人教版选择性必修一册高中数学讲义：拓展之异面直线所成角（传统法与向量法）（学生版+解析）

第07讲拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）

jQ知识清单

1、（传统法）核心技巧：平移使相交

具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角

2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角

已知a,b为两异面直线，A-C与B，。分别是b上的任意两点，a,b所成的角为。，则

ACBD

①cos<AC,BD>=

\AC\\BD\

\ACBD\

②cos3=|cos<AC,BD>|=7-----------

AC\'\BD

豳题型精讲

题型01求异面直线所成角（定值）（传统法）

【典例1］（23-24高一下•山东烟台•阶段练习）已知在长方体中，AB=BC,直线AC1与

平面ABCD所成角的正弦值为冷,N为线段3c的中点，则直线A片与直线C|N所成角的余弦值为（）

【典例2］（23-24高一下•浙江•阶段练习）在正三棱柱ABC-A耳G中，叫，面ABC,2AB=AAl,则异

面直线AC与A4所成角的余弦值为（）

【变式1］（2024•重庆・模拟预测）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，分别是P"3c的中点,

点P在平面ABCD内的射影为N,PA与平面ABCD所成角的正切值为2,则直线总与MC所成角的余弦值

为（）

题型02求异面直线所成角（定值）（向量法）

【典例1】（2024•辽宁沈阳•模拟预测）己知直三棱柱ABC-AB©中，/ABC=120。,AB=CCt=2,BC=1,

则异面直线A与与BG所成角的余弦值为（）

A.BB.姮C.巫D.且

2543

【典例2］（23-24高三上•广西•开学考试）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们

的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为2c

的中点，则异面直线EG与防所成角的正弦值为.

【典例3】（2024高一下・全国•专题练习）如图，已知。是圆柱下底面圆的圆心，人4为圆柱的一条母线，

.2兀.

B为圆柱下底面圆周上一点，OA=1,ZAOB=^,AAZ?为等腰直角三角形，则异面直线AQ与A3所成

角的余弦值为

TT

【变式1】（2024•湖北武汉•模拟预测）已知菱形A3CZ）,ZDAB=~,将△ZMC沿对角线AC折起，使以

A,民C,。四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线A8与8所成角的余弦值为（）

A』Bf38

A•D.L.L）.

5244

【变式2］（23-24高三下•四川德阳・期末）正四面体A3C£＞中，E、P分别是AB和。的中点，则和

AC所成角的大小是.

【变式3】（23-24高二上•广东茂名•期末）长方体A8CD-ABGA中，AB=BC=2,CCl=l,点F是底

面ABCD的中心，则直线AG与直线BF所成角的余弦值为.

题型03求异面直线所成角（最值或范围）

【典例1］（23-24高二下•山东烟台•阶段练习）如图，在边长为1的正方体ABCD-ABIGA中，点P在4G

上，点。在平面内，设直线AA与直线尸2所成角为仇若直线PQ到平面AC?的距离为也，贝bin。

2

的最小值为.

【典例2］（23-24高二上•浙江金华•阶段练习）如图，在多面体ABCDE中，.平面ABC,平面BCD_L

平面ABC,.ABC是边长为2的等边三角形，BD=CD=下,AE=2.

B

⑴求点B到平面ECD的距离；

（2）若M为3c的中点，N为线段砥上的动点，设异面直线。与MN所成角为凡求cos。的最大值及此时

EN_

f的值

ED

【变式3］（23-24高二上•吉林通化・期末）如图，在正四棱锥V-ABCD中，二面角V-3。-。为60。，E

VF

为3c的中点.已知F为直线VA上一点，且F与A不重合,若异面直线与侬所成角为6。。,则祈

题型05易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围

【典例1］（23-24高二上•辽宁•期末）直三棱柱ABC-A瓦G中，AC=AB=2,BC=2近,"=3,则直线

AG与4声夹角的余弦是（）

991616

A.-----B.—C.——D.—

13132525

【典例2］（23-24高二上•黑龙江齐齐哈尔•期末）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为"曲池"

