三角形（一）重难点专项训练-2024-2025学年初中数学八年级上册期中重难点复习攻略

第11章三角形（1）重难点

内容范围：1L1-1L2

专项训练建议用时：40分钟

一、单选题

1.如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等,

若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中〃的值可以是（）

图1图2

A.1B.2C.3D.4

2.如图，点。是VABC的边5c上任意一点，点E是线段的中点，若则阴

影部分的面积为（）

A.10B.8C.6D.4

3.如图，直线相〃九，一块含有30。的直角三角板按如图所示放置.若Nl=40。，则N2的

A.70°B.60°C.50°D.40°

4.如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角NO的大小，需将NO转化

为与它相等的角，则图中与/O相等的角是()

凸面凹面

宽?当CObb>10。为脊柱侧弯

A.NBEAB.ZDEBCNECAD.ZADO

5.如图为商场某品牌椅子的侧面图，ZDEF=\20°,DE与地面平行，ZABD=50°,则

ZACB=()

x.

-7777777777777777777777777777^T777~

A.70°B.65°C60°D.50°

二、填空题

6.一副三角板如图放置，ZA=45。，4=30。,DE//AC,则Nl=_______°.

/

D、/__________E

F

7.如图，在三角形纸片A3C中，AB=AC,/8=20。，点。是边上的动点，将三角形纸

片沿AD对折，使点3落在点？处，当3c时，NA4D的度数为.

8.已知a,b,c为VABC的三边长.b,c满足S-2猿+卜-3|=0,且a为方程1工-4|=2的解,

则VA3C的形状为三角形.

9.如图，在VABC中，AE1,分别是内角NC4B、外角NCBD的三等分线，且

ZElAD=^ZCAB,NE]BD=g/CBD,在中，AE2,8七分别是内角N&AB，外角

的三等分线.且ZE2BD=|z£,BD,...,以此规律作下去.若

ZC=m°.则/纥=度.

10.下图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与8£＞的交点为C,且-A,NB,保持

不变.为了舒适，需调整，。的大小，使/EED=110。，则图中，。应_________(填“增加”

或“减少”)度.

三、解答题

11.已知VABC的三边分别为a力,c.

(1)若。=1力=7,c为整数，求VA3C的周长.

(2)7Pls简：|a+Z?—c|—|Z?—a—C|+|Q+Z?+C].

12.【问题情境】

如图1,AQ是VABC的中线，VABC与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1

中作BC边上的高AE,根据中线的定义可知BD=CD.

又因为高AE相同，所以SAABD=S“CD，于是SAABC=2SAABD，据此可得结论：三角形的一条中

线平分该三角形的面积.

【深入探究】

（1）如图2,VABC的面积为4平方厘米，延长到点。，延长2C到点E,延长边C4到

点、F,使BD=AB,CE=BC,AF=CA,依次连接。、E、尸得到ADEF，求ADEF的面积.

【拓展延伸】（2）如图3.若四边形ABCD的面积为。，分别延长四边形ABCD的各边，使

得AH=mAD,CF=mBC,BE=nAB,DG=nCD,依次连接E、F、G、“得到四边形

EFGH.

①若%=〃=2,求四边形EFG”的面积；（用含。的代数式表示）

②直接写出四边形跳G"的面积（用含相、”、。的代数式表示）

13.在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外

角平分线夹角问题.聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究

⑴【问题再现】如图1,在VABC中，ZABC、NACB的角平分线交于点P,若NA=50。.则

ZP=；

（2）【问题推广】如图2,在VABC中，Z54C的角平分线与VABC的外角NCBM的角平分

线交于点P,过点8作级/LAP于点H,若NACB=76。，则NPBH=；

(3汝口图3,如图3,在VABC中，ZABC.NACB的角平分线交于点P,将VABC沿DE折

叠使得点A与点尸重合.

①若NBPC=110°,则Zl+Z2=;

②若PD=PE,求证：Z1=Z2；

(4)【拓展提升】在四边形3cDE中，EB〃CD,点歹在直线即上运动(点尸不与E,。两

点重合)，连接8冗CF,NEBF、NDb的角平分线交于点。，若NEBF=a,ADCF=/3,

直接写出/。和a,//之间的数量关系.

