湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省永州市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，则.故选：C.2.命题：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题：，的否定是：，.故选：C.3.“”是“”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，可得，故“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.4.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）＝（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】设f（x）＝xa，因为幂函数图象过（4，2），则有2，∴a，即，∴f（2）.故选：D.5.扇形面积为4，周长为8，则扇形的圆心角的弧度数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】令扇形半径为，弧长为，则，所以扇形的圆心角的弧度数为.故选：B.6.已知，则（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】由题设，又.故选：D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，，则，所以，又，综上，.故选：C.8.已知函数，若方程有5个不同的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由解析式得函数大致图象如下：由，令，可得或，令，当或时有1个解；当或时有2个解；当时有3个解；当时无解；要使有5个不同的实数解，若，则，此时方程有1解；若，则有2个解，有1解，此时方程共有3个解；若，则有1个解，有3解，有1解，此时方程共有5个解；若，则有1个解，有3解，有2解，此时方程共有6个解；若，则有1个解，有3解，有3解，此时方程共有7个解；若，则有3个解，有3个解，此时方程共有6个解；若，则有3个解，此时方程共有3个解；若，没有对应，此时方程无解；综上，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由，则，，A、C对；若，此时，B错；由单调递增，故，D对.故选：ACD.10.在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的有（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由为奇函数，A不符；由定义域为R，且，为偶函数，在区间上单调递增，B符合；由定义域为，且，为偶函数，在区间上单调递增，C符合；由定义域为R，且，为偶函数，在区间上单调递增，D符合.故选：BCD.11.定义域为的偶函数满足，且时，，则（）A.BC.的图象关于直线对称D.在区间上单调递增【答案】ABD【解析】由，A对；由题设，即，B对；由，则，综上，即关于对称，C错；根据周期性，区间上单调性与区间上单调性相同，又时，，即在上上递减，又是偶函数，所以在区间上递增，故在区间上单调递增，D对.故选：ABD.12.已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点，则（）A.在区间上有两条对称轴B.的取值范围是C.在区间上单调递增D.若，则【答案】BC【解析】区间上且，故在有且仅有两个不同的零点，所以，可得，B对；当时，此时只有一条对称轴，即在上可能只有一条对称轴，A错；区间上，而，所以在区间上单调递增，C对；由，即，又，所以或，可得或，D错.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】【解析】.故答案为：－511．14.函数图象恒过定点_____________.【答案】（1，3）【解析】令，可得，所以，即图象恒过定点（1，3）.故答案为：（1，3）.15.已知，，则的最小值为______.【答案】【解析】由题设，当且仅当，即时第一个等号成立，当且仅当，即时第二个等号成立，综上，时目标式有最小值为.故答案为：.16.若函数在定义域内存在实数使得，其中，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，则的取值集合是______.【答案】【解析】由题意得，函数恒为上的“阶局部奇函数”，即在上有解，则有，即有解，当时，，满足题意；当时，对于任意的实数，，变形可得，解可得：，由，故.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）若，求的值；（2）若，判断在区间上的单调性，并用定义证明.解：（1）由题设，则，故.（2）在区间上递增，证明如下：令，则，又，则，且，所以，即在区间上递增.18.已知集合，.（1）求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围.解：（1）由题设，，所以.（2）由，若，则满足题设；若，则，即；综上，.19.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.解：（1）由题设，所以的最小正周期.（2）图象向右平移个单位长度，得，把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得，在上，显然或，所以或，故在上的单调递增区间为和.20.为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③（1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；（2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？解：（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误，由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误，对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③.（2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点，，则，解得，，故所求函数为，，即，，，至少应完成销售利润72万元．21.在平面直角坐标系中，角及锐角的终边分别与单位圆交于，两点.（1）若点的横坐标为，求的值：（2）设角的终边与单位圆交于点，，，均与轴垂直，垂足分别为，，，请判断以线段，，为边能否构成三角形，并说明理由.解：（1）已知是锐角，则，根据三角函数的定义，得，，，．（2）能构成三角形，理由如下：由三角函数的定义得，，，，因为，所以，于是有，①故，又因为，所以，，②故，同理，，③，由①，②，③可得，以，，的长为三边长能构成三角形．22.已知函数，.（1）若对，都有，求实数的取值范围；（2）若函数，求函数的零点个数.解：（1）对，都有，只需，由在上递增，故，由，在上有