的几何体，该几何体为上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所

示的曲池，其中明，底面ABCD,底面扇环所对的圆心角为,，扇环对应的两个圆的半径之比为1:2,

AB=\,M=1-E在4〃上且为靠近2的三等分点，则异面直线班与C］。所成角的余弦值为（）

\/6—^2^2—\/6ry［6+V?A/6—^2

A.------------b.-----------c.-----------u.-----------

2444

【变式1］（23-24高二上•湖北武汉•期末）已知两条异面直线的方向向量分别是〃=（-3,1,-2）,v=（3,2,1）,

则这两条异面直线所成的角。满足（）

A.sin^=-B.cos6=——

1414

7115

c.sin6=一D.cos6»=-—

1414

【变式2］（23-24高二上•山东枣庄•阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD1

底面ABCD,PD=2DC,E为PC上一点,且PC=4EC,则异面直线AC与BE所成角的余弦值为（）

742DV42rV21NA/21

14141414

第07讲拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）

知识清单

1、（传统法）核心技巧：平移使相交

具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角

2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角

已知a,b为两异面直线，A，C马B，。分别是。，b上的任意两点，a,b所成的角为。，贝U

\AC-BD\

②cos0=|cos<AC,BD>|=

I研丽I

题型精讲

题型01求异面直线所成角（定值）（传统法）

【典例1］（23-24高一下•山东烟台•阶段练习）已知在长方体ABCD-ABCB中，AB=3C,直线AG与

平面ABCD所成角的正弦值为冷,N为线段3C的中点，则直线A片与直线C|N所成角的余弦值为（）

,史

【答案】A

【分析】结合条件根据线面角的定义求得GC,连接G2DN,根据异面直线夹角的定义，利用余弦定理

求解即可.

【详解】连接AC,因为GC，平面A3CD,所以NC|AC为直线AG与平面A3。所成角,

设A3=3C=a,CC]=/i,则AC二AC]=,2/+元,

所以sin/£AC=~1f=?=乎,所以〃=立〃，

GA,2/+后52

连接连接GDOV,由长方体的性质知，4G//A。且

所以四边形A〃G与为平行四边形，

所以A4〃DC〉则ZNQD或其补角即为直线AB1与直线QN所成角，

22

在NC]。中，DCX=y/a+h=a,NC{=a,DN=a>

3/3Q25Q2

所以由余弦定理得cosNNC\D==2；44=X0

ZC.JLJ-CJVcVO731,

2xax—ci

22

即直线A片与直线C|N所成角的余弦值为YZ.

3

故选：A

DxG

AB

【典例2]（23-24高一下•浙江•阶段练习）在正三棱柱A3C-AAC中,AA_L面ABC,2AB=AA,,贝！|异

面直线AC与A4所成角的余弦值为（）

【答案】A

【分析】分别取4男,朋,AB,AC的中点F,E,H,G,可得ZFEG是异面直线4c与A4所成角即为所与EG

所成角（或其补角），在AEFG中，由余弦定理求解即可.

【详解】分别取A瓦,的中点F,E,H,G,

连接EF,FH,EG,GH,FG,所以£F//4综EG//A。，

所以异面直线4c与A与所成角即为所与EG所成角（或其补角），

即N五EG,设2AB=44]=2,所以£F=EG=

FG=^FH2+GH2=

一5--5---1-7

222

EF+EG-FG44447

所以在EFG中，所以cos/EEG=

2EFEG2小逐5W

2

7

所以异面直线AC与A与所成角的余弦值为工.

故选：A.

【变式1］（2024・重庆•模拟预测）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，M,N分别是PD/C的中点,

点P在平面ABCD内的射影为N,PA与平面A3CD所成角的正切值为2,则直线以与所成角的余弦值

为（）

【答案】A

【分析】根据题意，由条件可证MC〃£W,则直线R4与MC所成的角为NAEN,然后结合条件以及余弦

定理代入计算，即可得到结果.

【详解】

如图，取R4的中点E,连接EM,EN.因为分别是24,尸。的中点,

所以EM//ADEM=-AD.

