材料力学课件：平面弯曲杆件的应力与强度计算

1§6-1平面弯曲的概念§6-2平面弯曲梁的内力§6-3纯弯曲时梁横截面上的正应力§6-4横力弯曲时梁横截面上的应力§6-5梁的强度计算§6-6梁的合理强度设计§6-7弯曲中心的概念

平面弯曲杆件的应力与强度计算12§6–1平面弯曲的概念弯曲梁工程实例桥式起重机大梁2火车轮轴3房屋建筑结构中的主梁桥梁结构中的主梁4受力特点：作用于杆上的外力垂直于杆的轴线。垂直于杆轴的荷载，称为横向荷载。变形特点：原为直线的轴线变形后为曲线，称为弯曲变形。梁：以弯曲变形为主的构件。5平面弯曲：梁变形前后，轴线和外力在同一平面内。对称弯曲：梁变形前后，轴线和外力保持在纵向对称面内。61平面弯曲的概念MF1F2q纵向对称面支座：固定铰支座、可动铰支座、固定端支座。如果支承不能约束梁横截面的偏转，就可把支承简化为铰支座。如果梁轴线方向的位移被限制，则可将支座一个简化为固定铰支座，其它简化为可动铰支座。梁的计算简图72模型的简化如果支承使梁横截面既不能有相对移动，也不能有相对转动，应把支承简化为固定端支座。8荷载：集中力、集中力偶、分布荷载。

如果作用在梁上的荷载，其分布范围远小于梁的长度，则可以简化为集中力。如果梁上的力偶作用在微小梁段上，则可以简化为集中力偶。如果梁受到的荷载分布在某段跟梁长度相比并不是很小的范围内，则可以简化为分布荷载。若荷载均匀分布，称为均布荷载。梁的计算简图9桥式起重机大梁火车轮轴10房屋建筑结构中的主梁桥梁结构中的主梁11静定梁和超静定梁静定梁：作用于梁上的未知约束力可由静力平衡方程全部确定。超静定梁：作用于梁上的未知约束力不能仅靠静力平衡方程确定。静定梁的三种形式简支梁外伸梁悬臂梁12梁的基本形式弯曲变形的工程实例弯曲变形的基本概念平面弯曲梁的计算简图平面弯曲梁的基本形式13小结14§6-1平面弯曲的概念§6-2平面弯曲梁的内力§6-3纯弯曲时梁横截面上的正应力§6-4横力弯曲时梁横截面上的应力§6-5梁的强度计算§6-6梁的合理强度设计§6-7弯曲中心的概念第6章平面弯曲杆件的应力与强度计算14两个内力分量剪力FS弯矩M内力大小平衡方程截面法§6–2平面弯曲梁的内力1剪力与弯矩15FSFSMM压拉剪力：截面上的剪力使所考虑的梁段有顺时针转动趋势（＋）。弯矩：当截面上的弯矩使所考虑的梁段在截面处产生向下凸的弯曲变形（＋）。正负号规则16例6-1

求图示梁1--1、2--2截面处的内力。解：

1-1截面：qqlab1122qlFS1AM1x1x1x2172-2截面：qlFS2BM2x2qqlab112218一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面位置而变化的。梁的内力方程给出了内力沿梁轴的变化规律，并可确定最大内力的数值及所在截面的位置。剪力方程弯矩方程2剪力方程与弯矩方程19以平行于梁轴的坐标轴表示横截面的位置；以垂直于梁轴的坐标轴表示相应横截面的剪力或弯矩；按比例绘出FS(x)和M(x)的图线。3剪力图和弯矩图正剪力画在基线上方，剪力图上标出正负号；弯矩画在受拉边，即正弯矩画在基线下方，弯矩图上不需标出正负号。画法20步骤(1)求出梁的支座约束力。(2)列出剪力方程和弯矩方程，注意有时需要分段。(3)求出各控制截面上的剪力值和弯矩值，包括梁的端点、段点、剪力为零的点及极值点。21例6-2试作图示简支梁在截面C处受集中力作用时的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座约束力22(2)建立剪力方程和弯矩方程（分段）AC段：以左端A为原点，取左段为研究对象FS(x)M(x)23CB段：以左端A为原点，取右段为研究对象FS(x)M(x)24(3)求各控制截面剪力、弯矩值剪力图——水平线；弯矩图——斜直线25(4)作出剪力图、弯矩图26例6-3试作图示简支梁受到均布荷载作用时的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座约束力(2)建立剪力方程和弯矩方程M(x)Fs(x)27(3)求控制截面剪力、弯矩值剪力图——斜直线；弯矩图——抛物线(4)作出剪力图、弯矩图28laFFFa+简单荷载作用下的典型梁的剪力图和弯矩图2930laMeMe31剪力方程弯矩图剪力图平面弯曲梁弯矩方程内力截面法小结32内力图内力方程内力图内力方程梁上荷载复杂复杂繁琐内力图内力方程？4简易法作梁的内力图33对dx段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS

