人教版高中数学选择性必修一复习讲义：直线与圆的位置关系

第09讲2.5.1直线与圆的位置关系

学习目标

课程标准学习目标

①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定

方法的代数法与几何法。

通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求

②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。

切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆

③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长

的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关

度、面积、周长等。

的综合问题.

④会求待定参数并能解决与之相关的综合

问题。

思维导图

<

«,与

so

的

1住

关

系

知识点01：直线与圆的位置关系

1、直线与圆的三种位置关系

2.1几何法（优先推荐）

图象

—

位置相交/相切

关系

判定C:(x-6z)2+(y—bp=r2；C:(%-〃)2+(y-/?)2=r2；C:(x-6Z)2+(y—bp=r2；

方法

1:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=Go

圆心C（a,»到直线/的距离：圆心C（a,»到直线/的距离：圆心。（。力）到直线/的距离：

7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|

d圆与直线相交。d=圆与直线相切。d>圆与直线相离。

2.2代数法

直线/：Ax+By+C=O；圆M尤2+/+瓜+硝+尸=o

Ax+By+C=0

联立<消去“》”得到关于“x”的一元二次函数4必+法+0=0

x+y1+Dx+Ey+F=Q

①A>00直线/与圆M相交

②A=0=直线/与圆M相切

③AvOo直线/与圆M相离

【即学即练1】(2023秋•浙江嘉兴•高二统考期末)直线2x+y-2=0与曲线(、+丫-1))/+/-4=0的交点

个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】因为曲线(x+y-l)jY+y2-4=0就是尤+y-1=0或/+尸=4,表示一条直线与一个圆，

(、

联立］2x++；y-12==00，解得(［x==l0，即直线2x+y-2=0与直线x+y_l=°有一个交点,(1,0)；此时，^/i-%-2--+--/-----4-

没有意义.

8

%二一

2x+y—2=0x=05

联立x“』,解得y=2或'所以直线2尤+〉-2=0与必+,2=4有两个交点.

6

y=-

5

所以直线2x+y-2=。与曲线(x+y-i)jY+y2-4=0的交点个数为2个.

故选：B

知识点02：直线与圆相交

记直线/被圆C截得的弦长为IA31的常用方法

1、几何法(优先推荐)

①弦心距(圆心到直线的距离)

②弦长公式：AB=2〃—屋

2、代数法

直线/：Ax+By+C=0；圆Mf+/+瓜+与+尸=0

Ax+By+C=0

联立消去“>"得到关于“了”的一元二次函数af

x2+y2+Dx+Ey+F=0+bx+c=0

弦长公式：AB=y/l+k2-，(石+%2『一4x^2

【即学即练2］(2023春・江苏南京•高二南京市江宁高级中学校联考期末)已知直线/：x+y-l=0：与圆

C:(x—3『+(y+4)2=5交于A8两点，贝卜.

【答案】2^/3

【详解】由圆C:(x-3)2+(y+4)2=5,可得圆心坐标为C(3,-4),半径为厂=店,

又由圆心C到直线/：x+y-1=0的距离为d=-"=0,

VI+1

根据圆的弦长公式，可得|=2>/4-储=24-(应了=.

故答案为：2A.

知识点03：直线与圆相切

1、圆的切线条数

①过圆外一点，可以作圆的两条切线

②过圆上一点，可以作圆的一条切线

③过圆内一点，不能作圆的切线

2、过一点6(%,%)的圆的切线方程(M:(x—o)2+(y—b)2=r2)

①点4(%,%)在圆上

步骤一：求斜率：读出圆心M(a,3,求斜率心材，记切线斜率为左，则底“衣=-In左

步骤二：利用点斜式求切线(步骤一中的斜率+切点《(％,%))

②点《(%,为)在圆外

记切线斜率为左，利用点斜式写成切线方程y-%=左(%-％)；在利用圆心到切线的距离d=r求出左

(注意若此时求出的k只有一个答案；那么需要另外同理切线为X=X。)

3、切线长公式

记圆M:(x-a)2+(y4)2=产；过圆外一点P做圆M的切线，切点为利用勾股定理求PH；

【即学即练3](2023秋•江苏盐城•高二盐城市伍佑中学校考期末)由直线丫=%上的点向圆

(x-4>+(y+2)2=l引切线，则切线长的最小值为.

