（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第02讲 解三角形（原卷版）

第第页第02讲解三角形一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形边化角：a＝2RsinAb＝2RsinBc＝2RsinC角化边：sinA＝eq\f(a,2R)sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCeq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)二．三角形常用面积公式1.S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．2.S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsin_B＝eq\f(1,2)bcsin_A．3.S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．三．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解四．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．五．盘点易错易混1．利用正弦定理进行边角互换时，齐次才能约去2R2.三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．3．判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．一．正、余弦定理的选用1.正弦定理：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；2.余弦定理：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．二．求解三角形面积问题1.若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．2.若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；4.代数式变形或者三角恒等变换前置；5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.考法一常见的边角互换模型【例1-1】在中，内角的对边分别为，且满足，若，则外接圆的半径长为（

）A．B．1C．D．【例1-2】已知的内角的对边分别为，设，，则（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（

）A．B．C．D．2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则c＝（

）A．4B．6C．D．3．（多选）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（

）A．B．C．D．考法二三角形的周长与面积【例2-1】在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.【例2-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角B；(2)若c＝3a，D为AC中点，，求的周长．【一隅三反】1．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，C为钝角，且.(1)求角B的大小；(2)若的面积为6，求的周长.考法三三角形的中线与角平分线【例3-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【例3-2】已知为的内角所对的边，向量,，且．(1)求；(2)若，的面积为，且，求线段的长．【一隅三反】1.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.(1)求角C的大小；(2)若的平分线交AB于点D，且，，求的面积.2.设的内角所对的边分别为，且．(1)求角A的大小；(2)若，边上的中线，求的面积．考法四三角形中的取值范围【例4-1】在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（

）A．B．C．D．【例4-2】在中，，则的最小值（

）A．-4B．C．2D．【例4-3】已知在中，角，，的对边分别是，，，面积为，且_____．在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并根据这个条件解决下面的问题．(1)求；(2)若，点是边的中点，求线段长的取值范围．【一隅三反】1.在中，角、、所对的边分别为、、，，的平分线交于，若，则的最小值为____.2.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.(1)求角C的大小；(2)若，求的周长的取值范围.3.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．(1)求的外接圆半径R；(2)求内切圆半径r的取值范围．考法五三角形解的个数【例5】由下列条件解，其中有两解的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【一隅三反】1.中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（

）A．B．C．D．2.在下列关于的四个条件中选择一个，能够使角被唯一确定的是：（

）①；②；③；④.A．①②B．②③C．②④D．②③④考法六正余弦定理在几何中应用【例6-1】如图，在中，，点在边上，．(1)求的长；(2)若的面积为，求的长．【例6-2】如图，平面四边形中，对角线与相交于点，，，，.

(1)求的面积；(2)求的值及的长度.【一隅三反】1．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，，.

(1)求；(2)求的面积.2.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．(1)当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记与的面积分别为和，请求出的最大值．平面向量与解三角形章节测试一、单选题1．在中，若，则一定是（

）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形2．在中，，，分别为角，，的对边，已知，，且，则（

）A．B．C．D．3．已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（

）A．B．C．2D．44．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积是（

）A．B．C．D．二、多选题5．在△ABC中，已知a＝2b，且，则（

）A．a，c，b成等比数列B．C．若a＝4，则D．A，B，C成等差数列6．在锐角中，角所对的边为，若，且，则的可能取值为（

）A．B．2C．D．三、填空题7．在中，，D为BC边上一点，且，则的最小值为.8．在中，角的对边分别为，，，若有最大值，则实数的取值范围是.四、解答题9．已知的三个内角分别为、、，其对边分别为、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面积的最大值．10．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为边上一点，满足，，且______．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角；(2)求的取值范围．11．在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，，点，分别在边，上，且将分成面积相等的两部分，求的最小值.12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的取值范围．解三角形随堂检测1．中，是角的对边，，则此三角形有（

）A．一个解B．2个解C．无解D．解的个数不确定2.在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．3.设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（

）A． B． C． D．4.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为（

）A．B．C．D．5.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得