三角函数与解三角形大题归类（16题型提分练）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题12三角函数与解三角形大题归类

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目录

题型一：图像求解析式及性质......................................................................1

题型二：“零点”求参............................................................................3

题型三：“零点”和型性质........................................................................4

题型四：解三角形：正弦定理边化角型求角..........................................................6

题型五：解三角形：角化边型余弦定理求角..........................................................7

题型六：最值：不对称型最值......................................................................8

题型七：最值：比值型最值........................................................................9

题型八：最值：三角函数角度型最值...............................................................10

题型九：三大线：中点与中线.....................................................................10

题型十：三大线：角平分线型.....................................................................12

题型十一：三大线：三角形高型...................................................................13

题型十二：定比分点双三角形.....................................................................14

题型十三：定比分点最值范围型...................................................................15

题型十四：四边形中解三角形.....................................................................16

题型十五：四边形最值与范围.....................................................................17

题型十六：解三角形中的压轴证明题（19题）......................................................18

^突围・错;住蝗分

题型一：图像求解析式及性质

指I点I迷I津

已知/（x）=Asin（®x+^）（A＞0,。＞0）的部分图象求其解析式时

A比较容易看图得出，困难的是求待定系数。和夕，常用如下两种方法：

（1）由0=予即可求出0;确定夕时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的"零点"横坐标％,则

令+夕=0（或0%）+夕="），即可求出夕.

⑵代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或"零点"）坐标代入解析式，再结合图形解出。和夕，若

对A,。的符号或对夕的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

1.（2024•北京东城•二模）已知函数/@）=5皿（0苫+9）10＞0,。＜夕＜曰］的部分图象如图所示.

⑴求。的值；

JT

（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数/（x）存在，并求函数/'（X）在0,-上的最大值和最小值.

5兀

条件①：函数/XH----是---奇函数;

12

条件②：将函数的图象向右平移自个单位长度后得到了=血8的图象;

2兀

条件③：/(0)=/

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

2.(2024・甘肃•一模)如图，角a(aeR)的始边为无轴非负半轴，终边与单位圆交于点P,过点尸作V轴的

垂线，垂足为到直线OP的距离为|MN|.若将|MN|关于角a的函数关系记为y=/(x).

⑴求y=f(x)的解析式；

(2)将/(%)图象上所有点的横坐标缩短为原来的;(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移彳个单位长度,

得到函数g(x)的图象，求g(x)在0卷的单调递增区间.

3.(23-24高三上•安徽•阶段练习)函数/(x)=Asin(0x+e)(A>O,@>O,l9l<g)的部分图象如图所示.

⑴求函数y=/(x)的解析式;

JT1

(2)将函数y=f(无)的图象向左平移自个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不

7T

变，得到函数…⑺的图象，求函数g⑺在0,-上的值域.

4.(2023•山西•模拟预测)已知函数/(x)=Asin(0x+o)(A>O,o>O,O<°<7r)的部分图象如图所示.

⑴求〃尤）的解析式；

（2）将“X）的图象向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在［普上的值域.

O1212

题型二：“零点”求参

指I点I迷I津

零点处，令sin（3x+6）=0,3x+6=k兀（k£Z）,或者cos（3x+6）=0,ax+6=与++k兀可求得对

称中心的横坐标；

正弦“第一零点”:x=2kji.

正弦“第二零点”:x-7l+2k7l

n_.

X---------F2k7C

余弦“第一零点”:2

x=~+2kji

余弦“第二零点2

1.（23-24广东深圳•阶段练习）函数（的部分图象如图所示.

71

“X）=Asin（°x+0）A>0,0〉0,网<2

⑴求函数/（力的解析式；

⑵将函数/（X）的图象先向右平移1•个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的;（纵坐标不变），得到函

777T

数g（x）的图象，求g（x）在xe上的最大值和最小值;

12O

TVTT

⑶若关于X的方程g（x）—帆=0在尤e上有两个不等实根，求实数机的取值范围.

12o

2.（2024・广东广州•模拟预测）已知函数/（x）=2sinxcosx-2百sin2%+75.

7T

⑴若xe0,-时，恒成立，求实数机的取值范围；

(2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的《，纵坐标不变，再将其向右平移夕个单位，得到函数g(x)的

26

图象.若xe[0j],函数g(x)有且仅有4个零点，求实数f的取值范围.

3.(23-24•安徽蚌埠,期末)已知函数f(x)=gsin2x+2cos2x+2.

⑴求/(x)的单调递减区间；

⑵将y=/(乃的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移2个单位得到y=

6

jrjr

g(x)的图象，当xe时，方程g(x)=/n有解，求实数机的取值范围.

4.(2023•安徽亳州•模拟预测)已知函数"x)=Asin(s+e“A>O,0>O,|d<S的部分图象如图所示.

