人教版高中数学选择性必修一复习讲义：椭圆的简单几何性质

第02讲3.L2椭圆的简单几何性质

学习目标

课程标准学习目标

①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中〃，

b,c,e的几何意义。通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量。，b,C,

②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的

会用椭圆的几何意义解决相关问题。大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、

③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关周长、面积等问题。

系，会求直线与椭圆相交的弦长。

思维导图

①联立直级方程与HBI方程.

②清元得出关于E或F）的一元二次方程.

③当J>ow,直线与相交：当4=0时，直线与HBI相切；

-J<<廿.直线与陋制相离.______________________________

含参直线如果过定点，找出定点,判断定点与椭圆的位置关

直线与椭圆

的位置关系系，从而判断线与椭圆的位置关系：点在椭圆内-一相交：

点在椭圆上--相交或相切

|.4B|=A/1+lr•J(n+«):—4*i*i=+Ar)[(n+J1)1—.

点差法推导过程以焦点在x轴的林园为例

(1)设点：设直线与曲线两交点坐标A(\,力)8(》,力)

AB的中点坐标M(Xo，yo)

(2)代曲:

⑶相■年+应*=0整理的,一八』*2=~

■bX,-Xj玉。

(4)结论：

知识点01：椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

JL

图形

♦MM少出无B\o\B2X

寸NZ

2222

标准方程=十1=1((2>Z?>0)'+三=1Ca>b>0)

a2b1a2b2

范围-a<x<a,-b<y<b-b<x<b,-a<y<a

4(—a,0),4(a,0),A/0,-a)4(0,〃)

顶点

4(0,—A),不(。力)B1(-b,0)与(80)

轴长短轴长=2b,长轴长=2。

焦点(±c,0)(0,±c)

焦距|耳居|=2c

对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点

离心率e，,ee(0,l)

a

【即学即练1】（2023春•河北石家庄•高二正定中学校考阶段练习）若椭圆C:二+汇=1的离心率为逅,

m23

则椭圆C的长轴长为.

【答案】2面或20

【详解】因为椭圆三+匕=1的离心率为逅，易知，〃>0,

m23

当机>2时，椭圆焦点在入轴上，a2=m,b2=2,

所以£-=生匚=9,解得根=6,则4="，所以椭圆的长轴长为26.

当0〈根<2时，椭圆焦点在y轴上，4=2,b2=m,

所以£-="=9,得相==，满足题意，

a2293

此时a=0，所以椭圆的长轴长为20.

故答案为：2面或2a.

知识点02：椭圆的简单几何性质

离心率：椭圆焦距与长轴长之比：e=*e=j—（与.（0<e<l）

当e越接近1时，c越接近。，椭圆越扁；

当e越接近0时，c越接近0,椭圆越接近圆；

当且仅当a=6时，图形为圆，方程为/+,2=/

22

【即学即练2]（2023春•云南玉溪•高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知椭圆耳q+2=l（a〉b〉0）

ab

的右焦点为尸2,左顶点为A，若石上的点尸满足尸工，1轴，tanNPAE=；，则£的离心率为（）

1211

A.-B.-C.-D.一

2545

【答案】A

x=c

A2h2

【详解】设工（c，0）,则直线尸K：%=c,由122,得|y|=2,^\PF2\=—,

—7+一=1aa

[a2b2

,,1PK12b2

而A（-〃,0）,4闾=〃+。，由tanNP4K=z，得।।=彳,即〃+c=,

2|4人212a

有a+c=2（/一L）,又a>c，因止匕q=2c,

a

c1

所以E的离心率为e=£=：.

a2

故选：A

知识点03：常用结论

2222

1、与椭圆二+==1（a>沙>0）共焦点的椭圆方程可设为：——+?—=i（M>一/）

aba+mb+m

/>2

2、有相同离心率:=k（左>0,焦点在1轴上）或2r+=k（左>0,焦点在工轴上）

a

22

3、椭圆j+4=1的图象中线段的几何特征（如下图）：

a2b-

（1）|尸〉+|尸闾=2。；

(2)\BF^=\BF^=a,\OF^\OF^=c,4同=/邳=俄+/；

(3)RE1=%阊=a-c,/阊=%用=a+c,a-c<\PF^<a+c-

知识点04：直线与椭圆的位置关系

1、直线与椭圆的位置关系

y2

将直线的方程y=辰+b与椭圆的方程二+=1（a>b>0）联立成方程组，消元转化为关于X或y的一元

aF

二次方程，其判别式为△.

