陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高三年级上册第二次模拟考试数学试题

陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高三上学期第二次模拟考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

LZ=Jy，则目=()

1+1

A.-B.迈C.也D.2

222

2.已知向量。，。的夹角为45。，且同=4,。•卜-6)=0,则b在“上的投影向量为()

A.2aB.aC.0aD.20a

3

3.已知命题P：VxeR,2同＜3%命题x=l-^,则下列命题中为真命题的是

()

c.p且rD.M且F

,则点A的轨迹方程是()

c―=1D-U=1

5.已知正数羽V满足x+'=l,则工+2y的最小值是()

yx

A.2+20B.6c.4A/2D.3+2收

6.将函数/(x)=2sin(2xq]图象上所有的点向左平移三个单位长度，再把所有点的纵坐标

V6；12

变为原来的;后，得到函数g(x)的图象则gj1]=()

A.73B.且C.-D.1

22

7.如图，在四棱台ABC。-ASG2中，底面为平行四边形，侧棱DA，平面ABCD,

AD±BD,AB=2AD=2^=4,若四棱台ABCD-48cA的体积为述.则直线2c与

3

平面ABCD所成角的正切值是()

A.立B.在C.BD.正

7333

8.“求方程=1的解”有如下解题思路：设=则在R上

单调递减，且/(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式

2Y的解集是()

A.(-oo,0)B.(1,4-00)C.(-oo,0)u(l,+oo)D.fju

二、多选题

9.已知a,Z?GR,有一组样本数据为2+a,3,6-b,1-a,8,10,11+6,12,13,若

在这组数据中再插入一个数8,则()

A.平均数不变B.中位数不变C.方差不变D.极差不变

10.己知函数〃x)=lnx+ln(2-x),则()

A./(x)在(0,1)单调递增B.y=/(x)的图象关于点(1,0)对称

C.y=/(%)的图象关于直线元=1对称D.函数y=|f(x)|-e，有两个零点

11.设曲线C的方程为N+y2=2|x|—2仅|,则()

A.曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.曲线C围成图形的面积为2兀-4

C.曲线C的周长为血兀

D.曲线上任意两点间距离的最大值为4

三、填空题

12.从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地.某大学一个寝室6位同

学A,氏C,£),EP慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求AB相邻，C在。的

左边，则不同的站法共有;(用数字做答)

13.设等比数列｛%｝满足4/+。3=10,6/2+04=5,则6W2…即的最大值为

14.已知sin(a-/7)=2cos(a+夕)tan(cr-y0)=—,贝°tana—tan(3=

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.已知VA2C的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且gsinA+cosA=2.

⑴求角A;

(2)若"=#,。为边BC边上一点，AD为254C的平分线，且A£)=l,求VABC的面积.

16.某趣味运动设置了“谜语竞猜”活动，在活动中设置①、②、③三道谜语题，猜谜者按照

一定的顺序猜谜，只有猜对当前谜语才能继续竞猜下一道谜语，并且获得本谜语的奖金.每

次猜谜的结果相互独立.猜对三道谜语的概率及获得的相应奖金如下表：

谜语①②③

猜对的概率0.8p（0<p<l）0.5

获得的奖金(元)102030

(1)若。=0.5,按“①、②、③”的顺序猜谜，求所获奖金至少为30元的概率；

(2)假设只按“①、②、③”和“③、②、①”两种顺序猜谜.若以猜谜所获奖金的数学期望为决

策依据，按哪种顺序猜谜所获奖金更多？

71

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A5C。为菱形，ZABC=~,底面ABC。，

AB=PA,E是PC上任一点,ACBD=O.

(1)求证：平面平面PAC.

(2)四棱锥P-ABCD的体积为％,三棱锥3-CED的体积为匕，若/=；，求直线网与平

面BE。所成角的正弦值.

18.已知为实数，函数〃x)=e-依+6-1(其中e=2.71828是自然对数的底数).

⑴讨论函数的单调性;

⑵若对任意的xeRJ(x)20恒成立，求的最小值.

