人教版高中数学复习：平面向量基本定理 练习（含解析）

人教A版（2019）必修二6.3.1平面向量基本定理

（共21题）

一、选择题（共12题）

1.现有以下四个命题：

①质量、速度、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；

③所有的单位向量都相等；④零向量垂直于所有非零向量

其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列不是向量的是（）

A.力B.速度C.质量D.加速度

3.在同一平面内，把所有长度为x的向量的起点放在同一点，那么这些向量的终点构成的图形是

（）

A.一条长度为x的线段B.一个半径为x的圆

C.一个边长为x的正方形D.一群孤立的点

4.设立,b是两个平面向量，则Q=必是"Ia.|=|bI"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列说法中正确的是（）

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

6.如图，D,E,F是4ABe各边中点，则下列结论正确的是（）

F

B

E

A.DF=CEB.EF='DBC.DE=AFD.AD='BD

7.如图，点0是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A,B,C,D,E,F,0中的任意一点

为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA夕卜,与向量OA共线的向量共有

A.6个B.7个C.8个D.9个

8.已知在边长为2的菱形ABCD中，/.ABC=60°,则|丽|=()

A.1B.V3C.2D.2V3

9,下列命题正确的是（）

A.过两条直线有且只有一个平面

B.过一点和一条直线有且只有一个平面

C.过梯形两腰所在直线有且只有一个平面

D.过三点有且只有一个平面

10.给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆;

②若空间向量a,b满足|a|=|K|,则a=b；

③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则沆=/；

④空间中任意两个单位向量必相等；

⑤零向量没有方向.

其中假命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

11.给出下面说法:

①若向量a,b满足\a\=\bI，则a=b-,

②若A,B,C,D是不共线的四点，贝『四=反"是"四边形ABCD为平行四边形"的充要条件;

③d=X的充要条件是\a\=\b\且a//b.

其中正确说法的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

12.已知A,B,C是平面上不共线的三点，。是△ABC的重心，动点P满足OP=|gol+

|0B+20C）,则点P一定为（）

A.AB边中线的中点

B.AB边中线的三等分点（非重心）

C.AABC的重心

D.AB边的中点

二、填空题（共5题）

13.__的两个向量互为负向量，它们的和为____.

14.思考辨析，判断正误

{0,e}可以作为基底.____

15.对于空间中的非零向量AB,BC,AC,有下列各式:

①AB+BC=AC；

②AB-AC=~BC；

③\AB\+[BC\=|ZC|；

④\AB\-\AC\=|BC|.

其中一定不成立的是—.（填序号）

16.给出下列四个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若a,b满足|a|>\b\且落后同向，则a>b；

③不相等的两个空间向量的模必不相等；

④对于任意向量a,b,必有|5+h|<|a|+|b|.

其中正确命题的序号为—.

17.已知d=e;+^,另=2瓦—葭，d=—2瓦+4石（前，葭是同一平面内的两个不共线向量），则

c=____.(用d,b表示)

三、解答题(共4题)

18.思考：

(1)平行向量是否一定方向相同？

(2)不相等的向量是否一定不平行？

(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？

(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量?

19.如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,EF是过点。且平行于AB的

线段.

I)C

(1)写出图中的各组共线向量;

(2)写出图中的各组同向向量;

(3)写出图中的各组反向向量.

20.已知单位圆。上的两点A,B及单位圆所在平面上的一点P.就与砺不共线.

(1)在△02B中，若点P在28上，且衣=2PB,若荏=rOB+sOA,求r+s的值;

(2)点P满足OP=mOA+OB(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值.

21.如图所示，AABC的三边均不相等，E,F,D分别是AC,AB,BC的中点.

(1)写出与EF共线的向量；

(2)写出模与EF的模相等的向量;

(3)写出与EF相等的向量.

答案

一、选择题（共12题）

1.【答案】A

2.【答案】C

【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.

3.【答案】B

【解析】向量的终点构成了以起点为圆心，以x为半径的圆.

4.【答案】A

【解析】d=b能够推导出la|=|b|,充分性满足；

但是I11=小|不一定能推出a=b,故必要性不满足.

5.【答案】D

【解析】不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A,B不正确；向量的大小即为向量的模,

指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D

正确.

6.【答案】C

7.【答案】D

【解析】如题图，与向量0A共线的向量有AO,OD,DO,AD,DA,EF,FE,就，荏，共9

个，故选D.

8.【答案】D

【解析】易知AC1BD,且4ABD=30°.

设4c与BO交于点0,贝l|AO=^AB=1.

在Rt△ABO中，易得BO=V3,则|丽|=旧，

所以|前|=2|BO|=2V3.

故选D.

9.【答案】C

10.【答案】D

【解析】①假命题.将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点时，它们的终点将构成一个球

面，而不是一个圆.

②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②

中向量五与另的方向不一定相同.

③真命题.向量的相等满足传递性.

④假命题.空间中任意两个单位向量模长均为1,但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错.

⑤假命题.零向量的方向是任意的.

11.【答案】B

【解析】对于①，若向量出b满足|a|=|6|,则向量a,b的大小相等，但方向不确定，所

以五=石不一定正确，故①错误；

对于②，A,B,C,D是不共线的四点，若"而=反"，则由平行四边形判定定理可知"四边形

ABCD为平行四边形"，若"四边形ABCD为平行四边形”，则由平行四边形性质定理可知"对边平

行且相等"，所以"而=说"，即"布=瓦"是"四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，故②正

确；

对于③，若之=九则I2|=|b|且d//b；若|五|=|b|且a.//b,则a=b或a=—b,故

③错误.

综上可知，正确的说法为②.

12.【答案】B

【解析】因为。是4ABe的重心，

所以OA+OB+OC=G,

所以OP=+20C）=-0C,

所以点P是线段0C的中点，即AB边中线的三等分点（非重心）.

二、填空题（共5题）

13.【答案】大小相等，方向相反；0

14.【答案】X

【解析】由于o和任意向量共线，故｛6,3｝不可作为基底.

15.【答案】②

【解析】根据空间向量的加减运算法则可知，对于①：AB+BC=AC恒成立；对于③：当AB,

BC,AC方向相同时，有|荏|+|前|=|就］；对于④：当南，方方向相同且左与丽，前

方向相反时，有|^5|-|^C|=\BC\,只有S一定不成立.

16.【答案】④

【解析】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误;

对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；

对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；

只有④正确.

17.【答案】22—2b

【解析】设c=Aa+fib,

则—2瓦+4/=4回+号)+〃(2瓦一磅=(4+2”)前+(2-〃湿,

因为前，可不共线，

—2=4+2〃,

所以

.4=2一〃，

解得｛工

故c=2a—2b.

三、解答题(共4题)

18.【答案】

(1)不一定.

(2)不一定.

(3)零向量.

⑷平行(共线)向量.

19.【答案】

(1)向量DC,BA,EO,OF,EF为一组共线向量；

向量AO,OC,AC为一组共线向量；

向量OD,0B为一组共线向量；

向量AE,ED,AD为一组共线向量；

向量~BF,FC,BC为一组共线向量.

(2)向量DC,EO,OF,EF为同向向量；

向量AO,OC,AC为同向向量；

向量AE,