2024-2025学年广西南宁桂鼎学校高三（上）段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁桂鼎学校高三（上）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知{1,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是(

)A.7 B.8 C.9 D.102.复数z=4+ii在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若正实数x，y.且x+2y=1，则2y+3xA.2 B.3+22 C.5+24.已知角α的终边过点(3,−4)，则sin2α的值为(

)A.725 B.2425 C.−75.已知a=log30.2，b=30.2，A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a6.已知向量a，b满足，|a|=1，|b|=3，|2aA.33 B.32 C.7.已知函数f(x)=x2+(4a−3)x+3a,x>0loga(1−x),x≤0(a>0且a≠1)A.[13,34] B.(0,8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2A.−π6 B.π6 C.−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.ω=2

B.φ=π3

C.x=−π6是曲线y=f(x)的一条对称轴

D.10.已知椭圆C：x225+y29=1，(

)A.椭圆离心率为925

B.|PF1|+|PF2|=10

C.若∠F111.下列选项正确的是(

)A.若样本数据x1，x2，⋯，x20的方差为1，那么数据3x1−5，3x2−5，⋯，3x20−5的方差为−2

B.经验回归方程为y=0.1x+a时，y与x正相关

C.若随机变量X服从两点分布，那么D(X)最大值是14

D.数据1，2，3，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知tanθ=2，则sinθ−3cosθ2sinθ+3cosθ=______．13.已知数列{an}满足an=1+an−114.已知展开式(x2−1x)n四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的首项为a1=13，且满足an+1+2an+1an−an=0．

16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+C2=bsinA．

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=317.(本小题15分)

中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：男女合计了解20不了解2040合计(1)将列联表补充完整；

(2)根据α=0.05的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？

(3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

附：χ2=n(ad−bcP(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82818.(本小题17分)

在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=PB=2，点E是棱PC上一动点．

(1)求证：平面PAC⊥平面BDE；

(2)当E为PC中点时，求点A到平面BDE的距离．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(1+a)x+xlnx，a∈R．

(Ⅰ)当a=−2时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；

(Ⅱ)当a=1时，求f(x)的极值；

(Ⅲ)若f(x)≤ex−a+x2恒成立，求参考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.B

6.A

7.C

8.A

9.AD

10.BCD

11.BC

12.−113.1314.−10

15.解：(1)由数列{an}的首项为a1=13，且满足an+1+2an+1an−an=0，

得an≠0，则an−an+1=2anan+1，

两边同时除以a16.解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA，

因为sinA≠0，所以sinA+C2=sinB，

由A+B+C=180°，可得sinA+C2=cosB2，

故cosB2=2sinB2cosB2，

因为cosB2≠0，故sinB2=12，因此B=60°．

(2)由正弦定理2R=asinA=csinC=bsinB17.解：(1)由题可得，列联表如下：男女合计了解402060不了解202040合计6040100(2)零假设为H0：该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联，

则χ2=100(40×20−20×20)260×40×40×60=259≈2.778<3.841，

根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，

因此可以认为H0成立，即认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别无关联；

(3)由题意，从了解该活动的学生中随机抽取1人，则抽到女生的概率为2060=13，

所以X～B(3,13X0123P8421则E(X)=np=3×1318.(1)证明：因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又因为BD⊂平面BDE，

所以平面PAC⊥平面BDE；

(2)解：以A为原点，建立如图所示的空间坐标系：

因为PA=AB=2，E为PC中点，

所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(1,1,1)，P(0,0,2)，

所以BD=(−2,2,0)，BE=(−1,1,1)，AB=(2,0,0)，

设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BD=−2x+2y=0n⋅BE=−x+y+z=0，

取y=1，则n=(1,1,0)，

设点19.解：(Ⅰ)当a=−2时，f(x)=xlnx−x，f′(x)=lnx，f′(e)=1，f(e)=0，

故曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=x−e．

(Ⅱ)当a=1时，f(x)=2x+xlnx(x>0)，则f′(x)=3+lnx，

令f′(x)<0，得0<x<e−3，令f′(x)>0，得x>e−3，

所以f(x)在(0,e−3)上单调递减，在(e−3,+∞)上单调递增，

所以f(x)极小值=f(e−3)=−e−3，无极大值．

(Ⅲ)令g(x)=ex−a−(1+a)x−xlnx+x2，

由g(1)≥0，得e1−a−(1+a)+1=e1−a−a≥0，

令q(a)=e1−a−a