【答案】V17

【详解】圆(x-4『+(y+2)2=l的圆心为。(4,-2)/=1,

在直线上取一点P,过P向圆引切线，设切点为A.连接尸CAC.

在RtAPAC中，|CA|=r=l.要使1pAi最小,则归。应最小.

又当尸C与直线垂直时，|PC|最小，其最小值为厘=3垃.

故|尸4|的最小值为«3何-1?=717.

故答案为：厉.

知识点四：圆上点到直线的最大（小）距离

设圆心到直线的距离为d,圆的半径为广

①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：d+r,最小距离为：d—r；

②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：2r,最小距离为：0；

③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：d+r,最小距离为：0；

【即学即练4］（2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）已知直线/:尤+y-3=0上的两点A,8,且

点P为圆。：/+/+2尤一3=0上任一点，贝I的面积的最大值为（）

A.72+1B.2A/2+2C.◎一1D.272-2

【答案】A

【详解】把圆。:炉+/+2彳-3=。变形为（x+l）2+y2=4,

则圆心。（-1,0）,半径r=2,

圆心D到直线/：尤+y-3=0的距离d=［।,

V1+1

则圆。上的点到直线A3的距离的最大值为"厂=2拒+2,又|AB|=1,

.PLB的面积的最大值为］X（2\/^'+2）xl=0^1.

故选：A.

题型精讲

题型01判断直线与圆的位置关系

【典例11（2023春•甘肃白银•高二校考期末）坐标轴与圆C:x2+y2-4x-2y+l=。的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【典例2】（2023春•上海黄浦•高二上海市向明中学校考期中）圆C:*+y2+2x+4y-3=0上到直线

x+y+l=O距离为四的点有（）

A.2个B.3个C.4个D.无数个

【典例3】（多选）（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）已知直线/：>=履+2左+2（左eR）与

圆C：尤2+y2_2y_8=O.则下列说法正确的是（）

A.直线/过定点（-2⑵

B.直线/与圆C相离

C.圆心C到直线/距离的最大值是2拒

D.直线/被圆。截得的弦长最小值为4

【变式1］（2023•新疆喀什•校考模拟预测）已知圆C:/+y2+2x-4y=0,直线/：2x—y-1=0,贝！|圆C

与直线/（）

A.相交B.相切C.相离D.相交且直线过圆C的圆心

【变式2］（2023•全国•高三专题练习）直线/：x+阳+1-m=0与圆C:（尤-l）2+（y-2）2=9的位置关系

是（）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

题型02由直线与圆的位置关系求参数

【典例1］（2023秋•高一单元测试）若直线y="-1与曲线y=+4x-3恰有两个公共点,则实数k的

取值范围是（）

A„B.［《JC.［1,1］D.［。,力

【典例2】（2023•河北•校联考一模）直线/:办+力-4=。与圆O：/+y2=4相切，则（a-3>+（b-4>的

最大值为（）

A.16B.25C.49D.81

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）已知圆C：（x-2）2+（y-l）2=/（r>0）,直线/:ax+y—2a+1=0,

若直线/与圆C总有交点，则，•的取值范围为

【变式1］（2023•湖南益阳•安化县第二中学校考三模）直线y=x+b与曲线》=万丁恰有两个不同的

公共点，则实数b的取值范围是（）

A--l<b<y/2B.-y［2<b<-\

C.—1<Z?<—1,b=—y/2D.-y/2<b<1

【变式2］（2023春•上海静安•高二统考期末）过点（0,1）的直线/与圆x2+y2+4x+3=o相切，则直线/

的斜率为.