2

因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO//BC,AD=-BC.

2

因为N为BC的中点，所以NC=：BC,所以EM//NC,EM=NC.

故四边形包区可为平行四边形，所以MC〃敬,

所以直线上4与MC所成的角为NAEN.

连接PN,AN,因为点尸在平面ABCD内的射影为N,所以两人平面ABCD,

所以24与平面A3CD所成的角为NE4N,所以tan/EAN=2.

不妨令PN=2,贝！J3=1,所以PAMJPM+AN?=占,

所以EA=EN=@,

2

在"EN中，

EA2+EN2-AN。

由余弦定理得cosZAEN=

2.EA-EN

故选：A.

【变式2］（23-24高一下•安徽阜阳•期中）如图，在正方体ABCQ-ABGA中，M,N分别为。。/和C。

的中点，则异面直线AM与BN所成角的余弦值为（）

4

D.I

【答案】A

【分析】E,尸分别为AB,8瓦的中点，NEC/或其补角为AM与BN所成的角，设正方体的边长为。，余弦

定理求解即可.

【详解】取4B的中点E,B片的中点尸，连接EQ/G，

又M,N分别为GA和CG的中点，正方体中，QN//FB,C\N=FB,

四边形GNBP为平行四边形，有FCJIBN,

同理有EC,//AM,则NEC/或其补角为AM与所成的角,

EC；+FC；-EF。

所以cos/EC/=

-2EC、FC\

即异面直线AM与BN所成角的余弦值为乎.

故选：A.

【变式3］（23-24高三上•河南鹤壁•期中）如图，在正三棱柱ABC-A与G中，的=4,AB=2,则直线

与直线B£所成角的正切值为.

【答案】早］底

【分析】根据给定条件，作出直线与直线BC所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.

【详解】在正三棱柱ABC-A再G中，连接明交BC于。点，取4G的中点R连接。尸,

显然。是BG的中点，则。尸//AB,/与。厂是4B与4c所成的角或其补角,

2222

在’08尸中，B1F=6,OBt=^BtC=174+2=75,OFA.B=^4+2=A/5,

(百丁十(6)2—(6)27Jl-cos?NBQF_751

cosZB{OF=一，tanZB.OF=

2x^5x^5101cosZB^OF7

所以直线A3与直线所成角的正切值为叵.

7

故答案为：耳

【变式4】(2024•全国•模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AC=y/3,SC=1,PA=PB=PC=AB=2,M

为AC的中点，则异面直线8M与R4所成角的余弦值是.

【答案】咚

【分析】先根据异面直线所成角的定义确定血B为异面直线皿与B4所成的角或其补角；再根据勾股定

理求出即4,余弦定理求出cosNDCB.,进而得出BEP；最后在8A仍中，利用余弦定理即可求出cos/DMB.

【详解】取PC的中点D,连接如图所示:

p

因为M为AC的中点，。为尸。的中点,

则根据三角形的中位线定理可得DM//PA,且DM=,PA=1.

2

所以ZDMB为异面直线与a所成的角或其补角.

因为在“ABC中，AC=0,BC=1,AB=2,

所以AB?=3C2+AC2,则AC13C.

^AM=MC=-AC=—,所以=JBC2+MC2=立.

222

又在PBC中，BC=1,PB=PC=2,

72_i_I2_721

所以由余弦定理可得：cosNDCB=J

2x2x14

又因为在中，DC=BC=1,

I3

所以由余弦定理可得：BD2=l+l-2xlxlx-=-.

42

173

/z.cDM2+BM1-BD-1+4-2577

则在中，由余弦定理可得,cosZDMB=-----------------------

2xDMxBM2小也一28

2

所以异面直线BM与PA所成角的余弦值为空.

故答案为：这.

28

题型02求异面直线所成角（定值）（向量法）

【典例1】（2024•辽宁沈阳•模拟预测）己知直三棱柱ABC-AB©中，ZABC=120°,AB=CC1=2,BC=1,

则异面直线A片与BG所成角的余弦值为（）

A.D..