19.已知曲线「：b(x,y)=O,对坐标平面上任意一点P(x,y),定义尸［P］=*x,y).若两

点、P,Q,满足刊尸卜尸［0＞0,称点尸，。在曲线「同侧；若刊尸］•尸称点尸,。在曲

线「两侧.

(1)直线/过原点，线段A8上所有点都在直线/同侧，其中A(-U)、3(2,3),求直线/的斜

率的取值范围；

⑵已知曲线尸(x,y)=(3x+4y-5)・小二^^=0，。为坐标原点，求点集

5=｛尸|成尸＞外0］＞0｝的面积;

(3)记到点(0,1)与到x轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,曲线「尸(无,〉)=%2+/一〉一。=。,

若曲线C上总存在两点M,N在曲线「两侧，求曲线C的方程与实数。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CBADDCADADACD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】利用复数的除法运算及模的运算即可求解.

11-i1-iii.

【详解】由z----------------------------1

-l+i-(l+i)(l-i)22'

故选：C.

2.B

【分析】化简。0求出欠=4后，进而求出b在”上的投影向Wcos45。-/即可.

［详解】因为a-(q_6)=0,所以q2_q.b=0,即同~。心=16,

所以am=|3|•|5|-cos45°=4'|5|x=16,解得忖=40,

从而，b在"上的投影向量为Wcos45。-j=a.

故选：B.

3.A

【分析】先判断命题。，4的真假性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于命题P：VxeR,2同＜3也当x=0时，

2M=3问=1，所以P为假命题.

对于命题4：玉'©尺，x3=l-x,

画出y=/与y=l-尤的图象如下图所示，由图可知，

两个函数图象有1个公共点，所以4为真命题.

答案第1页，共13页

所以力且q为真命题，

p且4、P且r、力且r为假命题.

故选：A

4.D

【分析】根据动点A(x,y)满足等式小+3)2+;/=8一#-3)2+1,得到点A的轨迹是以

耳(-3,0),名(3,0)为焦点的椭圆求解.

2

【详解】解：因为动点A(x,y)满足等式J(x+3『+尸=8一^X-3)+/,

所以表示点A到点耳(-3,0),8(3,0)的距离之和为8,且山阊<8,

所以点A的轨迹是以4(-3,0),鼻(3,0)为焦点的椭圆,

其中：a=4,c=3,b2=7,

22

所以椭圆的方程是土+乙=1,

167

故选：D

5.D

【分析】利用力”的妙用和代入消元思想，借助于基本不等式即可求得所求式的最小值.

【详解】由％+'=1可得砂=yT,因1>0,y>0,贝!Jy>l,

y

i

XH----

于是工+2y=——^+2y=l+—+2y=l+^—+2y=3+-^—+2(y-l),

xxxyy-1y-1

因」7+2(y-l)Z2)一1-2(丁-1)=2收，当且仅当一二=2(y-l)时等号成立,

y-1y-1y-i

即y=l+g,苫=应-1时，工+2y的最小值为3+2点.

2x

故选：D.

答案第2页，共13页

6.C

【分析】结合三角函数图象变换结论求g(x)的解析式，再求g

【详解】将函数/(x)=2sin12x-野图象上所有的点向左平移展个单位长度，可得函数

y=2sin^2x+-^---^-j=2sin2x的图象，

将函数y=2sin2x图象上所有点的纵坐标变为原来的横坐标不变，可得函数丫=$也2彳的

2

图象，

所以g(x)=sin2x,故g(j|J=sin"；.

故选：C.

7.A

［分析】过点耳，作Bp1BD,连接CE,根据£>£>,!平面ABCD,得到与E，平面ABCD,

连接CE,从而/用CE为用C与平面A5CD的夹角求解.

【详解】如图所示：

过点瓦，作3产18D,连接CE,

因为_L平面ABCD,u平面D.DBB,,

所以平面ABCD1平面“DBBi,

所以瓦E_L平面ABCD,连接CE,

则ZBtCE为瓦C与平面ABCD的夹角，

在平面A2CD中，AD±BD,AB=4,AD=2,贝

四边形四边形

SABCD=46>S44GBi=石)

所以四棱台的体积为：V=道+退+2百)=孚，

所以。2=1,.•.。。］=4后=1,

答案第3页，共13页

E为BO的中点，:,CE=/i，

tanZB.CE=—.