14.综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活

动.

图1图2图3

(1)【初步探究】在VABC中，ZB=42°,ZC=70°,作的平分线AD交8C于点D在

图1中，作AE_L8C于E,求N7ME的度数；

(2)【迁移探究】在VABC中，/B=42o,/C=70。，作NR4C的平分线AD交3c于点D.如

图2,在A£)上任取点E作FELBC,垂足为点E,直接写出"FE的度数；

(3)【拓展应用】如图③，在VABC中，NC>NB,AD平分NB4C,点/在加的延长线上，

FELBC于E,求出/DEE与NC、之间的数量关系.

15.【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明NA+4=NC+/D；

【简单应用】(2)阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2.AP、CP分别平分Z5AD,

/BCD,若NABC=36。，ZADC=16°,求—P的度数；

【问题探究】(3)如图3,直线AP平分/5W的外角NE4D,CP平分/BCD的外角/BCE,

若/ABC=36。，ZADC=16°,请猜想一尸的度数，并说明理由.

【拓展延伸】(4)在图4中，若设NC=(z,ZB=J3,ZCAP=^ZCAB,ZCDP=^ZCDB,

直接写出一尸与NC、之间的数量关系为：(用、«,夕表示/尸).

参考答案:

1.B

【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围.

【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为以则底边长为6-2a.

2a>6—2a

由题意得,

6-2a>0

3

解得3<a<3,

所给选项中分别为：1,2,3,4.

只有2符合上面不等式组的解集,

•,'a只能取2.

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题

转化为三角形三边的问题.

2.C

【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积

的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.利用角形的中线将三角形分成面积

相等的两部分得到SgBD=ISAABD,SVECA=|SyACD,推出SVEBD+SVECA=|SvABC，即可求解.

【详解】解：,点。是VABC的边上任意一点，点E是线段AD的中点,

-S^EBD=万^/\ABD，S^ECA~'ACD，

+

-S'EBD+S、ECA=]^NABD]ACD=2SyABC=6,

,阴影部分的面积为6,

故选：C.

3.A

【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质.利用对顶角相等求得N3的度数,

再利用三角形的外角性质求得N4的度数，最后利用平行线的性质即可求解.

【详解】解：：N3=N1=4O。，

m

2

y八

—i/--------〃

4Y3pZ

・•・Z4=Z3+30°=70°,

m//n,

：.Z2=Z4=70°,

故选：A.

4.B

【分析】根据直角三角形的性质可知：NO与NADO互余，NDES与NADO互余，根据同

角的余角相等可得结论.

【详解】由示意图可知：△ZXM和△D5E都是直角三角形，

.•.N0+Z/W0=90。，NDEB+ZADO=90。,

:.ZDEB=ZOf

故选：B.

【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键.

5.A

【分析】根据平行得到NABD=NEDC=50。，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解

即可.

【详解】解：由题意，得：DE//AB,

：.ZABD=ZEDC=50°,

•・・ZDEF=/EDC+/DCE=120°,

・•・ZDCE=70°,

ZACB=ZDCE=70°；

故选A.

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角.熟练掌握相关性质，是解题

的关键.

6.105

【分析】根据平行性的性质可得N2=45。，根据三角形的外角的性质即可求解.

【详解】解：如图，

:DE//AC,

：.N2=/A=45。，

•.•NE1=30°,ZF=90°,

.-.ZD=60°,

r.N1=N2+NO=45°+60°=105°,

故答案为：105.

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以

上知识是解题的关键.

7.25°或115。

【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解.

【详解】解：由折叠的性质得：ZADB'=ZADB；

:B'DLBC,

：.NBDB'=90°；

①当"在2C下方时，如图，

,?ZADB+ZADB'+NBDB'=360°,

ZADB=|x(360°-90°)=135°,

ABAD=180°-ZB-ZADB=25°；

②当在BC上方时，如图,

,?ZADB+ZADB',

ZA£>B=-x90°=45°,

2

综上，NA4D的度数为25。或115。；

故答案为：25。或115。.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论.