254

【答案】C

【分析】根据空间向量法求线线角解决即可.

【详解】以3为原点，在平面A3C过B作8C的垂线交AC于。，

以8£＞为x轴，以BC为V轴，以B片为z轴，建立空间直角坐标系,

因为直三棱柱ABC-A再£中，/ABC=120。，AB=CCi=2,BC=1,

所以A(A/3,-1,0),耳(0,0,2),5(0,0,0),q(0,1,2),

所以曲=(-73,1,2),Bq=(0,1,2),

设异面直线AB,与8G所成角为。,

\ABBC\5Tio

所以cos。=c

\ABX\-\BCX\A/8,A/54

故选：C.

【典例2］（23-24高三上•广西・开学考试）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们

的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为8C

的中点，则异面直线EG与B尸所成角的正弦值为.

E

【答案】叵

6

【分析】依题意，求出棱长，建立空间直角坐标系，借助向量求出异面直线夹角的余弦值，再转换为正弦

值即可.

【详解】

连接30AC交于。点，连接收，

因为该几何体是一个高为4的正八面体，

所以3£>_LAC,EF=4,OE=2,

设棱长为。，则4。=缶，。4=叵，

2

所以在RtAAOE中，AE2=O^+OE2,即/=［孚］+2?,解得°=20，

以OA,OB,OC所在直线为％%z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则E（0,0,2）,C（-2,0,0）,G（-l,l,0）,S（0,2,0）,F（0,0,-2）,

所以EG=（-1,1,-2）,3/=（0,-2,-2）,

设异面直线EG与8尸夹角为。，

EGBF(-1)x0+1x(-2)+(-2)x(-2)

则cos0=

EG^BF^(-1)2+12+(-2)2J(-2『+(-2)2~6

因为640微

所以异面直线EG与BF所成角的正弦值sin3=Vl-cos2^=等

故答案为：—.

6

【典例3】（2024高一下•全国•专题练习）如图，已知。是圆柱下底面圆的圆心，他为圆柱的一条母线,

8为圆柱下底面圆周上一点，OA=1,ZA0B=y,然2为等腰直角三角形，则异面直线AQ与A3所成

角的余弦值为.

【分析】可借助等角定理得到/用4。或其补角即异面直线4。与A3所成的角，结合余弦定理计算；或借

助空间向量的线性运算得到AlO-AB=^AO-AAiyAB=AO-AB-AAiAB=|OA|-|AB|COS^=|,再利用夹角

公式计算.

【详解】方法一：

如图，过点8作2瓦〃相交圆柱的上底面于点4,连接A与，BQ,

则由圆柱的性质易证四边形4片仍为矩形，所以4瓦//43,

所以/用4。或其补角即异面直线4。与AB所成的角,

在中，OA=OB=1,ZAOB=—,所以A3=20Bsin^^=2sin^=石,

323

因为AA8为等腰直角三角形，且AAJ.AB,所以AA=AB=6，

所以BQ=Afi=小A4?+OA2=2,又44=AB-E，

攻+外哥-攻4+3_4

所以COS/与4。=

2Ao-2x2x6-4

即异面直线4。与例所成角的余弦值为当

27r

在,ABO中，OA=OB=1,ZAOB=—,

所以AB=20Bsin'=技ZOAB=-,

36

因为44出为等腰直角三角形，且所以用=筋=百，

易知A41_LAO,所以AO=/4短+QV=2,AA]-AO=0,AAi-AB=O,

所以AO.AB=（AO-裕）A3=AO.A3-A4rAB=|O4|A@COS《=T，

3

2=5.

所以cos（AO,A3）4。A3

P4M2x734

则异面直线\0与AB所成角的余弦值为昱.

4

故答案为：走.

4

【变式1】（2024•湖北武汉•模拟预测）已知菱形A3CD,ZDAB=1,将△ZMC沿对角线AC折起，使以

A,民C,。四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线A3与8所成角的余弦值为（）

A,-B.3C,-D.正

5244

【答案】C

【分析】当三棱锥。-ABC的体积最大时，平面ACDL平面A5C,以“为原点，EB,EC,ED分别为x，y，z

轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量AB,CD的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解.