(x)FS(x)M(x)dxCy剪力、弯矩与荷载集度间的关系x34弯矩图上任一点的切线斜率等于梁上与该点相应截面上的剪力；剪力图上任一点的切线斜率等于梁上该点的分布荷载的集度；弯矩图的凸向与分布荷载的作用方向一致。梁的平衡微分方程35(1)无荷载作用梁段(q(x)=0)剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。特殊地，当梁段上的剪力为零时，弯矩图为水平线。(2)均布荷载(q(x)=常数)作用梁段剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。当剪力正负号改变经过零点时，该处的弯矩有一极值。关于内力图的重要结论36(3)集中力作用点处剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，弯矩图有折点。(4)集中力偶作用点处弯矩图发生突变，其突变值等于集中力偶的大小，剪力图无变化。(5)最大弯矩可能发生的位置①集中力作用的截面；②集中力偶作用的截面；③剪力为零的截面。37荷载无荷载作用段均布荷载作用段集中力作用处集中力偶作用处q=0q>0q<0FS图特征M图特征CFCMe水平直线xFSFS>0FSFS<0x斜直线xFSCFS1FS2FS1–FS2=F自左向右突变xFSC无变化斜直线二次曲线自左向右折角自左向右突变x折向与F同向Mxx下凹MM上凸xM2

M1MxMxM斜率等于FSxFSxFS斜率等于q内力图的典型特征38绘剪力图：浮点法，即用一浮点从梁的轴线左端沿着荷载的指向及大小比例移至梁的轴线右端，所形成的封闭图形即为剪力图。绘弯矩图：根据弯矩、剪力与荷载集度的微分关系，并求出控制面的弯矩值，分段连点作图。简易法作梁的内力图39解：(1)求支座约束力例6-4试用简易法作图示梁的剪力图和弯矩图。40(2)绘剪力图41(3)绘弯矩图42内力方程简易法基本方法内力图平衡微分方程方便高效小结4344§6-1平面弯曲的概念§6-2平面弯曲梁的内力§6-3纯弯曲时梁横截面上的正应力§6-4横力弯曲时梁横截面上的应力§6-5梁的强度计算§6-6梁的合理强度设计§6-7弯曲中心的概念第6章平面弯曲杆件的应力与强度计算44截面法两个内力分量剪力FS弯矩M内力大小平衡方程正负号规则FSFSMM压拉回顾：平面弯曲梁的内力45梁的破坏46内力分量不能确定横截面上各点内力的大小。强度：由各点的受力判断杆件是否破坏，在哪点破坏。应力：分布内力在截面上某一点处的集度。1问题的提出外力内力应力强度47实例火车轮轴48BFPFPaaCDAFPFPFPa某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。纯弯曲某段梁的内力既有弯矩又有剪力时，该段梁的变形称为横力弯曲（剪切弯曲）。如AC、BD段。横力弯曲49弯曲应力正应力剪力弯曲内力弯矩切应力50纵向线弯为弧线，但仍平行，间距不变。横向线仍为直线，只是相对转对。实验观察：2纯弯曲时梁横截面上的正应力51平面假设变形前原为平面的横截面在变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的轴线。为什么可以这样假设呢？52纵向材料之间无挤压的假设纵向材料之间没有挤压，材料的纵向变形只是沿梁轴的单向拉伸或压缩变形。横截面上只有正应力而无切应力。53中性层：梁内一层材料既不伸长也不缩短，因而材料不受拉应力和压应力。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴必垂直于纵向对称面。在横截面上，中性轴必垂直于截面的纵向对称轴。54变形几何关系应变分布规律物理关系应力分布规律静力关系应力、内力关系55bbOOOOdqrxy(1)变形几何关系56

bbOO变形前

OOdqrxy纵向材料的线应变与其距中性层的距离成正比。))变形后))))57梁上任意一点均处于单向应力状态横截面上任一点的正应力与其距中性轴的距离成正比，正应力沿横截面高度按线性规律变化。sMAss(2)物理关系58(3)静力关系59EIz梁的弯曲刚度1/