①A>0=直线和椭圆相交=直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；

②A=0=直线和椭圆相切=直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；

③A<0=直线和椭圆相离=直线和椭圆无公共点.

2

【即学即练3］（2023春•江西吉安•高二校考期中）直线y=x+l与椭圆苫2+乙=1的位置关系是（）

2

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】C

y=x+1

【详解】联立，V2=>3X2+2X-1=0,

%+—=1

I2

则A=22+4X3=16>0

所以方程有两个不相等的实数根,

所以直线与椭圆相交

故选：C.

2、直线与椭圆的相交弦

直线与椭圆问题（韦达定理的运用）

（1）弦长公式：若直线/：丁=丘+人与圆锥曲线相交与A、B两点,A（毛，%）,8（%2，为）则：

弦长|人q=一九+（%—乃尸=一%）2+（左％一]々产=J1+A|七-々|

=J]+左-J（X1+尤2『一

弦长|蝴=j+gN—刃

这里I%-%I,I%-%I，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

22

M々|=J（XI+X2）-4X1X2；I乂一%卜yj（yl+y2）~4y1y2

22

（2）结论1：已知弦A3是椭圆二+[=1（a>b>0）的一条弦，中点/坐标为（％，为），则A3的

ab

b2x

斜率为—

a%

运用点差法求AB的斜率，设A（M，M）,3（%，%）；A、5都在椭圆上，9'

F+-

Ia

两式相减得：立二+-2=0,、-1）%+々）_区-%）『+%）=0

a2b2a-b2

即"z&=—g.色—=_"，故&B=_"

菁一龙2a~3+%a~y0ay0

,2

结论2：弦AB的斜率与弦中心Mr和椭圆中心0的连线的斜率之积为定值：---

（3）.已知椭圆方程工+==1（4〉。〉0）,长轴端点为A，4，焦点为片，F,,尸是椭圆上一点,

ab"

ZFiPF2=a.求：的面积（用。、b>a表示）.

设尸（x,y）,由椭圆的对称性，不妨设尸（x,y）,由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限.

由余弦定理知：山闾2=户周2+户闾2_2户用.户闾COSC=4C2①

由椭圆定义知：\PF\+\PFA=2a②，则②2一①得俨7讣俨居_

1+COS6Z

故臬"6=；户制忖局sine=62tan^

221+cosa2

22

【即学即练4】（2023•全国,高三对口高考）通过椭圆上+乙=1的焦点且垂直于无轴的直线/被椭圆截得的

43

弦长等于（）

A.2』B.3C.币D.6

【答案】B

【详解】由题设，不妨设过焦点（1，。）且垂直于x轴的直线/:x=l,

代入椭圆方程得上+匕=1,可得y=±9,故被椭圆截得的弦长等于3.

432

故选：B

题型精讲

题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质

2222

【典例1】（2023春•上海杨浦•高二校考期中）椭圆上+上=1与椭圆^+3^=1（〃?<9）的（）

A.长轴相等B.短轴相等C.焦距相等D.长轴、短轴、焦距均不相等

【典例2】（2023秋•高二课时练习）已知尸点是椭圆兰+匕=1上的动点，A点坐标为佶,。］,贝UIPAI的

最小值为（）

【典例3］（2023秋・浙江湖州•高二统考期末）椭圆4/+49/=196的长轴长、短轴长、离心率依次是（）

A.7,2,—B.14,4.—C.7,2,—D.14,4,—

7777

【变式1］（2023春•广东茂名•高二统考期末）已知椭圆C，+/=l（a>6>0）的离心率为g,下顶点为

3,点M为C上的任意一点，贝（MB怕勺最大值是（）

A.孚6B.®C.瓜D.2b

【变式2］（2023•全国•高三专题练习）若椭圆C：《+d=l的离心率为池，则椭圆C的长轴长为（）

m23

2/Z

A.6B.--—或2*\/^C.2-\［QD.或2*\/^

22

【变式3］（2023秋,高二课时练习）椭圆上+匕=1的焦距为4,则机的值为

题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程

【典例1］（2023秋•新疆乌鲁木齐•高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点（3,2）且与椭圆3d+89=24

有相同焦点的椭圆方程为（）

x2y2x2y2,x2y2.x1y2.