【详解】记AC的中点分别为E,因为AD=CD,所以OE人AC,

同理，BELAC,记AB=2a,

因为=所以行MC=BAC=-,

36

所以BE=DE-a,AE=CE=6a,

TT

易知，当平面AS,平面A5c时，三棱锥O-ABC的体积最大，此时/吕钊二,，

以E为原点，£氏£。,皮）分别为苍y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A（0,-百〃,0）,B（«,0,0）,Ce,6a,0）,£＞（0,0,«）

所以AB=（。,y/3a,0j,CD=（0,-a）,

所以cosAB,CD=3a=一』,

2ax2a4

3

所以异面直线AB与8所成角的余弦值为一.

4

故选：C

【变式2]（23-24高三下•四川德阳•期末）正四面体ABCD中，£、厂分别是43和8的中点，则EF和

AC所成角的大小是.

【答案】45。/!

4

【分析】构造辅助线，利用中位线定理得到NGEE是所和AC所成角，然后结合向量数量积的变形即可求

解.

【详解】取A0中点G,连接EG,FG,令棱长为

因为E、歹分别是A8和8的中点，

所以EG〃9，EG=-BD,GF//AC,GF=-AC,

22

所以ZGFE是EF和AC所成角,

11,

又BA-BC=BA-BD=BC-BD=a^a—=—a2,

22

FG=-CA=-（BA-BC]=-BA--BC,

22、>22

FE^FC+CB+BE=-DC-BC+-BA

22

=-(BC-BD\-BC+-BA=-BA--BC--BD,

2、>2222'

122Jy222)4

|=]，r_V2

FG=\BA-\BCFE=-BA--BC--BD|-2"）

222

FGFEV2

所以cos/GFE=

FG||FE|2，

所以NGEE=45。，即M和AC所成角的大小为45。.

故答案为：45°

【变式3］（23-24高二上•广东茂名•期末）长方体ABCD-A4GA中，AB=BC=2,CQ=1,点尸是底

面A3CD的中心，则直线AQ与直线BF所成角的余弦值为

【答案】乌！石

99

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标进行计算即可.

【详解】如图所示，建立如下空间直角坐标系,

依题可得，A（2,0,0）,G（0,2,1）,/（1,1,0）,4（2,2,1）,

ACj-FB]-2xl+2xl+lxl_73

所以cosAC1,做=

HH也忑一9

故直线AG与直线所成角的余弦值为当，

故答案为：走.

9

题型03求异面直线所成角（最值或范围）

【典例1］（23-24高二下•山东烟台•阶段练习）如图，在边长为1的正方体ABCD-AqG0中，点尸在4G

上，点Q在平面ABBiA内，设直线A4与直线尸。所成角为夕若直线P。到平面AC，的距离为且，贝”in。

2

的最小值为.

AG

［答案］6

3

（分析］建立空间直角坐标系，利用向量法表示出P到面ACR的距离，进而求出点P坐标，过尸作平面ACDt

的平行平面，得到点。的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可.

【详解】因为直线尸。到平面ACQ的距离为更，

2

所以必有尸。〃面ACD］,即点尸到平面AC。的距离为昱,

2

如图建立空间直角坐标系，设尸（P』」），又4（1,0,0）,C（0,1,0）,。（0,0,1）,

则AC=（-1,1,0）,40,=（-1,0,l）,CP=（p,0,l）,

设面ACD｛的法向量为乃=（x,y,z）,

AC-n=-x+y=0,、

则，取尤=1得〃=（1』,1）,

ADl-n=-x+z=0

则归*1=甲=且，解得p=;,即尸

\n\V32212）

过尸作平面AC，的平行平面，与正方体ABCD-4AGA的截面为丽,

V,N分别为线段4片和线段B片的中点，则

所以。在直线MN上，

^PQ=PM+MQ=PM+AMN=0\+A[0,-,--I=I

y22JI22Jy2222

_|%尸。|

又刈=（。,。,1）,则侬6=时阕

当2=0时，cos0=0,

口

cos0<------

A/2XT-T,

则sin。的最小值为Jl-

一3

故答案为：手

【典例2](23-24高二上・浙江金华,阶段练习)如图，在多面体ABCDE中，平面A3C,平面3CD_L

平面ABC,A5C是边长为2的等边三角形，BD=CD=s/5,AE=2.

