2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷（含答案）VIP

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|y=x−1}，N=(−∞,2]，则M∩N=A.[1,+∞) B.[1,2] C.R D.⌀2.已知函数f(x)=|x|−1,x≤13x,x>1，则A.0 B.1 C.3 D.93.若函数f(x+1)=x2−1，则f(x)=A.x2+2x B.x2−1 C.4.已知a=0.12，b=log22，c=20.1，则a，A.c>a>b B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1−x).则当x<0时，f(x)=(

)A.x(1+x) B.x(1−x) C.x(x−1) D.−x(1+x)6.函数f(x)=−x2A.[0,2] B.(−∞,2] C.[2,4] D.[2,+∞)7.若函数f(x)=ax,x≥1(4−a2)x+2,x<1，且满足对任意的实数x1A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)8.关于x的方程(34)xA.34<a<4 B.34<a<5 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知x>0，y>0，且x+3y=1，则下列选项正确的是(

)A.y的范围为(0,13) B.xy的最大值为112

C.1x+310.在同一平面直角坐标系中，函数C1：y=x2−a，C2：y=axA. B.C. D.11.下列命题中正确的是(

)A.函数f(x)=2x+x，x∈[1,2]的值域是[3,6]

B.函数f(x)=4x+2x+1+1的值域是[1,+∞)

C.函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=2x−1在区间[2,4]上的最大值为______．13.已知函数f(x)的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为______．x012345…f(x)3612244896…14.设函数f(x)=x(x4+e|x|−1)(−6<x<6)，则f(x)是______函数(从“奇”、“偶”、“既奇又偶”、“非奇非偶”中选一个恰当答案填入)，关于四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知10m=2，10n=5，求下列各式的值：

(1)10m−2n；

16.(本小题15分)

已知幂函数f(x)=(a2+a−1)xa在(0,+∞)上单调递增．

(1)求f(x)解析式；

(2)若g(x)=x⋅f(x)−2mx+2m在17.(本小题15分)

中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是θ1℃，室温是θ0℃，那么tmin后茶水的温度θ(单位：℃)可由公式θ(t)=θ0+(θ1−θ0)e−kt求得，其中ktmin012345θ(℃)95.0089.1984.7581.1978.1975.00(1)请你仅利用表中的一组数据t=5，θ=75.00，求k的值，并求出此时θ(t)的解析式；

(2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据(1)的结果，王老师要等待多长时间？

(参考数据：ln2≈0.7，ln5≈1.6，ln7≈1.9，e是自然对数的底数.)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex−1ex+1为奇函数．

(1)求a的值；

(2)利用定义证明y=f(x)在R上单调递增；

(3)若存在实数19.(本小题17分)

对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间[a,b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a,b]，都有f(x1)=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a,b]时，f(x2)>c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“卷函数”．

(1)判断函数g(x)=|x+1|+|x−1|是否为R上的“卷函数”？并说明理由；

(2)设g(x)是(1)中的“卷函数”，若不等式g(2x−3)≤4t参考答案1.B

2.D

3.C

4.B

5.A

6.A

7.D

8.A

9.ABC

10.AC

11.ACD

12.2

13.3⋅2x14.奇

(−∞,115.解：(1)∵10m=2，10n=5，

∴10m−2n=10m102n=10m(10n)2=252=225；

(2)∵10m=216.解：(1)幂函数f(x)=(a2+a−1)xa在(0,+∞)上单调递增，

则a2+a−1=1a>0，解得a=1，

则f(x)=x；

(2)由g(x)=x⋅f(x)−2mx+2m=x2−2mx+2m，对称轴为x=m，

当m≤0时，g(x)min=g(0)=2m，则2m=−2，即m=−1；

当0<m<2时，g(x)min=g(m)=−m2+2m，

则−m2+2m=−2，即17.解：(1)由已知可得θ0=25，θ1=95，

由t=5，θ=75.00，可得75=25+(95−25)e−5k，

即e−5k=57，即−5k=ln57=ln5−ln7≈1.6−1.9=−0.3，解得k≈350，

此时θ(t)的解析式为θ(t)=25+70e−318.解：(1)因为函数f(x)=aex−1ex+1为R上的奇函数，

所以f(0)=a−11+1=0，即a=1，

此时f(x)=ex−1ex+1，则f(−x)=e−x−1e−x+1=1−ex1+ex=−f(x)，满足题意，

所以a=1．

(2)证明：由(1)知，f(x)=ex−1ex+1=ex+1−2ex+1=1−2ex+1，

任取x1，x2∈R，且x1<x2，则ex1−ex2<0，(ex1+1)(ex19.解：(1)函数g(x)=|x+1|+|x−1|为R上的“卷函数”，理由如下：

对于函数g(x)=|x+1|+|x−1|=−2x,x<−12,−1≤x≤12x,x>1，

当x∈[−1,1]时，g(x)=2，且当x<−1或x>1时，g(x)>2恒成立，

所以函数g(x)=|x+1|+|x−1|为R上的“卷函数”．

(2)由于2t+2−t≥22t⋅2−t=2，当且仅当2t=2−t，即t=0时等号成立，

令2t+2−t=m(m≥2)，则4t+4−t=(2t+2−t)2−2=m2−2，

所以4t+4−t+2t+2−t−2=m2+m−4，

因为函数y=m2+m−4在[2,+∞)上单调递增，

所以当m=2时，y=m2+m−4的最小值