梁轴线曲率y轴为横截面对称轴∴z轴（中性轴）必须通过截面形心60取M、y绝对值代入，由弯曲变形来判定拉压应力：以中性轴为界，梁凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。纯弯曲梁的正应力计算公式61最大正应力正应力沿横截面高度按线性规律变化；在中性轴处的正应力等于零，距中性轴越远处的正应力数值越大，在截面的上、下边缘处达到拉应力或压应力的最大值。62当中性轴是横截面的对称轴时：弯曲截面系数63注意：64几何关系纯弯曲时梁的正应力计算公式实验观察静力关系基本假设物理关系应变分布规律应力分布规律小结6566§6-1平面弯曲的概念§6-2平面弯曲梁的内力§6-3纯弯曲时梁横截面上的正应力§6-4横力弯曲时梁横截面上的应力§6-5梁的强度计算§6-6梁的合理强度设计§6-7弯曲中心的概念第6章平面弯曲杆件的应力与强度计算66弯曲应力正应力剪力弯曲内力弯矩切应力67纯弯曲梁的正应力计算公式是在平面假设和纵向材料无挤压假设下得到的。对于横力弯曲：由于切应力的存在，梁的横截面发生翘曲，不再保持平面假设不成立。横向力使纵向材料之间发生挤压，纵向材料无挤压假设不成立。1横力弯曲时梁横截面上的正应力68纯弯曲梁的正应力计算公式不适用于横力弯曲？69弹性力学分析和试验表明，对于细长梁的横力弯曲，可用纯弯曲正应力公式计算，结果误差不大。纯弯曲梁的正应力计算公式可以推广应用于细长梁的横力弯曲。70任一截面等直梁

全梁最大正应力71当中性轴是横截面的对称轴时：等直梁任一截面全梁72例6-5工字形截面钢梁，已知梁的跨度l=4.2m，荷载FP=750kN，横截面尺寸h=800mm,d=22mm，横截面对中性轴的惯性矩Iz=2062×10-6m4。试求梁上的最大正应力以及最大正应力所在截面上翼缘与腹板交界处的正应力。FPl/2l/2D截面AB73解：(1)求支座约束力，作出弯矩图74(3)D截面上翼缘与腹板交界处的正应力(2)梁上最大正应力75例6-6某Π形截面的外伸梁，其受力、尺寸及截面形心的位置如图，已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz，试求梁内最大拉应力和最大压应力的大小及其位置。解：(1)求支座约束力F0.75FF2.75F(2)作弯矩图76(3)求应力最大压应力发生在B截面的下边缘处最大拉应力最大拉应力发生在D截面的下边缘处77弯曲应力正应力剪力弯曲内力弯矩切应力782横力弯曲时梁横截面上的切应力横力弯曲时梁横截面上的切应力——矩形截面梁两点假设：切应力平行于剪力。切应力沿横截面宽度均匀分布。LABFbhm1mnn1dx(+)(-)79m1mnn1研究方法：分离体平衡在梁上取微段m1mnn1MM+dMrp②在微段上取部分∵dx很小，可认为在rp面上均布。根据切应力的互等定理：m1n1rp80m1n1rp

(y)