题型03直线与圆相交问题

【典例1】(2023•高二课时练习)已知。为原点，直线x+2y-3=0与圆f+'2+X一6>+机=0交于p、Q

两点.

(1)若|PQ|=J乳，求〃，的值；

(2)若OPLOQ,求圆的面积.

【典例2](2022秋•安徽芜湖•高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习)已知点A(0,0),8(2,0),曲线

。任意一点P满足|冏=也|可|.

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线工->+机=。与圆C交于A、B两点,是否存在实数加，使得以A3为直径的圆过原点，若存在，

求出实数机的值；若不存在，请说明理由.

【变式1](2023•全国•高三专题练习)若不等式病了〈注/>0)的解集为区间口㈤，且〃-。=2,则左=

()

A.与B.72C.6D.2

【变式2】(2023•高三课时练习)已知圆C:(尤-3)2+9=4,过点A(2,0)的直线/交圆C于M、N两

点，且OM.ON=2,则直线/的方程是.

题型04求切线方程

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)过点?(1』)作圆E：/+4%+2y=0的切线，则切线方程为

()

A.x+y-2=0B.2x+y—3=。

C.%—2y+l=0D.2x-y-l=0

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)经过点(1,0)且与圆V+V一4x-2y+3=0相切的直线方程为

【典例3】(2023秋•浙江丽水•高二统考期末)已知圆C经过点41,2)和8(5,-2),且圆C关于直线2x+y=0

对称.

(1)求圆C的方程；

⑵过点。(-3,1)作直线/与圆C相切，求直线/的方程.

(1

【变式1】(2023春•天津西青•高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习)过点亍-手作圆

(7：/+/=1的切线/,则切线/的方程为.

【变式2](2023春•河北张家口•高二张家口市宣化第一中学校考阶段练习)已知一圆C的圆心为(2,-1),

且该圆被直线/：尤-〉-1=0截得的弦长为2忘.

(1)求该圆的方程；

⑵求过点P(4,3)的该圆的切线方程.

【变式3](2023秋•高二课时练习)在直角坐标系xOy中，以原点。为圆心的圆与直线x-6y-4=0相

切

(1)求圆。的方程；

(2)若已知点尸(3,2),过点P作圆。的切线，求切线的方程.

题型05切线长(切点弦)问题

【典例1】（2023春•福建厦门•高二厦门双十中学校考阶段练习）过直线上的一点尸作圆

（尤-5y+（y_l）2=2的两条切线4，L切点分别为A3,当直线乙，乙关于尸彳对称时，线段的长为

（）

A.4B.2A/2C.s/6D.2

【典例2】（2023春•湖北•高三统考阶段练习）过直线x+2y-4=0上一点尸作圆/+y2=i的两条切线

PA，PB,切点分别为A,B,则|明的最小值为.

【典例3】（2023春•贵州•高二遵义一中校联考阶段练习）已知圆O：f+y2=4,点/是直线3x+y+10=。

上的一个动点，过点4作圆。的两条切线切点分别为M,N,则四边形AMON的面积的最小值为

;直线过定点.

【变式1]（2023•北京海淀•北大附中校考三模）已知圆。:犬+丁=1,直线3x+4y-10=0上动点尸，

过点尸作圆。的一条切线，切点为A,贝!1|弘|的最小值为（）

A.1B.72C.V3D.2

【变式2]（2023•吉林通化•梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线》+'+6=。上一点P向圆

C:（x-3）2+（y+5）2=4引切线，则切线长的最小值为.

【变式3]（2023•全国•高二专题练习）过点PQ⑵作圆/+丁=4的两条切线，切点分别为A、B,则

直线A3的方程为.

题型06已知切线求参数

【典例1】（2023•河北唐山•开滦第二中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若点在直

线办+勿+6“+8=0上，则当a,b变化时，直线OP的斜率的取值范围是.