8.等腰三角形

【分析】根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出

结果.

【详解】：。-2尸+卜-3|=0,

b—2=0,c—3=0,

b=2,c—3,

XV|x-4|=2,

..无]=6,X]=2,

：a是方程的解且a,b,c为VABC的三边长，

••a=2,

；.VABC是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的

关键.

【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

先分别对运用三角形的外角定理,设3AD=。，则/C4B=3i,N%BD=/3,

3£=3a+NC,同理可求：Z£=QjZC,所

则ZCBD=36，得到力=a+Z£j,2

以可得/纥=[1/C.

【详解】解：如图:

.•.设NgAO=a,NEiBD=0,则/CAB=3a,2CBD=3(3,

由三角形的外角的性质得：B=a+NE\,3£=3a+/C,

Ng=|zC,

即/纥=，/，

故答案为：~ym,

10.减少10

【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到/即/与/。、/E、/OCE之间的关

系，进行计算即可判断.

【详解】解：vZA+ZB=50°+60°=110°,

ZACB=180°-110o=70°,

/DCE=70。,

如图，连接C尸并延长，

ZDFM=ZD+ZDCF=20°+ZDCF,

ZEFM=Z£+ZECF=30°+ZECF,

：.ZEFD=ZDFM+Z£FM=20°+ZDCF+30°+ZECF=50°+ZDCE=50°+70°=120°,

要使/EPZA110。，则NE/Z）减少了10。，

若只调整/。的大小，

由ZEFD=ZDFM+ZEFM=ZD+ZDCF+ZE+ZECF=ZD+ZE+ZECD=ZD+30°+70°=Z

0+100°,

因此应将/。减少10度；

故答案为：①减少；②10.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识;

解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式

求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法.

11.(1)15

(2)a+3Z?—c

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解

三角形的三边关系成为解题的关键.

(1)根据三角形的三边关系确定C的取值范围，进而C的值，最后求周长即可；

(2)先根据三角形的三边关系确定a+b-c、b-a-c、a+6+c的正负，再化简绝对值，

然后再合并同类项即可解答.

【详解】⑴解：=a=LL=7,

,-.7-1<C<7+1,即6<c<8,

为整数，

/.c=7,VABC的周长为a+b+c=l+7+7=15.

(2)解：：△ABC的三边长为a,b,c,

:.a+c>b,a+b>c

|ci+h—c\—\b—ci—c\-\-\cL+h-\-c\

=a+Z?—c+(b—a—c)+a+/?+c

=b—c+b—a—c+a+Z7+c

=a+36—c.

12.(1)28；(2)①13。；②S四边形EFGH=(2〃7〃+"2+〃+l)a

【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的

辅助线，正确表示出三角形面积.

(1)连接所，AE,根据三角形中线有关的面积计算出2ADF、S^BDE、S4ABE、SJEF，再

根据S&DEF=SAADF+SODE+^ABE+^AEF计算即可得出答案；

(2)①连接AC、AG、EC、5"、D尸，设VABC的面积为元、△ACD的面积为丁，则x+y=。，

结合题意求出SQ“G+SABEF=6y+6%=6(x+y)=6a,同理可得：凡他”+=6〃，再根据

S四边形£FGH=SjEH+S^cFG+s4DHG+SABEF+S4ABe+S4ACD计算即可得出答案;②同①的方法计算

即可得出答案.

【详解】解：(1)如图，连接班,AE,

'：AF=CA,

•q=S-4q—q

,•°AFAB~^^ABC~r，°^EAF一°hEAC，

.*.S

RCF=25ARC=8,

•:BD=AB,

•v=Q=4q一弋

,,n^FBD~ZFAB—，^hABE—。^BDE，

：•S4FAD=2s4ABF=8,

•:CE=BC,

••S/Bc=S4FCE-8,

,•S^EAF=S"Ac=4,

••S&ABE=SjBC+S&ACE=，

**S4ABE=SABDE=8,

•,S^DEF=^^ADF+S&BDE+„ABE+^AEF-8+8+8+4=28;