－横截面上距中性轴y处的切应力

－y以外截面对中性轴z的静矩Iz

－整个横截面对中性轴z的惯性矩FS

－横截面上的剪力b－横截面上距中性轴y处的宽度平衡方程81切应力的方向由横截面上剪力的方向确定，二者方向相同。按切应力的正负号规则确定其正负。最大切应力横力弯曲梁矩形截面上各点切应力的计算公式82bhzyy矩形截面：C1矩形截面梁的弯曲切应力沿截面高度呈抛物线分布。83截面的上下边缘处中性轴处矩形截面的任一点处84工字形截面梁翼缘腹板腹板上的切应力呈抛物线变化腹板85当腹板宽度远小于翼缘宽度时，最大与最小切应力的差值甚小，腹板上的切应力可近似看成是均匀分布的；腹板所承担的剪力等于整个截面剪力的95~97%。工字形截面腹板上的弯曲切应力近似公式：计算误差会随着工字型截面各尺寸情况的不同而不同。86查型钢表得到。注意：对于轧制工字型钢最大弯曲切应力公式为87翼缘部分有竖向切应力和水平切应力，竖向切应力一般不予考虑。水平切应力也是次要的，强度计算时一般不考虑翼缘部分的切应力。翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向切应力形成“切应力流”。所有开口薄壁截面（如工字形、T形、槽形、角钢等）梁，其横截面上的弯曲切应力方向均符合形成“切应力流”这一规律。翼缘88圆形截面梁假设：(1)距离中性轴为y的AB弦上各点的切应力方向必汇交于A、B

处的切线PA、PB

的交点P上。

(2)

AB

弦上各点切应力沿y方向的分量相等。最大弯曲切应力发生在中性轴上89τ(y)－横截面上距中性轴y处的切应力FS－横截面上的剪力b－y处的宽度Iz－整个横截面对中性轴的惯性矩

－y以外截面对中性轴的静矩横力弯曲时梁横截面上的切应力90

－中性轴一侧截面对中性轴z的静矩FS－横截面上的剪力b－横截面在中性轴处的宽度A－截面面积矩形截面：K=3/2圆形截面：K=4/3工字形截面：K=1（近似）

圆环形薄壁截面：K=2K－截面系数Iz－整个横截面对中性轴的惯性矩横力弯曲时梁横截面上的最大弯曲切应力91例6-7

由三根相同的矩形截面梁胶合而成的悬臂梁，求胶合面上的切应力。横截面切应力：胶合面切应力：Fllbh’hhbh92二根相同的矩形截面梁由螺栓连接，求螺栓的受力。横截面切应力：中性层切应力：螺栓受力：hhbFl螺栓F

max螺栓93例6-8

承受集中荷载的矩形截面细长悬臂梁。求梁的最大弯曲正应力和最大弯曲切应力及二者的比值。解：梁的最大弯曲正应力和最大弯曲切应力分别发生在最大弯矩和最大剪力的截面上。sMFSt94梁的跨度远大于截面高度时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。对于细长梁，l/h>5，弯曲正应力是主要的。最大正应力发生在A截面的上、下边缘处最大弯曲切应力发生在各截面中性轴处95纯弯曲时梁的正应力计算公式细长梁横力弯曲时梁的正应力计算公式小结96横力弯曲时梁的切应力计算公式静力关系基本假设最大切应力公式97§6-1平面弯曲的概念§6-2平面弯曲梁的内力§6-3纯弯曲时梁横截面上的正应力§6-4横力弯曲时梁横截面上的应力§6-5梁的强度计算§6-6梁的合理强度设计§6-7弯曲中心的概念第6章平面弯曲杆件的应力与强度计算97梁的强度问题梁的破坏98重大事故99强度：由各点的受力判断杆件是否破坏，在哪点破坏。外力内力应力强度100问题的解决强度分析选定研究对象确定未知外力可能的危险截面危险点强度分析外力分析内力分析应力分析强度理论应力状态101可能的危险截面出现弯矩最大值或剪力最大值的横截面。剪力和弯矩虽然都不是最大值，但数值都比较大的横截面。根据截面的形状和尺寸以及材料的力学性能等方面综合考虑。可能的危险截面与危险点102正应力最大的点，点位于危险截面的上、下边缘。切应力最大的点，位于危险截面的中性轴。正应力和切应力均较大的点，位于截面上、下边缘与中性轴之间某个位置上。sssMFSttsMFStts三类危险点103弯曲正应力强度条件——单向应力状态ss不同的强度条件104等直梁截面对称于中性轴对塑性材料，弯曲许用正应力一般取为拉伸许用应力的1.2倍。105弯曲切应力强度条件——纯剪切应力状态等直梁t106第三类危险点的强度计算107需要考虑切应力的情况：弯矩较小而剪力较大的梁（如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁等）及薄壁截面梁。各向异性材料（如木材）某方向的抗剪能力较差，如顺纹受剪的木梁。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：对于实心截面细长梁，通常只需要按弯曲正应力强度条件。梁的弯曲强度计算108例6-9