【典例2】（2023•天津南开•统考二模）若直线履-y-24+3=。与圆V+（y+l）2=4相切，贝心=.

【变式1]（2023•四川成都•树德中学校考模拟预测）若直线"+办=1（。>0/>0）,与eO:/+y2=i相

切，则。+26最大值为（）

A.73B.琳C.3D.5

【变式2]（2023•黑龙江•黑龙江实验中学校考二模）已知直线/：2x+y+〃工=0上存在点A,使得过点

A可作两条直线与圆C：尤?+丁-2x-4y+2=。分另IJ切于点M,N,且NWW=120。，则实数旭的取值

范围是（）

A.[-75-2,75-2]B.[-厉-26,岳-2g]

C.[-2^-4,275-4]D.[0,715-273]

题型07圆的弦长与中点弦问题

【典例1】（2023秋•四川凉山•高二统考期末）过点（L1）的直线/被圆C:尤2+/=4截得的弦长最短，

则直线/的斜率是（）

A.1B.2C.-2D.-1

【典例2】（2023春•上海黄浦•高二统考期末）设直线丫="+3与圆/+y=4相交所得弦长为2班，

贝！Ia=；

【典例2】（2023•广东佛山•华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知圆加：5-4）2+y=16,过

点N（2,0）的直线/与圆加交于A,8两点，。是A3的中点，则。点的轨迹方程为.

【变式1］（2023•河南郑州•统考模拟预测）已知圆己丈2+/一6升5=0,直线>=；（苫+1）与圆。相交于加，

N两点,则pVW卜.

【变式2］（2023•天津•三模）已知直线依+»-1=。平分圆C:（x-l）2+（y+2>=4,则圆C中以点

为中点的弦弦长为

【变式3］（2023春•浙江•高二校联考阶段练习）圆C经过点A（2,-l）,和直线x+y=l相切，且圆心在

直线V=-2x上.

（1）求圆C的方程；

⑵求圆C在V轴截得的弦长.

题型08已知圆的弦长求方程或参数

【典例1】（2023秋•高一单元测试）已知圆C:尤2+V-2ay=0,过圆C内一点A（2,l）的直线被圆C所截

得的最短弦的长度为2,则a=（）

A.2B.2\/2C.—D.3

【典例2】（2023春•新疆塔城•高二统考开学考试）已知圆P过两点"（0,2）,N（g,l）,且圆心尸在直

线y=x上.

（1）求圆P的方程；

⑵过点Q（T,2）的直线交圆尸于A6两点，当|阳=26时，求直线A3的方程.

【典例31（2023秋•浙江嘉兴•高二统考期末）已知圆C经过点A（4,2）、3（6,0）,圆心C在直线x+y-4=0

上.

(1)求圆C的方程；

(2)若直线y=%(x+2)与圆C相交于尸、。两点，闸=2后求实数上的值.

【变式1](2023春•浙江•高二校联考期末)若直线4：>=丘+1截圆C2:(尤-2)2+/=5所得弦长|AB|=4,

则左的值为.

【变式2](2023秋•山东滨州•高二统考期末)已知圆C的圆心在直线2x+y-4=0上，且与V轴相切于

点0(0,0).

(1)求圆C的方程；

⑵已知过点以1,3)的直线/被圆C截得的弦长为2石，求直线/的方程.

【变式3](2023春•广西柳州•高二柳州地区高中校考期中)已知圆C：x、(y-l)2=5,直线/：

iwc-y+l-m=0.

(1)设直线/与圆C相交于A,8两点，且卜求直线/的方程;

(2)设直线/与圆C相交于A8两点，求弦A8中点的轨迹方程.

题型09圆内接三角形面积

【典例1](2023•广东广州•广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知直线，：x-y+5=O与圆

C:Y+y2-2x-4y-4=0交于A，8两点，若M是圆上的一动点，则AAMB面积的最大值是.