AA.——+—=1DB.—+—=1Cr.—+—=1D.—+—=1

51010151510105

【典例2】（2023春•四川泸州•高二四川省泸县第四中学校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为

g,长轴长为12,则椭圆方程为（）

22

【典例3】（2023秋・广东江门•高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在x轴，它与椭圆±+匕=1有

相同离心率且经过点（2,-括），则椭圆标准方程为.

【变式1］（2022秋•高二课时练习）过点（3,-2）且与椭圆4犬+9丁=36有相同焦点的椭圆的标准方程是（）.

--1--=

【变式2］（2023•陕西西安・长安一中校考二模）"蒙日圆"涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为:

椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆C：

2

工f+上v=1（。＞0）的离心率为彳1，则椭圆C的蒙日圆的方程为（）

a+1a

A.x2+y2=19B.x2+y2=17C.x2+y2=15D.x2+y2=14

22

【变式3］（2023秋•江苏泰州•高三统考期末）若椭圆C2的焦点在y轴上，且与椭圆G：乙+匕=1的离心

42

率相同，则椭圆C?的一个标准方程为.

题型03求椭圆的离心率的值

【典例1】（2023春•江西宜春•高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000

多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.

该伞的伞面是一个半径为26的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2,当光线与地面夹角为30。时，伞面在

地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率0=（）

22

【典例2】（2023•河南新乡•新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆C:二+3=1（.>6>0）的左顶点为人，

ab

点M,N是椭圆c上关于y轴对称的两点.若直线40,4V的斜率之积为耳，则C的离心率为（）

A.3B.交C.|D.昱

2223

22

【典例3】（2023•辽宁辽阳•统考二模）已知椭圆。:=+与=1伍>6>0）的右焦点为尸，过坐标原点。的直

ab

―.2—.

线/与椭圆C交于P,Q两点，点P位于第一象限，直线尸尸与椭圆C另交于点A,且P尸=若

cos/A尸。=；,|FQ|=2|E4|,则椭圆C的离心率为（）

A.2B.立C.也D.@

4234

22

【典例4】（2023春•浙江温州,高二校联考期末）已知椭圆+的左顶点为A,上顶点

为B,。为坐标原点，椭圆上的两点〃（闯,乙），分别在第一，第二象限内，若&OAN与AOBM

的面积相等，且总+右=3/，则椭圆C的离心率为.

22

【变式1］（2023春•广东深圳•高二统考期末）已知椭圆C：3+2=l（a>b>0）的右焦点为歹，过原点的

ab

直线/与C交于两点，若AFLBF,且|AF|=3|M，则C的离心率为（）

AVio口Mc3.ni

4553

22

【变式2X2023•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测）已知耳，外分别是椭圆C：「+2=l（a>6>0）

ab

的左，右焦点，尸是C上的一点，若3|「胤=2|耳巴且/尸用工=60。，则C的离心率为（）

A.7B.2-73C.77-2D.3-272

2

2

【变式3］（2023春•贵州遵义•高二统考期中）已知厂是椭圆丫点2+齐v=1（。>6>0）的右焦点，直线>=1与

7T

椭圆交于3,C两点，若/BFC=G，则该椭圆的离心率是（）

2

A.@B.在C.巫D.互

3344

22

【变式4］（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）己知M是椭圆E：1+2r=ig>b>0）的

cib

右焦点，过加作直线y=g尤的垂线，垂足为N,=则该椭圆的离心率为.

题型04求椭圆的离心率的最值或范围

【典例1】（2023春・湖南益阳•高二统考期末）若椭圆上存在点尸，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2:1,

则称该椭圆为“倍径椭圆".则"倍径椭圆"的离心率e的取值范围是（）

A.

