材料力学（第2版）课件：杆件的变形分析

杆件的变形分析杆件的变形分析(A)DeformationPARTA杆件的变形分析（A）Deformation（PARTA）4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形4.2圆截面轴扭转时的变形4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形杆件承受轴向载荷，轴向和横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形或纵向变形；垂直于轴线方向的变形称为横向变形。纵向变形纵向应变当杆横截面上的应力不超过比例极限时EA：拉(压)刚度4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形横向变形横向应变

通过试验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的纵向应变和横向应变存在如下的比例关系泊松比各向同性材料：4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形只适用于杆件均匀变形只适用弹性范围只适用等直杆

若杆件横截面沿轴线缓慢变化，轴力沿轴线变化，作用线仍与轴线重合。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形直杆系一般杆件4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形西蒙•泊松Simeon-DenisPoisson法国数学家、几何学家和物理学家无神论者在固体力学中，泊松以材料的横向变形系数，即泊松比而知名。他在1829年发表的《弹性体平衡和运动研究报告》一文中，用分子间相互作用的理论导出弹性体的运动方程，发现在弹性介质中可以传播纵波和横波，并且从理论上推演出各向同性弹性杆在受到纵向拉伸时，横向收缩应变与纵向伸长应变之比是一常数，其值为四分之一。但这一数值和实验有差距，如1848年G.维尔泰姆根据实验就认为这个值应是三分之一。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形负泊松比材料通常认为,几乎所有的材料泊松比值都为正,约为1/3,橡胶类材料为1/2,金属铝为0.33,铜为0.27,典型的聚合物泡沫为0.11～0.14等,即这些材料在拉伸时材料的横向发生收缩。而负泊松比NegativePoisson’sRatio)效应,是指受拉伸时,材料在弹性范围内横向发生膨胀;而受压缩时,材料的横向反而发生收缩。

1987年,PoderickLakes把110×38×38mm的普通聚氨酯泡沫放入75×25×25mm的铝制模具中,进行三维压缩后再对其进行加热、冷却和松弛处理,得到的泡孔单元呈内凹(re-entrant)结构，首次通过对普通聚合物泡沫的处理得到具有特殊微观结构的负泊松比材料,并测得其泊松比值为-0.17。自此,这一领域内的研究开始蓬勃发展起来。文献检索:负泊松比材料的应用前景和价值？4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形例题4.1阶梯形直杆受力如图所示，杆各段的横截面面积分别A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，杆各段的长度如图，弹性模量E=200GPa。求杆的总伸长量。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形总伸长：4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形例题4.2

如图所示杆系结构，已知杆BD为圆截面钢杆，直径d=20mm，长度l=1m，E=200GPa；杆BC为方截面木杆，边长a=100mm，E=12GPa。载荷F=50kN。求点B的位移。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形

通过节点B的受力分析可以判断AB杆受拉而BC杆受压，AB杆将伸长，而BC杆将缩短。

因此，节点B变形后将位于B0点

由于材料力学中的小变形假设，可以近似用B1和B2处的圆弧的切线来代替圆弧，得到交点B3

故点B的位移近似等于BB3的距离。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形(1)计算轴力(2)计算变形4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形(2)计算点B的位移点B的位移4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形【讨论】(1)杆件变形是杆件在载荷作用下其形状和尺寸的变化，结构节点的位移指结构在载荷作用下某个节点空间位置的改变。(2)图解法求结构位移，“以切线代弧线”是以小变形假设为前提的。(3)求解结构位移的步骤:受力分析，求轴力；应用胡克定律求各杆变形；用“以切线代弧线”方法找出节点变形后的位置。4.1直杆轴向拉伸或压缩时的变形【课堂讨论】试计算以下刚性梁AB的B处位移。其它杆件为弹性杆，刚度EA。（讨论计算思路）4.2圆截面轴扭转时的变形4.2圆截面轴扭转时的变形圆轴扭转变形计算公式相距l

的两截面之间的扭转角适用于等截面轴

相对扭转角若在长l的两横截面之间T为常量，则对于截面变化不大的圆锥截面轴同种材料阶梯轴扭转时:4.2圆截面轴扭转时的变形取单位长度扭转角

用来表示扭转变形的大小单位长度扭转角的单位:rad/m抗扭刚度越大，单位长度扭转角越小转换为(°/m)4.2圆截面轴扭转时的变形例题4.3如图所示受扭圆轴，已知：Me1=1400N·m，Me2=600N·m，Me3=800N·m，d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。4.2圆截面轴扭转时的变形1）根据题意，首先画出扭矩图2）AB段单位长度扭转角：3）BC段单位长度扭转角：综合两段，最大单位扭转角应在BC段为0.03978rad/m4.2圆截面轴扭转时的变形例题4.4