17

故选：A

8.D

【分析】将不等式转化为(2x2y+(2/)>(x+l)3+(x+l),构造函数8(月=三+》，确定单

调性即可得2/>》+1,从而可得不等式的解集.

【详解】原式化简为：8X6+2X2>(X+1)3+(X+1),即(2/)3+(2/)>@+1)3+(尤+1)

令g(x)=/+x,典|g〈x)=3x2+l>0,贝！jy=g(x)在R上单调递增，

则不等式转化为2-八+1,所以方程解集为，双-'。。,+“).

故选：D.

9.AD

【分析】求出样本数据的平均数，判断A的真假；令出人取特殊值，验证B的真假；利用方

差的计算公式求方差判断C的真假；因为8不是最值，所以插入8不影响极差，可判断D

的真假.

【详解】对于A选项，原数据的平均数为8,插入一个数8,平均数不变，正确；

对于B选项，取。=-2,b=l,原数据的中位数为9,新数据的中位数为8.5,错误；

对于C选项，新数据的方差为s'2=：[(2+a-8)?+(3-8)?+…(13-8)4(8-8)1

<|[(2+a-8)2+(3-8)2+-(13-8)2]=?,错误；

对于D选项，因为3<8<13,所以8不是最值，故新数据的极差不变，正确.

故选：AD

10.ACD

【分析】先求出函数/(尤)的定义域，然后将函数F。)利用对数的运算变形，再利用复合函

数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数y与函

数丁=6,的单调性结合图象的交点，即可判断函数y=/(x)|-e*零点个数，从而判断D.

【详解】函数/(x)定义域为(。，2),又/(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-f),

答案第4页，共13页

4g(JC)=2x-X2=-(.X-1)2+1,xe(0,2),

所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减，

又y=lnx为单调递增函数，

所以/(无)在(0,1)上单调递增，在(L2)上单调递减，故选项A正确；

因为函数g(x)的对称轴为x=l,则函数/(x)关于直线尤=1对称，故选项B错误，选项C

正确；

因为“X)皿=〃1)=°，所以函数yT/ah-/。)，

所以y=|/(0|在(o,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，

又函数y=e'在R上为增函数，

则函数>=|/(刈与函数y=e*在平面直角坐标系中的图象如下图所示：

故函数y=〃(x)|与函数y=e'在区间(0,2)上有两个交点，即函数y=〃(x)|-e*有两个零点,

故D正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】根据方程特点分类讨论分别画出图像，然后逐个判断即可.

［详解］当时方程为(x_iy+(y+l)2=2,

当x2O,”0时方程为(x_iy+(y_l)2=2,

当x<O,”0时方程为(x+iy+(y+l)2=2,

当x<O,y<0时方程为(x+iy+(y_l)2=2,

如图所示，

答案第5页，共13页

对于A：易知曲线关于X轴对称，关于y轴对称，关于原点中心对称，A正确；

对于B：因为曲线关于X轴对称，关于y轴对称，关于原点中心对称，

所以只需要计算第一象限内图像的面积即可，

因为。（2,0）,且圆的半径r=所以弦心距d=J（直

所以OQ所对的圆心角为

所以该图形为圆心角为]的扇形剪去等腰直角三角形得到的弓形，

所以s=；x（0『兀一所以总面积为4s=2计4,B正确；

对于C：第一象限内的图形是圆心角为的扇形的弧长，所以：板x]=字，

所以曲线。的周长为4/=2&兀，C错误；

对于D：曲线上任意两点间距离的最大值为附|=4,D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点睛：对MY分类讨论得到不同情况下的方程进而得到图像是解决该类题型的

关键.

12.120

【分析】根据相邻问题“捆绑法”和排列数公式，利用分步乘法计数原理计算即得.

【详解】先将A8“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排，

再考虑C在£）的左边，最后“解绑”，故有:A；A：=120种方法.