22

【典例2】（2023春•上海青浦•高二统考期末）点A为椭圆C:［+2=l（a>b>l）的右顶点，尸为椭圆C上

ab

一点（不与A重合），若所.弱=0（。是坐标原点），则椭圆C的离心率的取值范围是（）

PA（百］屋友〕

22

【典例3】（2023・陕西西安•统考一模）已知椭圆二+2=1（°>0力>0）上一点人，它关于原点的对称点为8,

ab

（7171I

点尸为椭圆右焦点，且满足AFJL3F,设NAB尸=c,且则该椭圆的离心率的取值范围

是.

【典例4】（2023・甘肃定西•统考模拟预测）过原点作一条倾斜角为e［w］的直线与椭圆

22

A+与=1（。>6>0）交于A,8两点，尸为椭圆的左焦点，若的，则该椭圆的离心率e的取值范围

ab

为.

【变式1］（2023•全国•高三专题练习）已知。是椭圆j丫2+.V?=l（q>b>0）的半焦距，则b匕+取C最大值时

aba

椭圆的离心率是（）

A12a8

r\.DR.---U.

2323

【变式2]（2023・重庆万州・重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点"（XQJ,N（/,%）«<9）为椭

圆c/+&l（a>"0）上的两点，点哈0）满足|PM|=|PN|,则C的离心率e的取值范围为（）

22

【变式3]（2023秋•浙江嘉兴•高二统考期末）已知点P是椭圆C：与+当=1（4>6>0）的右焦点，点P关

ab

于直线>=质的对称点Q在C上，其中Ze1,2,则C的离心率的取值范围为.

【变式4]（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知尸为圆C:尤2+于一6y=40上一点，椭圆

22

M:「+4=l（a>b>0）焦距为6,点尸关于直线尤-y=。的对称点在椭圆M上，则椭圆离心率的取值范围

ab

为.

题型05根据椭圆离心率求参数

22

【典例1】（2023秋•高二单元测试）设椭圆G：二+丫2=1（°>1）6：±+/=1的离心率分别为"2.若

a4

e2=6q,贝！J。=（）

2A/3

A.B.72C.73D.屈

22

【典例2】（2023春,江苏镇江,高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）椭圆C:2+方=1（a>6>0）

的左、右焦点分别是月，F2,斜率为1的直线/过左焦点可，交C于A,B两点，且外的内切圆的面

积是万，若椭圆C的离心率的取值范围为/，/,则线段AB的长度的取值范围是（）

A.B.[1,2]C.[4,8]D.[4忘,8拒]

【典例3】（2023•全国•高二专题练习）椭圆C:=+^=15>6>。）的左、右焦点分别是々，8，斜率为1

ab/

"13-

的直线/过左焦点月且交C于A3两点，且AAB居的内切圆的周长是2兀，若椭圆的离心率为ee,

则线段A3的长度的取值范围是

2

【变式1]（2023秋,重庆沙坪坝•高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆，f+乙V=1的离心率e=g1

k+593

则上的值可能是（）

-41.7

A.3B.7C.3或一D.7或一

84

22

【变式2]（2023春・上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习）设a>力>0,椭圆二+二=1的离心

ab

22

率为双曲线=-/2=1的离心率为若华g<1,则£的取值范围是_______.

b-a2*9-2b2b

22

【变式3]（2023•吉林长春•校联考一模）已知椭圆C：=+2=1（°>6>0）的左、右焦点分别为月、F2,

ab

点A、8在椭圆C上，满足印目・五耳=0,丽=4号后，若椭圆C的离心率ee[，弓，则实数入取值范

围为•

题型06直线与椭圆的位置关系

【典例1】（2023,全国•高三对口高考）若直线y=x-l与椭圆/+3/=。有且只有一公共点，那么。的值为

123

A.-B.—C.—D.1

234

22

【典例2】（2023春•上海浦东新•高二统考期中）已知椭圆C:土+匕=1,直线

259

/:（m+2）%-（w+4）y+2-/n=0（M7eR）,则直线/与椭圆C的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【变式11（2023•广东广州•统考模拟预测）已知以耳（-2,0）,6（2,0）为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且

仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（）

A.3拒B.276C.2回D.4及

22

【变式2】（2023•全国•高三专题练习）已知直线履-丫+2=0与椭圆±+乙=1恒有公共点，则实数力的取

9m

值范围（）

A.（4,9]B.[4,+co）

C.[4,9）59,+°°）D.（9,+oo）

题型07直线与椭圆相切

【典例11（2023・全国•高三专题练习）已知过圆锥曲线片+贵=1上一点尸（%,券）的切线方程为空+”=1.

mnmn

22

过椭圆3+3=1上的点A（3，T）作椭圆的切线/，则过A点且与直线/垂直的直线方程为（）

A.%—y—3=0B.x+y-2=0

C.2x+3y-3=0D.3x-^-10=0

【典例2】（2023春•河南周口•高二校联考阶段练习）己知椭圆C:二+y2=l的右顶点为4,上顶点为

4

则椭圆上的一动点M到直线A3距离的最大值为.

