吉林省辽源市田家炳高中友好学校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省辽源市田家炳高中友好学校2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.若全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由交集的定义可知.故选：B.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命题“”的否定是.故选：B.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，解得.故选：D.4.已知都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意当时，由推不出，此时；当时，，则可得，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知扇形的弧长，半径，所以扇形的圆心角的弧度数是.故选：A.6.函数，，的图象如图所示，则，，的图象所对应的编号依次为（）A.①②③ B.③①②C.③②① D.①③②【答案】C【解析】令，解得；令，解得；令，解得，即当时，对应的底数越大，图象越靠近x轴，故，，的图象所对应的编号依次为③②①.故选：C.7.已知函数在区间上单调递增，则实数a的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，所以的单调递增区间为，又在区间上单调递增，，，即，则实数a的最大值是.故选：A.8.已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，不妨设，则由可得，，，即当时，恒有成立，故在单调递减；的图象关于点对称，则是奇函数，所以在单调递减；由函数的定义域为，则，又，则，作出函数大致图象，如下：不等式等价于或，①由方程，得，或或或，解得或或或；②由不等式可化为，或，即，或，解得，或，综上可知，，或.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列有关幂函数的结论中，正确的是（）A.的图象都经过点B.的图象可能会出现在第四象限C.当时，在增函数D.当时，在是减函数【答案】ACD【解析】由幂函数的性质可知，即的图象都经过点，故A正确；若函数的图象出现在第四象限，且函数在第一象限内必有图象，从而存在，使得一个对应两个值，与函数的定义矛盾，故B错误；当时，在是增函数，故C正确；当时，在是减函数，故D正确.故选：ACD.10.若实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】A：由，因此本选项不正确；B：由，因此本选项正确；C：因为，所以，因此本选项正确；D：因为，所以，因此本选项正确.故选：BCD.11.下列说法正确的是（）A.是第二象限角B.点是函数的一个对称中心C.若角终边上一点的坐标为（其中），则D.函数的图象可由函数图象向左平移个单位得到【答案】AC【解析】对于A，的终边与的终边相同，所以为第二象限角，故A正确；对于B，由，故B错误；对于C，利用三角函数的定义知，故C正确；对于D，由，可由函数的图象向左平移个单位得到，故D错误.故选：AC．12.已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值可能为（）A. B.1 C.2 D.【答案】BC【解析】画出函数的图象，如图：若函数有3个零点，即有3个实数根，即函数和有3个交点，结合图像，可知.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则________．【答案】7【解析】.故答案为：.14.已知，则_____________.【答案】【解析】由题意得：.故答案为：.15.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征.其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为，满足公式.现有一壶水温为的热水用来沏茶，由经验可知茶温为时口感最佳，若空气的温度为，那从沏茶开始，大约需要_________分钟饮用口感最佳.（参考数据；，，结果精确到位）【答案】【解析】由题意得，代入数据得，整理得，即，解得，所以若空气的温度为，从沏茶开始，大约需要分钟饮用口感最佳.故答案为：.16.已知函数的相邻的两个零点之间的距离是，且直线是图象的一条对称轴，则_____．【答案】【解析】函数的相邻的两个零点之间的距离是，可得的最小正周期为，则，由直线是图象的一条对称轴，可得，则，又，则，则，则.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）求集合；（2）设集合，且，求实数的取值范围．解：（1）∵，∴．（2）∵，∴，∴，解得.18.已知，，求，的值．解：因为，，所以，，所以，所以.19.已知函数是定义在R上的增函数，满足（1）求的值；（2）判断函数的奇偶性并证明；（3）若，求x的取值范围.解：（1）依题意，，，令，则，所以.（2）函数是奇函数，函数的定义域为R，，令，，即，所以函数为奇函数.（3）由，得，又，因此不等式，而函数是R上增函数，则有，解得，所以x的取值范围是.20.设函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值及此时的值．解：（1）所以的最小正周期为，由，所以函数的单调递增区间为.（2）当时，，所以当时，即当时，函数有最大值.21.已知关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）当，，且满足时，求的最小值.解：（1）∵不等式的解集为，∴，且，为方程的两个根，故，解得或（舍去），.（2）当，时，由（1）得，∴，当且仅当，即，时，等