钢制阶梯圆轴，AC及DB段的直径为100mm，CD段的直径为120mm。集中荷载FP＝20kN，轴材料的许用应力[σ]=65MPa，试校核该轴的强度。解：(1)分析危险截面求得其支座约束力作出弯矩图危险截面：E、C、D109(2)确定危险点截面C和D的上、下边缘点为危险点sM110(3)强度校核该轴满足强度条件111例6-10

铸铁制成的T形截面外伸梁。已知Iz=4636.4×104mm4,h1=64.7mm,h2=145.3mm，材料的许用拉应力和许用压应力分别为[σt]=40MPa和[σc]=120MPa。试求该梁的许可荷载[F]；若允许改动截面翼缘板宽b，求其最合理宽度。112解：(1)求许可荷载作出弯矩图113强度条件最大正应力114(2)求最合理翼缘板宽度最合理截面，应使危险截面上的最大拉应力和最大压应力分别达到各自的许用应力。最合理翼缘板宽度115例6-11

工字形截面钢梁，已知横截面尺寸B=220mm,h=800mm,d=22mm,b=10mm，梁横截面中性轴一侧截面对中性轴的静矩为Szmax=2790×10-6m3，翼缘面积对中性轴的静矩为Sz=1990×10-6m3，横截面对中性轴的惯性矩Iz=2062×10-6m4。已知梁的跨度l=4.2m，荷载FP=750kN，材料的许用应力[σ]=170MPa。试根据最大切应力理论对梁的强度作全面校核。116解：(1)分析危险截面作出剪力图和弯矩图危险截面：D的左右截面D-截面：117FPl/2l/2危险截面543211355432124危险点118(2)校核危险点点1,5点3点2,4该梁满足强度要求119选定研究对象外力分析确定未知外力可能的危险截面内力分析危险点应力分析强度分析应力状态强度理论弯矩最大或剪力最大；剪力和弯矩都比较大；考虑截面的形状、尺寸及材料。正应力最大的点（危险截面上下边缘）；切应力最大的点（危险截面中性轴）；正应力和切应力均较大的点。强度分析小结120121§6-1平面弯曲的概念§6-2平面弯曲梁的内力§6-3纯弯曲时梁横截面上的正应力§6-4横力弯曲时梁横截面上的应力§6-5梁的强度计算§6-6梁的合理强度设计§6-7弯曲中心的概念第6章平面弯曲杆件的应力与强度计算121设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件：梁的合理受力合理安排梁的加载方式。合理安排梁的约束。梁的合理截面形状用较小的面积获得较大弯曲截面系数。当截面面积一定时，将较多材料放置在远离中性轴的部位。122集中载荷尽量靠近支座，可以显著降低梁内的最大弯矩。但是荷载距支座太近时，支座附近的剪力将显著增大。1梁的合理受力123简支梁两端支座内移，可以显著降低梁内的最大弯矩。124简支梁两端支座内移，可以显著降低梁内的最大弯矩。门式起重机的大梁柱形容器125将集中荷载分散，可以显著降低梁内的最大弯矩。126将集中荷载分散，可以显著降低梁内的最大弯矩。在梁中设置辅助梁对大平板车采用密布的车轮127如何用起吊重量只有5吨的吊车吊起10吨的重物？128矩形截面梁，“竖放”比“平放”要合理。用较小的面积获得较大弯曲截面系数。2梁的合理截面形状129用较小的面积获得较大弯曲截面系数。槽钢、工字钢最佳，竖放矩形截面次之，实心圆形截面最差。130矩形截面当截面面积一定时，将较多材料放置在远离中性轴的部位。z实心圆截面工字形截面空心圆截面131选择梁截面形状还应考虑材料特性，使截面上下边缘处的最大正应力分别与材料的许用应力值接近。对于抗拉与抗压强度相同的材料梁(如低碳钢梁)，宜采用对称于中性轴的截面，例如工字形、矩形等截面。对于抗拉强度低