（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第07讲 圆锥曲线中的定点、定直线问题（教师版）

第页第07讲圆锥曲线中的定点、定直线问题考点一、椭圆中的定点、定直线问题【例1】已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【答案】(1)；(2)证明见详解【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，联立方程，消去y得：，则，解得，可得，因为，则直线，令，解得，即,同理可得，则，所以线段的中点是定点.

【变式1】已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.(1)求的标准方程；(2)直线，且交于点，，直线与交于点.证明：①直线与的斜率乘积为定值；②点在定直线上.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）设为，根据，解得；点在曲线上，可得，解得，，即可得出椭圆的标准方程．（2）①设，，直线方程为，，联立直线与椭圆方程，消去得，，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出为定值．②直线方程为，直线的方程为，联立直线与直线方程，，化简结合根与系数的关系可得为定值．【详解】（1）设为，，则，即，又点在曲线上，∴，将代入，整理得，，解得，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设，，直线方程为：，，联立直线与椭圆方程，消去得，当，即且时，，，∴，，∴.②直线方程为：，即，直线的方程为，即，联立直线与直线方程得，∴，，∴.∴，即点在定直线上.

【变式2】已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）设椭圆的半焦距为，再分圆在椭圆的内部和外部两种情况分别求解即可；（2）由题意椭圆的方程为，再设，得出切线的方程，将代入可得的坐标都满足方程即可得定点.【详解】（1）设椭圆的半焦距为．当圆在椭圆的内部时，，椭圆的方程为．当圆在椭圆的外部时，，椭圆的方程为．（2）证明：设．因为椭圆的短轴长小于4，所以的方程为．则由已知可得，切线的方程为的方程为，将代入的方程整理可得，．显然的坐标都满足方程，故直线的方程为，令，可得，即直线过定点．考点二、双曲线中的定点、定直线问题【例1】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.考点三、抛物线中的定点、定直线问题【例1】过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.【答案】(1)；(2)证明见解析，【分析】（1）设直线，联立方程组求得，利用弦长公式，分别求得，得到，结合基本不等式，即可求解；（2）由和共线，得到，，又由和共线，得到和，进而得到，即可求解.【详解】（1）解：设，设直线，联立方程组，整理得，可得，所以，同理可得，所以，当且仅当时取等号，所以，所以抛物线的方程为.（2）解：当为时，，由共线，可得，可得

①，同理由共线

②又由共线，可得，所以

③同理由共线，可得

④由①③得，即

⑤又由②④得，即

⑥由⑤⑥得，即，即，所以在上.

【变式1】设抛物线：（）的焦点为，点的坐标为.已知点是抛物线上的动点，的最小值为4.(1)求抛物线的方程：(2)若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据两点与抛物线的位置分类讨论最值，由最小值为，求解；（2）由三点都在抛物线上，设，，.结合直线求解的同理性，求出直线方程，再由，分别在直线，上，代入方程消去可得，代入方程化简可得定点.【详解】（1）若和在抛物线的同侧，则，解得.设点在准线上的射影为，于是.过作与准线垂直，垂足为，故，当且仅当，，三点共线时取等号，由此得，符合题意.

若和在抛物线的异侧或在抛物线上，则.由，当且仅当，，三点共线（或与重合）时取等号，得到（舍去）.综上所述，抛物线的方程为.

（2）设，，.直线的斜率，则其方程为.同理可得直线的方程为，直线的方程为.将，分别代入直线，的方程可得，消去可得，代入直线的方程，化简得，故直线过定点.

【能力提升】1.已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.(1)求双曲线的方程.(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)直线过定点【分析】（1）利用点到直线的距离公式，的关系和离心率即可求解.（2）由题知直线的斜率存在且不为，设直线：，与的方程联立，可得，因为，用代替，同理解得，进而表示出直线的方程，即可得解.【详解】（1）由题意，取渐近线，右顶点到该渐近线的距离，又，，解得，，，的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在且不为，设直线：，与的方程联立，消去得，易知，由韦达定理得，则.因为，所以，用代替（显然此时），同理得，得，直线：，过定点.当时，直线的斜率不存在，易知直线的方程为，过左焦点.综上，直线过定点.