【典例2】(2023秋•江苏盐城•高二盐城中学校考期末)已知圆C:/+y2一4x-6y+4=0.

(1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为M(3,2),求该直线的方程；

(2)设不过圆心C的直线/：y=x+根与圆。交于A,3两点，把钻的面积S表示为根的函数，并求S

的最大值.

【变式1](2023•浙江•校联考三模)在平面直角坐标系上，圆C:/+(y-l)2=l,直线y=“(x+l)与圆

C交于A,B两点,ae(O,l),则当的面积最大时，a=()

A.变B.73-1C.2-V3D.I

22

【变式2](2023•江西•统考模拟预测)已知圆C的方程为-3)2+"-4)2=25,若直线/:3x+4y-5=O与

圆C相交于A8两点，则MC的面积为.

题型10直线与圆的实际应用

【典例1](2023秋•山西晋中•高二统考期末)如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形(长、

宽分别为8m、4m)和圆弧构成，截面总高度为6m,为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道

顶部在坚直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度|AB|=6m.

(1)试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程;

(2)车辆通过隧道的限制高度为多少米？

【典例2】(2023秋•湖北•高二武汉市第二十三中学校联考期末)如图，某海面上有0、4、3三个小

岛(面积大小忽略不计)，A岛在。岛的北偏东45。方向距。岛40五千米处，3岛在。岛的正东方向距0

岛20千米处以0为坐标原点，0的正东方向为X轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆

。经过0、A、B三点.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在。岛的南偏西30。方向距。岛40千米处，正沿着北偏东60°行

驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

【变式11(2023秋•高一单元测试)党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的

大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道(约37000千米).这些隧道样式多种多样，它们或

傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”；或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候

它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设

计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽4B为16米，洞门最高处距路面4米.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆弧的方程.

(2)为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车

装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.

【变式2](2023秋•浙江宁波•高二期末)如图1,某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度

AB=30m,拱高OP=5m,建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱A片的高度等于m(精

确到0.01m）.若建立如图2所示的平面直角坐标系立制，则圆拱所在圆的标准方程是

（可用参考数据：-7616=24.82,7600=24.49,7599=24.47,>/544=23.32,>/525=22.91.）

题型11直线与圆中的定点定值问题

【典例1】（多选）（2023嚏国•模拟预测）已知圆C:Y+y2-2ay+a-l=0,直线/：x-y=0,贝!）（）

A.存在awR,使得/与圆C相切

B.对任意awR,/与圆C相交

C.存在aeR,使得圆。截/所得弦长为1

D.对任意aeR,存在一条直线被圆。截，所得弦长为定值

【典例2】（2023•宁夏石嘴山•平罗中学校考模拟预测）直线/：mr-y+2-3〃?=0（〃?eR）与圆

C:x2+/-2y-15=0交于两点RQ,则弦长归。|的最小值是.

【变式11（2023春•湖南岳阳•高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）直线2/x-y-2/+l=0（"R）

与圆Y+y2=4相交于a,3两点，贝！的最小值为（）

A.0B.2C.2夜D.4

【变式2］（2023春•海南•高二统考学业考试）若直线/：履—y+3-2无=0与圆C：//一6彳-4丫+4=0

交于A,B两点,且直线/不过圆心C,则当ABC的周长最小时，实数后=（）

A.-1B.gC.1D.2

题型12根据直线与圆位置关系求距离最值

【典例1】（2023春•河南南阳•高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知直线/：x+y+2=0与x轴、

y轴分别交于M，N两点,动直线4：y=-wu（/neR）^|/2；里y-x-4"z+2=0交于点p,则△WP的

面积的最小值为（）

A.回B.5-A/WC.272D.2A/10-3

【典例2］（2023•广西•校联考模拟预测）已知直线/：e+（5-2m）.一2=0（，€2和圆。:1+"2=4,

则圆心0到直线/的距离的最大值为（）

A.-B.—C.吏~D.-

5532

【典例3】（2023春•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知点P是直线2x+y-3=0上的动点，过

点P作圆0:Y+y2=i的两条切线，切点分别为A,8,则点到直线AB的距离的最大值为.