⑴求函数“X)的解析式;

(2)将函数“X)的图象向左平移;个单位，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)+Msiiu+cosx)+2=0在

6

TT

元e0,-上有解，求实数％的取值范围.

题型三：“零点”和型性质

;指I点I迷I津:

;零点求和型，多利用三角函数对称轴对称性求解

；对称性：换元思想，将丁=心皿5：+9)中的“①x+夕”看成y=sinx中的“%”，采用整体代入求解.

।।

o对称轴：最值处，令sin(s;+9)=1,则=Z),可求得对称轴方程；

।।

1.(21-22广东佛山•阶段练习)己知数/(x)=An(ox+,1+2sin2售+总->。)的相邻两对称轴间

的距离为g.

2

⑴求/(X)的解析式；

JT1

(2)将函数/(x)的图象向右平移;个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的二(纵坐标不变)，得到函

62

TTTF

数y=g(x)的图象，当xw时，求函数g(x)的值域；

126

4TC47r

⑶对于第⑵问中的函数g(x),记方程g(x)=s在xe上的根从小到大依次为西，尤2,%，若根=

3L63_

玉+2々+2%3++2%〃_i+%,试求n与1n的值.

2.(22-23江西萍乡•期中)函数〃x)=Asin(s+0)(A>O,0>O,|d<|J的部分图象如图所示.

⑴求函数“X)的解析式；

(2)将函数/(》)的图象先向右平移:个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的;(纵坐标不变)，得到函

TT

数g(x)的图象，若关于X的方程g(x)-加=0在xe0.-上有两个不等实根再，尤2,求实数机的取值范围，

并求g(±+%)的值.

3.(2023・陕西安康•一模)已知函数/(x)=Asin(0x+e)+8[A>O,0>O,lel<])的部分图象如图所示.

⑴求函数/（X）的解析式;

（2）将函数y=〃尤）图象上所有的点向右平移3个单位长度,再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2

13兀

倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象当尤e0,—时，方程g（x）-4=0恰有三个不相等的实数根,

O_

^,x2,x3（jq<x2<x3）,求实数a的取值范围以及士+2%+尤3的值.

4.（23-24高三上•吉林白城•阶段练习）已知函数〃%）=>/^11（8+夕）+1-28$2]美辿，0>0,|同<5）为

奇函数，且/（X）图象的相邻两条对称轴间的距离为

⑴求的解析式与单调递减区间；

7T1

（2）将函数/（X）的图象向右平移：个单位长度，再把横坐标缩小为原来的二（纵坐标不变），得到函数

62

y=g（x）的图象，当时，求方程2g,⑴+68⑺-3=0的所有根的和.

题型四：解三角形：正弦定理边化角型求角

指I点I迷I津

对于sin（a+尸）与cos（。+尸）简称为“正余余正，余余正正”

恒等变形和化简求角中，有如下经验：

1、SinC=Sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC

拆

2、边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；

3、cosC=-cos（A+B）=-[cosAcosB-sinAsinC]

1.（2024•陕西安康•模拟预测）在VABC中，内角A,民C所对的边分别为c,且

3

a(sinA-cosCsinB)-c(cosAsinB-sinC)=—asinC

（1）求cosb；

⑵设。为边AC的中点，AC=2,求线段5。长度的最大值.

sinC_sinA-sinB

2.（2024・四川南充•模拟预测）在VABC中,

sinA+sinBsinB+sinC

⑴求A；

（2）若5C=3,求VABC周长的最大值.

3.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且C-sinC：inB

cosB-cosA

⑴求角A的大小；

（2）若VABC为锐角三角形，点尸为VABC的垂心，AF=6,求CF+M的取值范围.

cosA-2cosc_2c-a

4.（23-24・天津•阶段练习）在VABC中，内角A,民C所对的边分别为a1,c,已知

cosBb

⑴求篝的值；⑵若侬八；,6=2.

（i）求VABC的面积；（ii）求sin28+1）的值.

题型五：解三角形：角化边型余弦定理求角

:指I点I迷I津

余钱定理:

1.若式子含有凡仇。的2次齐次式，优先考虑余弦定理，''角化边”

2.面积和。，仇。2次齐次式，可构造余弦定理

।______________________________________________________________________________________

1.（2025・广东•一模）在△ABC中，角A8C的对边分别为a,b,c,已知

cos2B—cos2A=2sin2C—2sinBsinC

⑴求A;

（2）若b=2,c=3,P,Q分别为边a,6上的中点，G为VABC的重心，求NPGQ的余弦值.

2.（23-24•陕西咸阳•阶段练习）在VA2C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

(cosB+cosA)(cosB-cosA)=sinC卜inC—应sin3).

⑴求角A的大小；

（2）若a=30，b+c=6,求VABC的面积；

（3）若,=方，a=45,。为2C的中点，求的长.