B

⑴求点B到平面ECD的距离；

(2)若M为8c的中点，N为线段BE上的动点，设异面直线CO与所成角为。，求cos。的最大值及此时

EN_

言的值

ED

【答案】⑴半

,9,A/8057

3511

【分析】

(1)说明08,49,8两两垂直，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ECD的法向量，根

据空间距离的向量求法，即可求得答案；

(2)设EN=/l即(0W2W1),表示出N点坐标，即可求得MN坐标，结合的坐标，根据空间角的向量

求法，即可求得cos。的最大值及此时F芸N的值.

【详解】(1)设BC的中点为。，连接AO,。。，KuBD=CD=s/5,则

ABC是边长为2的等边三角形，故OC=1,则0O=JCD2_OC2=2,

平面BCD_L平面ABC,平面BCD一「平面ABC=8C,DOu平面BCD,

故DO_L平面A5C,AOu平面A5C,故。O_LAO,

乂ABC是边长为2的等边三角形，BC的中点为。，故AO23C,

故以OB,AO,OD所在直线为x,7z轴，建立空间直角坐标系，

则Ae,一后0),2(1,0,0),。(0,0,2),E(0,-V3,2),C(-l,0,0),

C£>=(1,O,2),CE=(1,-V3,2),

n-CD=x+2z=0

设平面CED的一个法向量为〃=(%,y,z)则

n-CE=x-布y+2z=0

令尤=2,则〃=(2,0,—1),又CB=(2,0,0),

故点B到平面ECD的距离为d=0包=与=还;

\n\V55

(2)M为2C的中点，即为。点；

N为线段助上的动点，设EN=XE8(04241),

而班=(1,右,一2),即硒=彳(1,6,一2),故点N(X,石(2-1),一2(力一1)),

故MN=(2,A/3(A-l),-2(2-1)),而CD=(1,0,2),

设异面直线8与MN所成角为。，则cos6=|cos（MN,CD）|=心,①

\MN\\CD\

__________14-3-1_________|4-32|

A/S7A2+3（2-1）2+4（2-1）2后，8几2—14力+7'

令f=4-33je[l,4],则彳

|4-32|31fl3

故BW?一14X+7后弧2一221+23匹卜子+军，

112223

4-=v,ve[-,l],贝IJ8——+—,即为235—22v+8,

t4tt

当V="eG,1]时，23V2_22v+8取得最小值||,

„237-3一艮麻

即，=打，即4-32=F/.2=五时，w122।23取得最大值E73535，

即cos。的最大值为叵，此时黑的值为j

35EB11

【典例3]（23-24高三下•湖南长沙•开学考试）三棱锥尸-ABC中，上4,平面ABC,ABJ.BC,AB=BC=2.

PA=2有，点。是面R4B内的动点（不含边界），AD±CD,则异面直线8与A3所成角的余弦值的取

值范围为（）

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，由AD29，可得/_2x+z2=0（0〈尤＜撩），再利用线线角的向量求法求

解即得.