(2)①如图，连接AC、AG、EC、BH、DF,

设VA5C的面积为1、△ACD的面积为V,则％+>=a,

VBE=2AB9DG=2CD,

S.EBC=2S4ABC=2x,S.GAD=2SKD=2y,

9

：AH=2AD,CF=2BCf

・,S&GAH=2sAGAD=4y,SWF=2s&EBC=4%,

=

,*S&DHG=^^GAD+SAGAH=6y，SABEFhBCE+hCEF=，

S.DHG+s△螃=6y+6%=6(九+y)=6。，

同理可得：S+S=6a,

1-J-JI'J•△AAnFnH^CCrFljC'

・・S四边形MG”=S4AEH+S4CFG+SADHG+SABEF+SMBC+S4ACD=6。+64+a=13〃；

②如图，连接AC、AG、EC、BH、DF,

I_TG

E图3

设VABC的面积为X、△ACT)的面积为y,则％+y=。，

VBE=nAB,DG=nCD,

nn

••S4EBC=SAABC=NX'\GAD="S^ACD=y'

9：AH=mAD,CF=mBC,

:=mS^GAD=mny，\ECF=mS^EBC=mttX，

**S&DHG~^^GAD+S.GM=0次？+")y，s.BEF~S》CE+S^CEF=(mn+n)x,

SADHG+S^BEF=(OTi+〃)y+(mz2+〃)x=(zm+〃)(x+y)=(Am+M〃,

同理可得：5AEH+S^CFG=(mn+n)a,

+S

5四边形EFGH=S^AEH+S.DHG.BEF+S融c+S^CD=(〃"+〃)々+O〃[+〃)。+a=(2〃见+相+〃+1)。

13.(1)115°

(2)52°

⑶①80。；②见解析

(4)下在E左侧NQ=21^；尸在即之间/。=号2；/在。右侧NQ=412.

【分析】(1)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；

(2)先由角平分线的定义得到NBAC=2NB4P,/CBM=2NCBP,再由三角形外角的性质

得到NCBP=/BAP+38。，根据三角形内角和定理推出/尸=180。-/比皿-/45尸=38。，再

由垂线的定义得到/出场=90。，据此求解即可；

(3)①同(1)求得NA=40。，由折叠的性质可得NA£E»=NP£DZADE=NPDE,据此

计算即可求解；②证明NAEP=NADP,同①即可证明/1=N2；

(4)分点/在点E左侧，点尸在。、E之间，点尸在点。右侧三种情况讨论求解即可.

