B，若存在，与所成角为，则或，或，，不满足条件，假设不成立，B对．对于C，．表示与，距离之和，，，C对．对于D，，时最小，，，设截面小圆的圆心为，半径为，则平面，所以，，因为，所以球与面为圆心，为半径的圆弧，因为，所以在正方形内轨迹为半圆，弧长，选项D正确；方法二：对于A，若平面，则，由三垂线定理知为中点，但此时不与垂直，故不存在这样的，A不正确；对于B，同法一，B正确；对于C，可将面与面摊平，，C正确．对于D，球半径最小值为到的距离，，，在面上的射影为，截面圆半径，过作分别交，于，，，球被正方体截得的弧长是半圆弧，长为，D正确，故选：BCD．12.关于函数，下列说法正确的有（）A.函数的图象关于点对称B.函数在上单调递增，在上单调递减C.若方程恰有一个实数根，则D.若，都有，则【答案】BD【解析】对于A，，不是关于对称，故A错误；对于B，，时，，单调递减，时，，单调递增，故B正确；对于C，时，，时，，且在上单调递增，如时，只有一个根，故C错误；对于D，由时，单调递减，时，单调递增，所以，，即求最小值，当时，，且，所以，．故D正确.故选：BD．三、填空题：本题共4小题．13.已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦距是__________．【答案】2【解析】由双曲线方程可知，所以，，．故答案为：214.已知函数若，则实数的值为__________．【答案】【解析】，，．故答案为：15.如图，以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；再以等腰直角三角形的直角边为斜边，在外侧作等腰直角三角形，以边的中点为圆心，作一个圆心角是的圆弧；；按此规律操作，直至得到的直角三角形的直角顶点首次落到线段上，作出相应的圆弧后结束．若，则__________，所有圆弧的总长度为__________．【答案】8；【解析】根据题意，归纳可得每进行一次操作，线段以B为圆心，逆时针方向旋转45°，所以，，即；，，以后每次操作，圆弧的半径变为上一次操作的，则弧长变为上一次操作的，所以是以为首项，为等边的等比数列，则圆弧总长．故答案为：8；.16.已知二面角为，内一条直线与所成角为，内一条直线与所成角为，则直线与直线所成角的余弦值是__________．【答案】【解析】如图，过上一点作交于点，交于点设，，，如图，设，，，，，，，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的通项公式．解：（1），时，因为为等差数列，故也符合上式，，，．（2）由题意知为在区间中项的个数，令，，，，，.18.某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．（1）求；（2）如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是（5.95，6.05），那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到．可供查阅的（部分）标准正态分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.2232.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974解：（1），，，，，；（2），不合格的金属棒有：根．19.记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）余弦定理得，，又，所以，代入，，或2．（2）由正弦定理得，又，，，，，，，，，，．20.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，是的中点，是线段上一点，且//平面，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值．证明：（1）过作交于点，连接平面，平面，平面平面，，又，四边形为平行四边形，，，分别为，的中点，，，又，为的中点，，平面，平面，，又，平面，平面．解：（2）如图建系，，，．，，，，，，，设平面与平面的一个法向量分别为，它们所成二面角为，，所以，，，．21.已知函数，曲线在点处切线方程为．（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，由题有，即，解得所以，，当时，，所以，又当时，，所以，即在区间上恒成立，所以在区间上单调递增．（2）由对恒成立，即对恒成立，令，所以对恒成立，则，令，则，当时，由于，，，所以，当且仅当时取等号，当时，，所以，所以区间上单调递增，故，当时，，所以在区间上单调递增，又，所以符合题意，当时，因为，则存在，使得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，则时，，不合题意，综上：的取