【变式1］（2023•山东泰安•统考模拟预测）已知直线/：〃式-y+，〃+l=0（mw0）与圆C:

x2+y2-4x+2y+4=0,过直线/上的任意一点尸向圆C引切线，设切点为4?,若线段A3长度的最小值

为6,则实数机的值是（）

121277

A.——B.—C.-D.——

5555

【变式2］（2023•宁夏石嘴山•平罗中学校考模拟预测）直线/:〃zr-y+2-37〃=0G〃eR）与圆

C:x2+/-2y-15=0交于两点P、Q,则弦长归。|的最小值是.

【变式3］（2023•贵州贵阳•校联考模拟预测）已知直线/与圆C:（x-1）2+V=l有公共点且与直线

2元一y+3=0交于点N,贝！||A£V|的最小值是.

题型13直线与圆综合问题

【典例4（2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆C过点A（4,0）,3（2,2）,

且圆心。在x+y-2=0上.

（1）求圆。的方程；

（2）若已知点尸（4,2如），过点P作圆C的切线，求切线的方程.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）（1）求函数y=+行的最大值和最小值

(2)求函数y=A咕的值域；

J1+X

(3)求函数y=x+，24-4x+6的值域;

(4)已知IVf+y2V2,求z”?-孙+/的最值.

【典例3】(2023春•湖北•高二校联考阶段练习)已知圆。:炉+丁=16,直线/:(2+左卜+(1+左)丫+左=0.

(D证明：直线/和圆C恒有两个交点；

(2)若直线/和圆C交于A3两点，求|筋|的最小值及此时直线/的方程.

【典例4】(2023春•上海嘉定•高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知过点A(-LO)的直线/与圆

C:/+(y-3)2=4相交于P、。两点，M是弦尸。的中点，且直线/与直线机"+3y+6=0相交于点N.

(1)当直线/与直线切垂直时，求证：直线/经过圆心C;

⑵当弦长|PQ|=2百时，求直线/的方程；

(3)设仁AM2N，试问7是否为定值，若为定值，请求出/的值；若不为定值，请说明理由.

【变式1](2023秋•高一单元测试)已知直线/：>=左(无+2虚)与圆0：f+产=4相交于不重合的A,

3两点，0是坐标原点，且A，B,。三点构成三角形.

(1)求人的取值范围；

(2)ABO的面积为S,求S的最大值，并求取得最大值时女的值.

【变式2](2023秋•江西萍乡•高二统考期末)已知直线/过点P0,-1),且__________.

在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.

①与圆(X+1)2+V=5相切；②倾斜角的余弦值为冷；③直线/的一个方向向量为。=(-2,T).

(1)求直线/的一般式方程；

⑵若直线/与曲线C:V+y2一6X一2k6=0相交于加仆两点，求弦长|MN|.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【变式3](2023春•四川内江•高二四川省资中县第二中学校考开学考试)已知点P(0,2),设直线/：

y=kx+b(b,左ER)与圆。：炉+产=4相交于异于点尸的A,B两点.

(1)若R4±PB,求的值；

(2)若|48|=26，且直线/与两坐标轴围成的三角形的面积为友，求直线/的斜率左的值；

3

(3)当|以卜|尸切=4时，是否存在一定圆使得直线/与圆N相切?若存在，求出该圆的标准方程；若不

存在，请说明理由.