故答案为：120.

13.64

C/7=8

a,+a,=10a（l+/）=101

【详解】试题分析：设等比数列的公比为4,由｛।3（得，｛“；、一解得1.

%+/=5axq（l+q）=5q=—

、2

1心-1）_ln2+Zn

所以〃1%an~aiQi+2++（/1-1）=X（―）2=225,于是当〃=3或4时，%取得最大

值26=64.

考点：等比数列及其应用

答案第6页，共13页

14.加8

【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解.

m

[详解】因为sin(a—,)=2cos(a+/?),tan(a_,)=[=s*仪,

2cos(cr-p)

所以gcos(a-/?)=2cos(a+A),

所以cosacos尸+sinasinp=4(cosacosp一sinasin0),

即3cosacos=5sincrsin/?,

3

即tanaJ3=—,

1__tancr-tan/3_tan«-tan(3

因为5=tan(a-£)=不启砺="3,

5

4

则tana-tan方=y.

4

故答案为：—.

71

15.(1)A=-

⑵也

2

【分析】(1)利用三角恒等变换的知识求得A.

(2)利用三角形的面积公式、余弦定理列方程，求得儿，进而求得三角形ABC的面积.

【详解】(1)由GsinA+cosA=2,即sin(A+'1=1,

因为A40,7i),所以A+7)，

所以A+?=g,得A=f.

o23

7T

(2)由AD为4c的平分线，^ZBAD=ZCAD=-,

6

=

因为SABCSABD+SACD,

W—Z?csin—=—cxlxsin—+—Z?xlxsin—,

232626

BPy/3bc=b+c9①

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosg,

BPb1+c2-bc=69②

答案第7页，共13页

由①②，得be=2,

所以S&BC=^csiny=~-

16.(1)0.4

(2)答案见解析

【分析】(1)设事件4B,C,D，依题D=(ABC)u(ABC),根据事件ABC与事件ABC的互斥

与AB,C的相互独立，利用概率公式计算即得；

(2)分两种方案分别计算随机变量对应取值的概率，列出分布列，计算期望值，作差比较

即得.

【详解】(1)设“猜谜者①猜对”为事件4"猜谜者②猜对”为事件B；“猜谜者③猜对”为事

件C

记“所获得奖金至少为30元”为事件D,则包括获得奖金30元或60元.

奖金30元指①、②猜对，③猜错，即事件ABe发生；

奖金60元指①、②猜对，③猜对，即事件A3C发生.

因事件42已与事件A3C互斥，且A,3,C相互独立，

则P(D)=P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.8x0.5x0.5+0.8x0.5x0.5=0.4.

即所获得奖金至少为30元的概率为0.4;

(2)若猜谜者按“①、②、③”的顺序猜谜语.

则他所获奖金X的所有可能取值为0,10,30,60(元)，

p(X=0)=l-0.8=0.2,

P(X=10)=0.8(1”),

尸(X=30)=0.8xpx0.5=0.4p,

P(X=6O)=O.8xpxO.5=O.4p,

列出X的分布列为：

X0103060

P0.20.8（l-p）OAp0.4p

答案第8页，共13页

故E（X）=8（l-p）+12p+24P=28p+8；

若猜谜者按“③、②、①”顺序猜谜语.

则他所获奖金y的所有可能取值为0,30,50,60（元）,

p(y=0)=0.5,

叩=30)=0.5(1-p),

p(y=50)=0.5px0.2=0.1p,

p(y=60)=0.5xpx0.8=0.4p,

列出y的分布列为：

Y0305060

P0.50.5(1-^)0.1/70.42

故E（y）=15（l-p）+50+24p=14°+15.

由E（X）-E（y）=14p-7,

当14〃-7>0,即pe（0.5,l）时，应按①、②、③顺序猜谜所获得奖金更多；

当14。-7=0,即0=0.5时，按①、②、③和③、②、①顺序猜谜所获奖金一样多；

当14〃-7<0,即pe（0,0.5）时，应按③、②、①顺序猜谜所获得奖金更多.

