湖南省沅澧共同体2025届高三上学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省沅澧共同体2025届高三上学期第二次联考数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，，则，所以.故选：B.2.设命题，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，命题“，”的否定“，”.故选：A.3.设，则的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函数在0,+∞上单调递增，可得，.因函数在R上单调递增，则.故，即.故选：A4.已知，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】，则，所以.故选：B.5.若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由投影向量定义可知，在上的投影向量为.故选：C.6.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.7.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函数图象如图所示．若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则即解得.故选：A．8.设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，所以，所以切线方程为，令，则，令，则，则三角形的面积为，故选：A.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．9.若满足对定义域内任意的，都有，则称为“优美函数”，则下列函数不是“优美函数”的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，函数定义域为R，取，则，则存在，使得，故A满足题意；对于B，函数的定义域为，对于定义域内任意的，故B不满足题意；对于C，函数定义域为R，取，则，则存在，使得故C满足题意；对于D，函数定义域R，取，则，则存在，使得故D满足题意.故选：ACD.10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.的图象关于直线对称C.是偶函数D.将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象【答案】ABD【解析】A．由图可得，，，解得，又函数图象经过点，所以，即，因为，所以，解得，故，故A正确；B．当时，，此时函数取得最小值，的图象关于直线对称，故B正确；C．是奇函数，故C错误；D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故D正确，故选：ABD．11.已知函数是奇函数，下列选项正确的是（）A.B.，且，恒有C.函数在上的值域为D.若，恒有的一个充分不必要条件是【答案】AD【解析】对于A：∵函数是奇函数，其定义域为，则，解得，故A正确；对于B：由选项A可得：，对，且，则，可得，故，可得，则，即，故在上单调递增，∴，且，恒有，故B错误；对于C：∵，，且在定义域内单调递增，∴函数在上的值域为，故C错误；对于D：∵，恒有，且在上单调递增，∴，恒成立，即，恒成立，当时，则不恒成立，不合题意；当时，则，解得；综上所述：实数的取值范围为.∵，∴，恒有的一个充分不必要条件是，故D正确；故选：AD．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以，所以，．当且仅当时等号成立．所以，最小值为．13.用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为________．【答案】【解析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于,则，，圆锥筒的高为：，这个圆锥筒的体积为;.14.函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为_______.【答案】【解析】由题意可得，令，即恰有三个实根，三根为：①，k，∵，∴，∴无解；或，当时，解得的范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知分别为的三个内角的对边，且，，．（1）求及的面积；（2）若为边上一点，且，求的正弦值．解：（1）由余弦定理得，整理得，即，因为，解得，所以.（2）由正弦定理得：，所以，在三角形中，因为，则，所以.16.已知数列的前项和为，且，数列满足．（1）求；（2）设，数列的前项和为，求．解：（1）由，当时，.当时，，也适合.综上可得，.由，所以.（2）由（1）知，①②①②得，所以．17.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，，，，，是棱的中点．（1）求证：面；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线和平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，,，,，且平面平面，（2）由（1）得，，异面直线与所成角的余弦值为．（3）由（1）得，．设平面的法向量n=x,y,z由得，，令，则，设，．整理得，，解得或存在点或．18.如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的方程；（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.解：（1）由题意得，解得，故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，由得，由，得，则.，解得或当时，直线经过点，不符合题意，舍去；当时，直线方程为.（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，所以为定值.19.已知是自然对数的底数．（1）讨论函数单调性；（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；（3）当时，若满足，求证：．解：（1）函数的定义域为R，求导得，当时，恒有，则函数在R上单调递增；当时，由，得；由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数的递增区间为；当时，函数的递减区间为，递增区间为.（2）方程，当时，方程不成立，则，令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有2个交点，求导得，当或时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，而当时，，当时，，且