二、多选题

9.(2023春•广西•高二校联考阶段练习)圆心在x轴上，半径为2,且与直线x-y=0相切的圆的方程可能

是()

A.(尤-2应『+丁=4B.(x-2)2+y2=4

C.(x+2V2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4

10.(2023•湖南•校联考模拟预测)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=16,直线/:(2"2+l)x+(m+l)y-7m-4=0,

则()

A.直线/恒过定点

B.直线/能表示平面直角坐标系内每一条直线

C.对任意实数机，直线/都与圆C相交

D.直线/被圆C截得的弦长的最小值为2血

三、填空题

11.(2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)已知点A。,。)，5(2,0),经过点8作圆

(x-3)2+(>-2)2=5的切线与V轴交于点P,则|APk.

12.(2023•全国•高三对口高考)若直线>=依》+1)与曲线丫:亚。7有公共点，则实数%的取值范围是

四、解答题

13.(2023春・安徽•高二池州市第一中学校联考阶段练习)已知圆C过三个点(0,2),(1,1),(2,2),过点尸(2,0)

引圆C的切线，求：

⑴圆C的一般方程；

⑵圆C过点P的切线方程.

14.(2023秋淅江绍兴•高二统考期末)已知M(4,0),N(0,0),P(0,3),圆C经过M,N,P三点.

⑴求圆C的方程，并写出圆心坐标和半径的值；

⑵若经过点。(1,1)的直线/与圆C交于AB两点，求弦A3长的取值范围.

B能力提升

1.(2023秋•高一单元测试)已知实数MV满足V+y2-4x-2y-4=0,贝建-y的最大值是()

A.1+乎B.4C.1+3拒D.7

2.(2023秋,高二课时练习)与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线＞=》上截得的弦长为26,

则此圆的方程是()

A.(x-3)2+(y-l)2=9

B.(x+3)2+(y+l)2=9

C.(x+3)2+(y+l)2=9或(x-3y+(y-l)2=9

D.(x+3)2+”-1)2=9或。-3)2+”+1)2=9

3.(2023•湖北襄阳•襄阳四中校考模拟预测)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距

离之比为常数〃彳＞0且Xwl)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面

直角坐标系xOy中，A(-2,0),动点M满足|肱1|=2M。|,得到动点”的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数3

直线/:y=Mx-l)+b与圆C恒有公共点，贝后的取值范围是()

屈岳］rVi4V1444

--_-->--_-DD.______?_____D.

353

4.(2023春•重庆沙坪坝•高一重庆一中校考期末)已知点尸在直线丁=%-2上运动，点£是圆好+y2=i上

的动点，点/是圆(x-6y+(y+2)2=9上的动点，则「目-|咫的最大值为.

5.(2023春,江苏盐城•高二江苏省响水中学校考期末)已知圆Y+y2-4x-2y+3=0被直线

4:ax+y-2-a=0,/2：x-ay+2a-l=。截得的两条弦长分别为以“，则相〃的最大值为.

C综合素养

1.（2023春・江西•高三校联考阶段练习）已知圆C过点0（0,0）,A（-1,V3）,B（2,2⑹.

⑴求圆C的标准方程；

⑵若过点C且与X轴平行的直线与圆C交于点N,点P为直线x=5上的动点，直线PM,PN与圆C的

另一个交点分别为E,F（防与不重合），证明：直线EF过定点.

2.（2023春・安徽合肥•高二校考开学考试）已知圆心在x轴上的圆C与直线/：4x+3y-6=0切于点M

⑴求圆C的标准方程；

（2）已知N（2,l）,经过原点且斜率为正数的直线4与圆C交于P（&x）,。（匕,%）.求|PN「+|QN「的最大值.

第09讲2.5.1直线与圆的位置关系

学习目标

课程标准学习目标

①理解与掌握直线与圆的位置关系的判定

方法的代数法与几何法。

通过本节课的学习，会判断直线与圆的位置关系，会求

②会求与圆有关的直线方程与圆的方程。

切线方程、弦长及弦所在的直线方程，会根据直线与圆

③会根据直线与圆的位置关系求坐标、长

的位置求待定参数及圆的方程，能解决与直线、圆有关

度、面积、周长等。

的综合问题.

