工程力学(高教版)教案：3.2-力偶

第二节力偶一、力偶、力偶矩在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力（图3－7a）；工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图3－7b）；以及用两个手指拧动水龙头（图3－7c）所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号(F,F′)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。图3－7实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体转动效应就愈显著。因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，(作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，用m或m(F,F′)表示，如图3－8所示，即m(F)＝F•d=±2ΔABC(3-4)图3－8通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N••m）或千牛顿•米（kN•m）。二、力偶的性质力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：（1）力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。设刚体上的A和B分别作用着大小不等，指向相反的平行力F1和F2，若F1＞F2。由同向平行力合成的内分反比关系，来求反向平行力的合力。图3－9b所示，将力F1分解成两个同向平行力，使其中一个分力F2′作用于点B，且F2′＝－F2，设另一个分力为FR，其作用线与AB的延长线交于C点。现将平衡力F2和F2′减去，力FR就与原来两反向平行力F1和F2等效。即力FR为F1和F2的合力。（图3－9b）图3－9因为F2＝F2′＋FR＝F2＋FR所以FR＝F1－F2由内分反比关系知若F1＝F2，则力F1和F2组成力偶，此时，FR＝0，于是CA＝∞CA＝∞，说明合力的作用点C不存在，所以力偶不能合成为一合力。即力偶不能用一个力代替，也不能与一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。(2)力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。图3－10如图3－10所示，力偶(F,F′)的力偶矩m(F)＝F•d在其作用面内任取一点O为矩心，因为力使物体转动效应用力对点之矩量度，因此力偶的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内任何一点的矩的代数和来量度。设O到力F′的垂直距离为x，则力偶(F,F′)对于点O的矩为mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)=F（x+d）-F′x=F•d=m所得结果表明，不论点O选在何处，其结果都不会变，即力偶对其作用面内任一点的矩总等于力偶矩。所以力偶对物体的转动效应总取决于偶矩（包括大小和转向），而与矩心位置无关。由上述分析得到如下结论：在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶的代数值相等，则这两个力偶相等。这就是平面力偶的等效条件。根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：推论1力偶可在其作用面内任意移动和转动，而不会改变它对物体的效应。推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因此，力偶可以用一带箭头的弧线来表示如图3-11所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。图3－11三、平面力偶系的合成作用在物体同一平面内的各力偶组成平面力偶系。设在刚体的同一平面内作用三个力偶(F1,F1′)(F2,F2′)和(F3,F3′)，如图3－12所示。各力偶矩分别为：m1＝F1•d1，m2＝F2•d2，m3＝－F3•d3，图3－12在力偶作用面内任取一线段AB＝d，按力偶等效条件，将这三个力偶都等效地改为以为d力偶臂的力偶(P1,P1′)(P2,P2′)和(P3,P3′)。如图3－12所示。由等效条件可知P1•d=F1•d1，P2•d＝F2•d2，－P3•d＝－F3•d3则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系（图3－12b）。将这两个共线力系分别合成，得FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′可见，力FR与FR′等值、反向作用线平行但不共线，构成一新的力偶（FR，FR′），如图3－12c所示。为偶（FR，FR′）称为原来的三个力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，则M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1•d+P2•d－P3•d=F1•d1+F2•d2－F3•d3所以M＝m1＋m2＋m3若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。四、平面力偶系的平衡条件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。即Σm＝0（3－6）平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。例3－2如图3－13所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶矩m＝2.5kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少？图3－13解取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。设4个螺栓的受力均匀，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。由Σm＝0，m－F×AC－F×d＝0解得例3－3水平杆重量不计，受固定铰支座A及CD的约束，如图3－14所示，在杆端B受一力偶作用，已知力偶矩m＝100N•m，求A、C处的约束反力。图3－14解取AB杆为研究对象。作用于AB杆的是一个主动力