2.已知点，在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；（2）设出方程，结合韦达定理和是中点的条件，找到直线中两个参数的关系，从而求出定点.【详解】（1）由题知，又椭圆经过，代入可得，解得，故椭圆的方程为：（2）由题意知，当轴时，不符合题意，故的斜率存在，设的方程为，联立消去得，则，即设，，，的方程为，令得，的方程为，令得，由是中点，得，即，即，即，即，所以，得或，当，此时由，得，符合题意；当，此时直线经过点，与题意不符，舍去.所以的方程为，即，所以过定点.3.已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题知，解方程即可得，，故椭圆的方程是.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线，的交点的坐标是.当直线斜率存在时，设直线方程为，，，进而联立方程结合韦达定理得，，直线的方程是，直线的方程是，进而计算得时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为，椭圆离心率为，所以，解得，.所以椭圆的方程是.（2）①若直线的斜率不存在时，如图，因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.所以点的坐标是，点的坐标是.所以直线的方程是，直线的方程是.所以直线，的交点的坐标是.所以点在直线上.②若直线的斜率存在时，如图.设斜率为.所以直线的方程为.联立方程组消去，整理得.显然.不妨设，，所以，.所以直线的方程是.令，得.直线的方程是.令，得.所以分子..所以点在直线上.4.已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据直线的点斜式方程写出直线方程，与抛物线联立方程，利用弦长公式，求出的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设直线方程为或，与抛物线联立方程，由韦达定理得出，，求出直线方程和直线方程，求出交点的横坐标，然后进行化简，可以证明结论.【详解】（1）当的斜率为时，得方程为，由,消元得，，，；由弦长公式得，即，解得或（舍去），满足，从而的标准方程为.（2）法一：因为l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在设直线的方程为，设，由，消去得，则.设直线的方程为，同理，消去得可得．直线方程为，即，化简得，同理，直线方程为，因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．由消去，因为直线与相交，所以，解得所以点的横坐标为2，即直线与的交点在定直线上．法二：设直线方程为，由消去得，设，则．设直线的方程为，同理可得．直线方程为，即，化简得，同理，直线方程为，．因为在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证的横坐标为定值即可．由消去，因为直线与相交，所以，解得，圆锥曲线中的定点、定直线问题课后练习1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【答案】(1)；(2)【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.（2），所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点2.已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在；【分析】（1）先根据直线是抛物线的一条切线，求出的值，再由椭圆离心率为，求出的值，则椭圆方程可得．（2）先假设存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点，再用垂直时，向量，的数量积为0，得到关于直线斜率的方程，求，若能求出，则存在，若求不出，则不存在．【详解】（1）由得直线是抛物线的一条切线．所以，所以椭圆（2）当直线与轴平行时，以为直径的圆方程为当直线与轴重合时，以为直径的圆方程为所以两圆的交点为点猜想：所求的点为点．证明如下．当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点当直线与轴不垂直时，可设直线为：由得，设，则则所以，即以为直径的圆过点所以存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点．3.已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点为.【分析】（1）由点到直线的距离公式求出，再将点代入双曲线方程求出，可得双曲线的标准方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得、，再根据斜率和为列式，推出，从而可得直线过定点.【详解】（1）设到渐近线，即的距离为，则，结合得，又在双曲线上，所以，得，所以双曲线的标准方程为.（2）联立，消去并整理得，则，，即，设，，则，，则，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因为直线不过，即，，所以，即，所以直线，即过定点.

4.已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）当直线的斜率为时，写出直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，结合可求出的值，即可得出抛物线的标准方程；（2）分析可知直线、都不与轴重合，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，设、，由韦达定理可得，同理可得出，写出直线、的方程，求出这两条直线的交点的横坐标，即可证得结论成立.【详解】（1）解：当直线的斜率为时，直线的方程为，设点、，联立可得，，因为，可得，由韦达定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，抛物线的方程为.（2）证明：当直线与轴重合时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，同理可知直线也不与轴重合，设直线的方程为，联立可得，则可得，设点、，由韦达定理可得，设直线的方程为，设点、，同理可得，直线的方程为，即，化简可得，同理可知，直线的方程为，因为点在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，

交点必在垂直于轴的直线上，所以只需证明点的横坐标为定值即可，由，消去，因为直线与相交，则，解得，所以，点的横坐标为，因此，直线与的交点必在定直线上.圆锥曲线中的定点、定直线问题随堂检测1.已知抛物线：过点．(1)求抛物线的方程；(2)，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，证明：直线恒过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）将代入抛物线方程求解即可；（2）设：，再联立抛物线方程，设，，再根据直线的斜率与直线的斜率之和为4，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）坐标代入抛物线方程得，解得，∴抛物线方程为．（2）证明：显然直线斜率不为0，故可设：，将的方程与联立得，设，，则，，所以，，同理：，由题意：，∴，∴，即，代入直线得，故直线恒过定点．

2.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解.（2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：

由椭圆方程可得：，，，，椭圆方程为：（2）[方法一]：设而求点法证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点．当时，直线：，直线过点．故直线CD过定点．[方法二]【最优解】：数形结合设，则直线的方程为，即．同理，可求直线的方程为．则经过直线和直线的方程可写为．可化为．④易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直线，则表示直线．令，得，即直线恒过点．3.已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．【答案】(1)；(2)证明见解析，定直线为【分析】（1）设，，依题意可得，进而结合可得，从而求解；（2）设直线的方程为：，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理可得，，结合三点共线可得，，进而得到，进而得到直线OP的方程，进而联立直线OP与直线的方程即可求解.【详解】（1）设，，所以，即，由题意知，所以，所以，则椭圆的标准方程为．（2）证明：设直线的方程为：，联立椭圆的方程，得，所以，则，由根与系数的关