材料力学课件：扭转杆件的强度与刚度计算

1§5–1扭转杆件的内力·扭矩图§5–2扭转圆轴的应力·强度计算§5–3扭转圆轴的变形·刚度计算§5–4扭转超静定问题§5–5*非圆截面杆的自由扭转问题

扭转杆件的强度与刚度计算2Me主动力偶阻抗力偶汽轮机发电机发电机汽轮机5-1-1扭转的工程实例螺钉旋具电机转轴3传动轴MeA方向盘转轴汽车传动轴45-1-2扭转的概念主要发生扭转变形的杆——轴受力特点：杆两端作用两个大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶。变形特点：杆件任意两个横截面绕轴线相对转动。55-1-3圆轴扭转内力计算外力偶矩计算已知：传动轴输出功率为kW，轴的转速为n(r/min)求：外力偶矩Me？

6传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s7扭矩和扭矩图截面法求扭转杆件的内力取左段为研究对象：取右段为研究对象：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作。8扭矩和扭矩图扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，的转向与截面外法线方向一致为正，反之为负。9扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图形。x

扭矩图的简易作法：①扭矩与横截面一一对应，控制点标明数值；②外力偶作用截面处扭矩突变；③确定出危险截面位置及其最大扭矩

强度计算。10[例5-1]已知：某齿轮传动轴，n=200r/min，主动轮A输入PA=24kW，从动轮输出PB=10kW，PC=14kW，试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩11②求扭矩（扭矩按正方向设）AC段为危险截面。③绘制扭矩图12[练习1]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮A输入PA=36kW，从动轮输出PB=PC=11kW，PD=14kW，试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩13②求扭矩（扭矩按正方向设）应否更换A轮和C轮位置？AC段为危险截面。③绘制扭矩图14§5–1扭转杆件的内力·扭矩图§5–2扭转圆轴的应力·强度计算§5–3扭转圆轴的变形·刚度计算§5–4扭转超静定问题§5–5非圆截面杆的自由扭转问题第5章扭转杆件的强度与刚度计算15

－圆周线相对转动，但无变形；－横截面间距不变；－纵向线倾斜相同角度仍平行。扭转变形分析̶实验观察假设-

－横截面仍保持为平面，仅绕杆轴相对刚性转动；－轴向无伸缩。

结论

－横截面上只有切应力；－横截面上任一点切应力必垂直所在半径线。

平面假设dxdx5-2-1扭转圆轴横截面上的应力分析16

等直圆轴横截面上的应力①变形几何关系②物理关系③静力关系

分布未知

超静定问题。171.变形几何关系横截面上任一点处的

与该点至截面中心的距离

成正比。——单位长度的扭转角

等直圆轴横截面上的应力（续）182.物理关系

剪切虎克定律-若在弹性范围内加载，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比。对各向同性材料三个材料常数的关系G

－切变模量，192.物理关系（续）→应力变形关系实心截面扭转切应力分布

－正比于ρ;

－垂直于半径；－与扭矩同向203.静力关系令极惯性矩，mm4－圆轴扭转切应力公式扭转刚度21最大扭转切应力－圆轴扭转最大切应力公式

扭转截面系数，几何量，mm3或m3实心截面22圆轴扭转切应力公式小结讨论－仅适用圆轴扭转，实心、空心皆可－材料在线弹性范围内，－当外力偶不能保持轴两端面平面且只产生刚性转动时，由圣维南原理，离端部稍远处公式成立。23

对于实心圆截面：实心圆截面5-2-2圆截面的极惯性矩和扭转截面系数OdrrD24

对于空心圆截面：空心圆截面DdOdrr25空心、实心轴的应力分布比较TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，结构轻便。26A0：平均半径所作圆的面积。薄壁圆管－

按空心圆轴计算切应力沿壁厚均匀分布精确分析表明，按上式计算薄壁圆管扭转切应力，其

最大误差不超过4.7%。5-2-3薄壁圆管的扭转切应力27

单元体（纯剪切应力状态）－各侧面均无正应力－左右截面只有切应力acddxb

dy´´dzz

纯剪切应力状态5-2-4切应力互等定理及纯剪切的概念28

在单元体相互垂直的两个平面上，－切应力必然成对出现，－且数值相等，－两者都垂直于两平面的交线，－其方向则共同指向或背离该交线。切应力互等定理acddxb

dy´´dzz

纯剪切应力状态可证明，切应力互等定理对非纯剪切应力状态同样成立。295-2扭转圆轴的强度计算强度条件：等截面圆轴：([

]

许用切应力)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：塑性材料:脆性材料:30[例5-2]功率为150kW，转速为924r/min的电动机转子轴如图，许用切应力[

]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩作扭矩图②校核切应力强度此轴满足强度要求。xD1

=135D2=75D3=70ABCmm31[例5-3]实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连接。传递的最大扭矩为Me=1.5kNm，