④会求待定参数并能解决与之相关的综合

问题。

思维导图

直

线

与

90。

知识点01：直线与圆的位置关系

1、直线与圆的三种位置关系

2.1几何法（优先推荐）

图象

—

位置相交/相切

关系

判定C:(x-6z)2+(y—bp=r2；C:(%-〃)2+(y-/?)2=r2；C:(x-6Z)2+(y—bp=r2；

方法

1:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=GoI:Ax+By+C=Go

圆心C（a,»到直线/的距离：圆心C（a,»到直线/的距离：圆心。（。力）到直线/的距离：

7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|7|Act+Bb+C|

d圆与直线相交。d=圆与直线相切。d>圆与直线相离。

2.2代数法

直线/：Ax+By+C=O；圆M尤2+/+瓜+硝+尸=o

Ax+By+C=0

联立<消去“》”得到关于“x”的一元二次函数4必+法+0=0

x+y1+Dx+Ey+F=Q

①A>00直线/与圆M相交

②A=0=直线/与圆M相切

③AvOo直线/与圆M相离

【即学即练1】(2023秋•浙江嘉兴•高二统考期末)直线2x+y-2=0与曲线(、+丫-1))/+/-4=0的交点

个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】因为曲线(x+y-l)jY+y2-4=0就是尤+y-1=0或/+尸=4,表示一条直线与一个圆，

(、

联立］2x++；y-12==00，解得(［x==l0，即直线2x+y-2=0与直线x+y_l=°有一个交点,(1,0)；此时，^/i-%-2--+--/-----4-

没有意义.

8

%二一

2x+y—2=0x=05

联立x“』,解得y=2或'所以直线2尤+〉-2=0与必+,2=4有两个交点.

6

y=-

5

所以直线2x+y-2=。与曲线(x+y-i)jY+y2-4=0的交点个数为2个.

故选：B

知识点02：直线与圆相交

记直线/被圆C截得的弦长为IA31的常用方法

1、几何法(优先推荐)

①弦心距(圆心到直线的距离)

②弦长公式：AB=2〃—屋

2、代数法

直线/：Ax+By+C=0；圆Mf+/+瓜+与+尸=0

Ax+By+C=0

联立消去“>"得到关于“了”的一元二次函数af

x2+y2+Dx+Ey+F=0+bx+c=0

弦长公式：AB=y/l+k2-，(石+%2『一4x^2

【即学即练2］(2023春・江苏南京•高二南京市江宁高级中学校联考期末)已知直线/：x+y-l=0：与圆

C:(x—3『+(y+4)2=5交于A8两点，贝卜.

【答案】2^/3

【详解】由圆C:(x-3)2+(y+4)2=5,可得圆心坐标为C(3,-4),半径为厂=店,

又由圆心C到直线/：x+y-1=0的距离为d=-"=0,

VI+1

根据圆的弦长公式，可得|=2>/4-储=24-(应了=.

故答案为：2A.

知识点03：直线与圆相切

1、圆的切线条数

①过圆外一点，可以作圆的两条切线

②过圆上一点，可以作圆的一条切线

③过圆内一点，不能作圆的切线

2、过一点6(%,%)的圆的切线方程(M:(x—o)2+(y—b)2=r2)

①点4(%,%)在圆上

步骤一：求斜率：读出圆心M(a,3,求斜率心材，记切线斜率为左，则底“衣=-In左

步骤二：利用点斜式求切线(步骤一中的斜率+切点《(％,%))

②点《(%,为)在圆外

记切线斜率为左，利用点斜式写成切线方程y-%=左(%-％)；在利用圆心到切线的距离d=r求出左

(注意若此时求出的k只有一个答案；那么需要另外同理切线为X=X。)

3、切线长公式

记圆M:(x-a)2+(y4)2=产；过圆外一点P做圆M的切线，切点为利用勾股定理求PH；

【即学即练3](202