22

【变式1］（2023•全国•高二专题练习）椭圆,+q=l上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）

A.&B.拽C.拽D.

555

22

【变式2］（2023•广西•统考一模）在平面直角坐标系中，动点尸在椭圆C:土+匕=1上运动，则点P到直

169

线x-y-5=0的距离的最大值为.

题型08弦长

丫2兀

【典例1】（2023•全国•高三对口高考）已知椭圆一+尸=：1,过左焦点尸作倾斜角为台的直线交椭圆于A、

96

3两点，则弦A3的长为.

22

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆E:±+匕=1,设直线》=辰-0被椭圆C截得的弦长为

42'

Q

求左的值.

【典例3】（2023秋•山东滨州•高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是片7^（1,0）,并且经过

点P1，

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/：y=x+w与椭圆C相交于A,8两点，当线段的长度最大时，求直线/的方程.

【变式1］（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆土+匕=l（a>b〉0）,过左焦点片的斜率为1的直线与椭

32、'

圆分别交于48两点，求|熊|.

【变式2］（2023秋•青海西宁•高二期末）已知点A（0,-2）,椭圆E:；+］=l（a>b>0）的离心率为变,

ab2

P是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2,。为坐标原点.

⑴求椭圆E的方程：

⑵设过椭圆E的左焦点且斜率为％=1的直线/与椭圆E交于不同的两M、N,求的长.

【变式3］（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知椭圆G：］+V=l的左、右顶点是双曲线

G：4-4=K«>0,6>0）的顶点，。的焦点到C2的渐近线的距离为且.直线/：、=履+，与C?相交于A,

a2b23

8两点，OAOB=-3.

（1）求证：8k2+t2=1

（2）若直线/与G相交于尸，0两点，求|PQ|的取值范围.

题型09中点弦和点差法

22

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆C：^-+^-=1,过点尸。,-1）的直线/与椭圆C交于4

8两点，若点P恰为弦的中点，则直线/的斜率是（）

4334

A.--B.--C.一D.一

3443

22

【典例2】（2023•全国•高三对口高考）直线犬+>-1=0截椭圆乙+乙=1所得弦的中点M与椭圆中心连线

43

OM的斜率为.

22

【典例3】（2023春•新疆塔城•高二统考开学考试）已知过点WD的直线，与椭圆上+匕=1相交于A,

42

B两点，且线段A8以点M为中点，则直线AB的方程是.

【典例4】（2023•全国♦高三对口高考）中心在原点，一个焦点为片（0,50）的椭圆被直线y=3x-2截得弦

的中点的横坐标为则椭圆的方程为.

22

【变式11（2023春・湖北荆州•高二沙市中学校考阶段练习）若椭圆点+A=1的弦AB被点P（l,l）平分，

则A2所在直线的方程为（）

A.4n+9y-13=0B.9x+4y-13=0

C.x+2y-3=0D.x+3y-4=0

22

【变式2］（2023・四川巴中•南江中学校考模拟预测）已知椭圆C:1T+讶=1（。>6>0）四个顶点构成的四边

形的面积为160，直线/"-2丫+6=0与椭圆C交于A,8两点，且线段A3的中点为（-2,2）,则椭圆C的

方程是（）

AI-B

168324

「f/y2

C.1----=1D.1=1

3216642

丫2

【变式3］（2023•全国,高三专题练习）直线/与椭圆上+丁=1交于A,B两点，已知直线/的斜率为1,则

4'

弦AB中点的轨迹方程是.

【变式4］（2023春•福建厦门•高二厦门一中校考阶段练习）直线/不与x轴重合，经过点N（〃,0）（〃K0）,

22

椭圆+上存在两点A、5关于/对称，A