=0.8，许用切应力[

]=60MPa，两轴长度相同。（1）确定d1，d2和D；（2）比较两轴的重量。解：（1）确定直径对实心轴，取d1=50mm。32（2）比较重量载荷、强度相同

空心轴重量轻、用料省，更合理。从强度的观点

空心轴比实心轴更合理。对空心轴，取D2=60mm，则d2=aD2=48mm。33§5–1扭转杆件的内力·扭矩图§5–2扭转圆轴的应力·强度计算§5–3扭转圆轴的变形·刚度计算§5–4扭转超静定问题§5–5非圆截面杆的自由扭转问题第5章扭转杆件的强度与刚度计算34扭转变形对T为常量，长l的等直截面轴单位rad，正负号同扭矩。－圆轴扭转的变形计算公式GIp－扭转刚度。5-3-1等直圆轴在扭转时的变形35常扭矩、等直截面－仅适用圆轴扭转，实心、空心皆可－材料在线弹性范围内，－当外力偶不能保持轴两端面平面且只产生刚性转动时，由圣维南原理，离端部稍远处公式成立。讨论变扭矩或非等直截面轴分段常扭矩等直轴36[例5-4]水平阶梯圆轴，D1=30mm,D2=60mm,d=44mm。材料的切变模量G=77GPa。试求:(1)实心轴的最大切应力和空心轴的最大、最小切应力；(2)。解：(1)作扭矩图37(2)计算各段的IP和WPAB段和BC段CD段38(3)计算应力实心段空心段CD段AB段39(4)计算变形各段叠加小变形40单位长度扭转角

圆轴扭转刚度条件或[

]---许用单位扭转角。等直圆轴扭转刚度条件5-3-2扭转圆轴的刚度计算41扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：42[例5-5]图示圆截面阶梯轴，d1=40mm,d2=70mm。轴匀速转动，n=200r/min，轮3输入功率P3=3kW,轮1输出功率P1=13kW。材料的切变模量G=80GPa，[

]=2º/m。试校核该轴的刚度。43解：各轮上的外力偶矩为扭矩图如图。ADBCAD是可能危险截面。44AD是可能危险截面。ADBCAD段极惯性矩由圆轴扭转的刚度条件：该轴满足刚度要求。45[例5-6]某机床如图，动力传动由轴541、2、3。已知n4=183.5r/min，PII=0.756kW,PIV=2.98kW,G=80GPa,[

]=40MPa,[

]=1.5(◦/m)。试按扭转的强度条件及刚度条件设计轴4的直径D。（1）计算外力偶矩力学计算简图1

46III-IV段为危险截面。②截面设计扭转强度条件47扭转刚度条件综上，选48弯扭组合变形讨论:轴4的完整设计－按扭转初估轴直径－按弯扭组合设计直径交变应力问题－疲劳破坏（突发性）力学计算简图49§5–1扭转杆件的内力·扭矩图§5–2扭转圆轴的应力·强度计算§5–3扭转圆轴的变形·刚度计算§5–4扭转超静定问题§5–5非圆截面杆的自由扭转问题第5章扭转杆件的强度与刚度计算50

解决超静定问题的基本步骤静力学关系几何关系-变形协调方程补充方程←几何方程+物理方程物理关系联立求解由静力学关系和补充方程组成的方程组①②③④⑤§5–4圆杆的扭转超静定问题51[例5-7]如图示，阶梯圆轴在C处受外力偶矩Me的作用。已知

D1=70mm，D2=50mm，[

]=60MPa。试求该轴所允许承受的最大外力偶矩[Me]。解：(1)求固定端的约束力偶矩。圆轴受力如图。

一次超静定问题。①平衡方程52②几何方程——变形协调方程③

物理方程⑤由平衡方程和补充方程④

补充方程53(2)强度计算AC段:作圆轴扭矩图如图示。由强度条件,ABCBC段:54[例5-8]长为L=2m

的圆杆受均布力偶m=20N

m/m

的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，外径

D=0.0226m，G=80GPa，试求固端反力偶。解：①杆受力图如图，

一次超静定问题。

平衡方程55②几何方程——变形协调方程③

代入物理方程得补充方程④由平衡方程和补充方程

此题亦可由对称性直接求得结果。56

解决超静定问题的基本步骤静力学关系几何关系-变形协调方程补充方程←几何方程+物理方程物理关系联立求解由静力学关系和补充方程组成的方程组①②③④⑤57§5–1扭转杆件的内力·扭矩图§5–2扭转圆轴的应力·强度计算§5–3扭转圆轴的变形·刚度计算§5–4扭转超静定问题§5–5非圆截面杆的自由扭转问题第5章扭转杆件的强度与刚度计算58§5–5非圆截面杆自由扭转简介非圆截面杆扭转的翘曲－横截面不再保持平面平面假设不成立

圆轴扭转公式不再适用59非圆截面杆扭转自由扭转约束扭转非圆截面杆自由扭转－各横截面的翘曲程度相同－横截面上只有切应力而无正应力非圆截面杆约束扭转－各横截面的翘曲程度不同－横截面上既有切应力，又有正应力薄壁截面杆约束扭转，横截面上正应力较大，不可忽略。60矩形截面杆自由扭转横截面上的应力分布特点平面假设不再成立（弹性力学）（1）截面边缘各点切应力形成与边界相切的应力流；（2