如图所示钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC段受均匀分布的扭力矩m的作用。已知使其转动的外力偶矩Me=120N·m，材料的切变模量G=80GPa，求钻杆两端的相对扭转角。4.2圆截面轴扭转时的变形解(1)求各段扭矩由截面法，BC任一截面上的扭矩(2)求相对扭转角AB段

任一截面上的扭矩4.2圆截面轴扭转时的变形代入数据杆件的变形分析(B)DeformationPARTB杆件的变形分析（B）Deformation（PARTB）4.3挠曲线近似微分方程4.4用积分法计算梁的变形4.5用叠加法计算梁的变形

梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。4.3挠曲线近似微分方程4.3挠曲线近似微分方程取变形前的梁轴线为轴x，垂直向上的轴为轴y平面xy为梁的纵向对称面

对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为平面xy内的一条曲线，称为挠曲线。横截面形心在y方向的位移挠度(deflection)

w横截面对其原来位置转过的角度

转角(slope)q4.3挠曲线近似微分方程规定挠度w向上为正，转角q逆时针为正。挠曲线方程截面转角

q

就是轴

y

与挠曲线法线的夹角，小变形条件下转角方程4.3挠曲线近似微分方程弯矩与曲率的关系：平面曲线的曲率数学计算：4.3挠曲线近似微分方程小变形条件下，挠曲线近似微分方程4.4用积分法计算梁的变形4.4用积分法计算梁的变形梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分,可得到转角方程再进行一次积分,可得到挠曲线方程C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其值。4.4用积分法计算梁的变形边界条件

根据约束的性质，确定约束处的挠度，转角4.4用积分法计算梁的变形连续条件

在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等(挠曲线是光滑连续曲线)。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。4.4用积分法计算梁的变形

弯曲刚度为EI的简支梁如图所示，在截面C处受一集中力F作用。求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度。4.4用积分法计算梁的变形（1）求约束反力FAFB（2）列出弯矩方程AC段CB段（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算4.4用积分法计算梁的变形（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算AC段CB段FAFB4.4用积分法计算梁的变形FAFB利用边界条件和连续条件确定四个积分常数AC段CB段边界条件:连续条件:代入以上各式

求得积分常数4.4用积分法计算梁的变形FAFBAC段CB段求最大挠度最大挠度位于此时代入得4.4用积分法计算梁的变形讨论FAFB(1)在CB段内积分时，对含有(x2－a)的项不展开，以(x2－a)为自变量进行积分，可使确定积分常数的工作得到简化。(2)结果为负，表示挠度方向向下。4.4用积分法计算梁的变形FAFB(3)跨中挠度若若集中力作用于跨中，则若取极端情形，力

F

接近于右端支座b0w0此时而跨中挠度若用跨度中点挠度代替最大挠度，引起的误差仅为2.6%

4.5用叠加法计算梁的变形4.5用叠加法计算梁的变形

在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。

在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁在各种典型的简单载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，称为挠度表。实际工程计算中，往往只需要计算梁在几个载荷作用下的最大挠度和最大转角，或某些特殊截面的挠度和转角，此时用叠加法较为简便。4.5用叠加法计算梁的变形

如图所示起重机大梁的自重为均布载荷，集度为q，集中力F=ql

作用于梁的跨度中点C。已知弯曲刚度EI，求跨度中点C的挠度。4.5用叠加法计算梁的变形=+=+4.5用叠加法计算梁的变形

类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。

一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法）。4.5用叠加法计算梁的变形例题4.5

如图所示外伸梁，其外伸端受集中力F的作用，已知梁弯曲刚度EI，求外伸端C的挠度和转角。4.5用叠加法计算梁的变形分析

在载荷F作用下，全梁均产生弯曲变形。变形在截面C引起的转角和挠度，不仅与BC段的变形有关，而且与AB段的变形也有关。因此，可先将AB段“刚化”（假设其不变形），求出截面C相对截面B的挠度和转角；再求AB段变形引起的截面C的牵连位移（此时，BC段被“刚化”）。4.5用叠加法计算梁的变形(1)只考虑BC段变形刚化ABBC段视为悬臂梁(2)只考虑AB段变形刚化BC段将力F向点B简化为一个力和一个力偶只需讨论力偶M对梁AB的作用4.5用叠加法计算梁的变形(3)叠加法计算截面C

转角和挠度4.5用叠加法计算梁的变形讨论(1)局部刚化的思想就是分段研究梁的变形（以便直接利用挠度表结果），将其余部分暂时看成刚体，最后再叠加，这种方法可以解决比较复杂的变形问题。(2)在小变形的条件下因此才有4.5用叠加法计算梁的变形

变截面梁如图所示，已知AE段和DB段的弯曲刚度为EI，ED段的弯曲刚度为2EI，求跨度中点C

的挠