【详解】(1)解：・・・ZA=50。,

・・・ZABC+ZACB=180°-ZA=130°,

0平分/ABC,C尸平分/AC5,

：・ZABC=2NPBC,ZACB=2ZPCB9

：.2ZPBC+2ZPCB=130°,即NP5C+N尸C5=65。,

ZP=180O-ZPBC-ZPCB=115°,

故答案为：115。；

(2)解：・・・AP平分/B4C,BP平分NCBM,

:・/BAC=2/BAP,ZCBM=2ZCBP,

ZCBM=ZBAC+ZACB,

・•・2ZCBP=2/BAP+ZACB,

・・・ZCBP=ZBAP+38°,

ZABC=1SO°-ZACB-ABAC,

：.ZABC=1040-2ZBAP,

・・・ZABP=ZABC+NCBP=142°-/BAP,

JZP=1800-ZBAP-ZABP=38°,

VBH1AP,即ZBHP=90。,

・•・ZPBH=180°-ZP-ZBHP=52°；

故答案为：52°；

(3)解：①;的平分/ABC,C尸平分—4C3,

；・ZABC=2NPBC,ZACB=2ZPCB,

9：ZBPC=110°,

・・・APBC+APCB=180°-110°=70°,

.・・ZABC+ZACB=2(NPBC+ZPCB)=140°,

・・・ZA=180。-(ZABC+ZACB)=40°,

・・・ZA£D+ZAr>E=180°-ZA=140°,

由折叠的性质可得NA£D=NP£DZADE=NPDE,

：.AAEP+AADP=2(ZA£D+ZADE)=280°,

VZ1=18O°-ZAEP,Z2=180°-ZAT)P,

・・・Nl+N2=360。-(ZAEP+NAD尸)=80。，

故答案为：80°；

②:PD=PE,

ZPED=ZPDE,

由折叠的性质可得NAED二N尸石D,ZADE=ZPDEf

：.ZAEP=ZADPf

VZl=1800-ZAEP,Z2=180°-ZADP,

・•・N1=N2；

(4)解：当点尸在点E左侧时，如图4-1所示，

u：BE//CD,

：.NCBE+ZBCD=180。,

•：BQ平分NEBF,C0平分"CF,

：./EBQ=g/EBF=?,/QCF=；NDCF=g

ZEBC+ZFCB=180°-/DCF=180°-0,

・・.NQ=180°-ZQBC-ZQCB

=180°-ZQBE-ZEBC-ZFCB-ZQCF

_/3-a

2；

当尸在。、E之间时，如图4-2所示:

同理可得=尸=4,/QCF='/DCF=邑,

2222

ZFBC+ZFCB=180。—/DCF-ZEBF=180。—a—6，

ZQ=180。-ZQBC-ZQCB

=180°-ZQBF-ZFBC-ZFCB-ZQCF

_a+/3

2；

当点尸在。点右侧时，如图4-3所示:

同理可得NQ=180。-ZQBC-ZQCB

=180°-NQBF-NFBC一NDCB一NQCD=；

综上所述，/在£左侧NQ=g"；/在ED之间/。=乌芋；/在。右侧=

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线

的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键.

14.(1)ZZME=14°

(2)NDFE=14。

(3)NDFE=g/C-；NB

【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握

相关性质是解题的关键.

(1)根据三角形内角和定理，可求得NB4C=180O-/3-/C=68。，由AD平分NB4C,

得到NCAD=|ABAC=34°,又根据AE_L3C,可得ZCAE=20°,由此可求得ZDAE=14°；

(2)根据三角形内角和定理，可求得/54。=180。-/3—/C=68。，由AD平分/BAC,

得到NC4D=g/BAC=34。，由三角形内角和定理求得NADC=76。，再根据EEL3C,利

用直角三角形两锐角互余，即可求得ZDFE=90°-ZADC=14°；

(3)同理，根据三角形内角和定理和A£＞平分/B4C,得到

NCAO=gzBAC=90。-g(ZB+NC),ZADC=90°+^ZB-^ZC,再结合FE_LBC,禾U

用直角三角形两锐角互余，即可求得/DFE=《NC-

【详解】(1)解：在VA3c中，/8=42。,/。=70。，

za4c=180°—N3—NC=180°-42。一70°=68°,

平分/3AC,

ZCAD=-ABAC=、68。=34°,

22

\-AE±BC,

.-.ZA£，C=90o,

ZC=70°,

ZC4E=90°-70o=20°,

:.ZDAE=ZCAD-ZCAE=34-°-20°=14°.

(2)解：在VABC中，ZB=42°,ZC=70°,

.•.ZBAC=180o-ZB-ZC=180o-42o-70o=68°,

•.•AD平分NBAC.,

ZCAD=-ABAC=-x68°=34°,

22

在AWC中，ZC=70°,

ZADC=180°-70°-34°=76°,

•：FELBC,

:.ZFED=9Q°,

ZDFE=90°-ZADC=90°-76°=14°.

(3)解：在VABC中，ZR4C=180°-(ZB+ZC),

•.•AD平分N54C,

ACAD=|ABAC=90°-1(ZB+ZC),

在AADC中ZADC=180°-ZC-ZG4D

=180°-ZC-90°+1(ZB+ZC)

=90°+-ZB--ZC

22

•.•FE±BC,

:"FED=90°,

ZDFE=90°~ZADC=90°-90°--ZB+-ZC=-ZC--ZB.

2222

21

15.(1)见详解；(2)ZP=26°；(3)/尸=26。，理由见详解；(4)ZP=-a+-/3

【分析】(D根据三角形内角和定理即可证明.

(2)(3)由AP平分N54D的外角NE4D,CP平分N5CZ)的外角/BCE,推出N1=N2,

/