17.（1）证明见解析

⑵走

4

【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可证得5D工平面PAC,再由面面垂直的判

定定理即可证明；

（2）由锥体的体积公式可得E是PC的中点，建立空间直角坐标系，求出平面BED的法向

量，由线面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）在四棱锥尸-ABCD中，底面A2CD为菱形，所以AC13Z）,

又因为PA_L底面ABC。，5Z>u底面A3C。，所以E4_LBD,

PAAC=A,PA,ACu平面PAC,所以BD1平面PAC,

因为BDu平面所以平面EBD_L平面尸AC.

答案第9页，共13页

V1

（2）四棱锥尸-ABCD的体积为％三棱锥3-CEO的体积为匕，寸="

设E到平面BCD的距离为",

则V_bBC；SBCD»_h=i

pA

X^^ABCD---2SBCD-PA2PA4

3/i2）（_zLz3D\^LJ

所以B4=2/7,所以E是尸C的中点，

__7T

取BC的中点尸，连接AF,因为底面ABCD为菱形且/A3C=§,

所以VABC为等边三角形，所以AF13C,所以AFLAZ),

如图以A为坐标原点，以AEAZZAP所在直线为％y,z轴，建立空间直角坐标系,

^AB=PA=2,则0（0,2,。），C（/l,0）,B（A/3,-1,0）,

P（0,0,2）,所以DE=冬-g,l,BD=（-73,3,0）,P2=（且,一1,

\7\7

DE,几=0

设平面BED的法向量为元=(%y,z),所以｛,

BDn=0

旦一3+z=0

即2“2Jz一，令x=6,贝巾=(指J,。)，

_百尤+3,=0

设直线PB与平面BED所成角为6,

用U1l|sing=1cos<PB,n)\1=阿「IKk」_=——4

所以直线尸8与平面3即所成角的正弦值为变.

4

18.(1)答案见解析

答案第10页，共13页

(2)1--

e

【分析】(1)对求导，得至1]尸(司=1一。，再分aWO和。>0两种情况，利用导数与

函数单调性间的关系，即可求解；

(2)根据条件，利用(1)中结果得到。+6Nalna+l,构造函数g(x)=xlnx+1,利用导数

与函数单调性间的关系，求出g(x)=xlnx+l的单调区间，进而求出g(x)=xlnx+l的最小值,

即可求解.

【详解】(1)易知尤eR,因为〃x)=eX—依+6—1,所以/=，

当aWO时，/'("=廿一。>0恒成立，此时“X)在R上单调递增，

当4>0时，由/''(x)=e*—。=0,得至(jx=lna,

当x<lna时，f'kx)<0,当x>lna时，/'(无)>0,即/(x)在区间(-℃,lna)上单调递减，在

区间(Ina,+oo)上单调递增，

综上，aWO时，/(X)在R上单调递增，

a>0时，“X)的减区间为(Y»,lna),增区间为(Ina,+oo).

(2)因为当a<0时，xf-oo时，f(x)-—oo,

由(1)知，要使对任意的彳€艮/(%)20恒成立，则。>0,>/(ln6z)=elnfl-alna+&-l>0

恒成立，

即a-alna+b-lWOT亘成立，得至iJbNalna—a+1,

所以a++a+l=alna+l,

令g(x)=xlnx+l,则g<%)=lnx+l,由/(%)=lnx+l=O,得到％=工，

e

当0<%<工时，gr(x)<0,时，，(%)>0,

ee

所以g(x)=xlnx+l在区间(0-)上单调递减，在区间(上+8)上单调递增，

ee

所以g(%)Ng(，)='ln1+l=l-」，故的最小值为1一」.

eeeee

19.⑴[1，|)

答案第11页，共13页

（3）C:£=8（3—y）（O4y43）和V=12（y+2）（—2Wy<0）,ae（6,24）

【分析】（1）设直线/：y=丘，由刊A]/国>0可解不等式求得结果；

（2）根据方程的几何意义，将问题转化为圆/+丁=4在直线3x+4y-5=0下方的部分（不

含边界）的面积的求