【详解】由2，平面ABCBCu平面A3C,得上4L3C,

又AB_LBC,PA45=从尸418(^平面/^,则3C2平面R4B,

ADu平面aB,则AD13C,又AD_LC£>,BC8=C,3C,C£>u平面BCD,

因此AD_L平面BCD,而BDu平面BCD,则ADS3D,

如图，以A为坐标原点，AB,BC,AP的方向为x，Mz轴正方向建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),。(2,0,0),。(2,2,0),尸(0,0,2®设。(x,0,z),

3

AO=(x,0,z),3Q=(x—2,0,z),由ADIHD,^x2-2x+z2=0(0<x<-),

AB=(2,0,0),CD=(x—2,-2,z),设异面直线CD与AB所成角为0,

\ABCD\2(2-x)2—x

则cos0=|cos(AB,CD)|二

\AB\\CD\~27(X-2)2+4+Z2-A/2-74^1'

）

令j4—x=t,贝！—,2),cos6=2

显然函数y=在（半，2）上单调递增，此时"je（噜，D'c°sOe

所以异面直线8与AB所成角的余弦值的取值范围为

故选：A

【点睛】思路点睛：求空间角余弦的最值或范围问题，根据给定条件，选定变量，将该角的余弦建立起变

量的函数，求出函数最值或范围即可.

【变式1］（23-24高二上•山东潍坊•期末）在直三棱柱ABC-中，的=4,A8=26,平面。经过

点A,且直线AA与平面&所成的角为30。,过点a作平面a的垂线，垂足为则点A到平面口的距离为

直线AA与BH所成角的范围为.

【答案】2［30。,60。］

【分析】利用得出H在以A4为直径的球面上，其时可得出A到平面。的距离，由直线A4与

平面。所成的角为30。，得“在以A4为轴，顶角为60。的圆锥面上，从而得出”的轨迹是圆，然后建立如

图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求得3"与A4所成角的余弦值，角的范围.

【详解】如图，连接因为AHua,所以

所以H在以朋为直径的球面上，又直线AA与平面a所成角为30。，而/AA8即为直线AA与平面&所成

的角，因此NAAH=30。，因此H在以AA为轴，顶角为60。的圆锥面上，

过H作/£0,AA于点O,则其中的长即为4到平面a的

距离.

所以H在圆锥40的底面圆上，。为圆心，半径为G，

以A8为V轴，A4为z轴，过A与A3垂直的直线的为了轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则8（0,2石,0）,设H（石cos仇括sin0,3）,

BH=cos0,sin（9-2^,3）,取A4,的一个方向向量为”=（0,0,1）,

\BH,"L厂3厂36工

cosBH,n=

BH同J3cos20+3(sin3-2)2+9j24-12sind以2’2」

又QVBH,nMn,所以3",

63

所以直线BH与A4所成角的范围是邑口，即［30。,60。］,

故答案为：2；［30。,60。］.

【变式2］（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期末）如图，在长方体ABCD-A/CQ中，E是人4的中点，点

尸是A。上一点，AB=AAl=2,BC=3,AF=1,动点尸在上底面AAGA上，且满足三棱锥尸—班尸的

体积等于1,则直线CP与所成角的余弦值的最大值为

【答案】外

（分析］建立空间直角坐标系，设尸（九n,2）（0<m<3,0<n<2）,通过向量法算出点P到平面BFE的距离,

结合三棱锥P-3E厂的体积等于1可得到2"「〃=2,再通过向量法计算直线CP与所成角的余弦值的

范围，继而算出答案

【详解】以。为坐标原点，分别以DC,OR所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

P（m,n,2）（0W相V3,0W〃V2）,则/（2,0,0）,E（3,0,1）,8（3,2,0）,C（0,2,0）,

A（0,0,2）,

FB=（1,2,0）,FE=Q,0,1）,CP=（叫及—2,2）,DR=（0,0,2）,

设平面ME的法向量为4=（尤,y,z）,贝I]"-"x+ZwO,令片2,得a=（2,-l,-2）,

a•FE=x+z=0

上.£尸||2/77-8-

而EP=,则点P到平面BFE的距离d=

开二i

又EP=JF+12=e,BF=BE=Jf+爱=小，

在等腰△班E中，B到中:的高为扃-—=—,则SBFE'X0X述=』，

22222

1c413日\2m-n-8\

而Vp_BFE=7xSBFExd=二义二义d=1,于THd=--------------=2，

3BFE323

解得2加一九=2或2加一〃=14，由0«根«3,。«〃42,得一202加一〃46,贝U2m-n=2f

jrCPDD、4

设直线W与所成的角为氏