3.（2024•江西•模拟预测）VA3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b是a,c的等比中项.

⑴求B的最大值:

acosB+bcosA

（2）若C为钝角，求的取值范围.

bcosC+ccosB

4.（2024•江苏盐城•模拟预测）在VABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

asin2^+fesin2-=3ab

222(a+b+c)

⑴求角。的大小；

（2）若VA5c为锐角三角形，求*的取值范围.

C

题型六：最值：不对称型最值

指I点I迷I津

非对称型结构

结构特征：pa+tb+me

“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，角度范围是否受限，是关键计算点

1.（13-14高三下•山东东营•阶段练习）在VABC中，角A氏。所对的边分别为〃，瓦。，且满足

cos2A-cos23=2cos1I6AJ|cosI1—6FAJ|.

⑴求角B的值；

（2）若b=A/3且》Va,求。-3的取值范围.

2.（2024•广东湛江•一模）已知在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

acos（3-C）+acosA-2gcsinBcosA=0.

⑴求A；

⑵若VABC外接圆的直径为2#,求2c-b的取值范围.

3.（22-23河南省直辖县级单位）已知VABC为锐角三角形，角A,3,C的对边分别为a,6,c,且

[b1+c2—a2tanA=-J^bc.

⑴求角A的大小；

（2）若a=«,求26-c的取值范围.

4.(2021,江苏南通・一■模)在①2sinA—sinB=2sinCcos3,②(a+c)(sinA—sinC)=sinB(a—b),③

ZMC=gc（asin4+/^112-0$1110这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答.

问题：在0ABe中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且____.

⑴求角C；

（2）若c=2,求20--的取值范围.

题型七：最值：比值型最值

:指I点I迷I津

最值范围：分式比值型

「化边为角型

1.通过正余弦定理，把边转化为角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式

3.对单变量（单角）求最值。

1.（2023•全国•模拟预测）已知VA3C的内角4,氏（3所对的边分别为4,6,0,弧!1?1=\/^（£?-〃853）.

⑴求角A的大小；

⑵求鬲%的最小值.

2.（2023・全国・模拟预测）在丫钻。中，内角48,。所对的边分别为历6,°,设丫w€7的面积为5,3a2=A&2+c2.

（1）当2=0时，若B=g,求角A；

O

q

（2）当4=2时，求".2的最大值・

b+2c

Qin4c—h

3.（2023•浙江•模拟预测）已知VABC中，内角A氏。所对的边分别为。，瓦。，且满足.”.「=丁

smB+smCb

7T

（1）若C=§,求5；

（

（2）求1审+r的取值范围.

b

二■中任选一个，补

4.（22-23安徽六安）从条件①匕-0出入二川^^!!。-。；②sin（A+5）cosCg]1

o）4

充在下面问题中，并加以解答.在VABC中：内角A,民C的对边分别为瓦c,

⑴求角C的大小；

⑵设。为边钻的中点,,求片的最大值-

题型八：最值：三角函数角度型最值

;指I点I迷I津

锐钝角限制型

注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围

;求解

1.(2023.安瓦二痴茬VABC请,sin2A+3sin2C=3sin2B.

2

⑴若sin8cosC=§,判断VA5c的形状；

(2)求tan(8-C)的最大值.

2.(2023•陕西榆林•三模)己知a,6,c分别为VA2C的内角AB,C所对的边，AC=4,且acsinB=8sinA.

⑴求A；

(2)求sinAsinBsinC的取值范围.

3.(2023•浙江嘉兴•二模)在VABC中，角A,氏C所对的边分别是瓦c.已知/+c=2ocosB.

⑴若8=%,求A；

⑵求1-----------------------L的取值范围.

ac

4.(2023•云南红河・二模)记VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知2sinB=sinA+sinC.

TT

(1)证明：

⑵求sinB-cos2B的最大值.

题型九：三大线：中点与中线

指I点I迷I津

中线的处理方法

-1-21/-2•一2

AD=-{AB+AC)AM=-\AB+2ABAC+AC

1.向量法：2=4'

2.补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理

1.(2023•全国,模拟预测)已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,且满足.

请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：

①外接圆半径尺=拽；

3

②2ccosA=acosB+Z?cosA；

③cos2A+cos(B+C)=—1.

⑴求锐角A；

⑵求VABC的3。边上的中线的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2.(2023・湖北•模拟预测)在VA5C中，AB=9,点。在边5c上，4)=7.

2

(1)若cos5=§,求50的值，

2

(2)若cosNB4C=-且点。是边5C的中点，求AC的值.

3.(22-23高三上•湖北十堰•阶段练习)在VABC中，内角ABC的对边分别是a,5且

asinA—csinC=(Z?-v3c)sinB.

（1）求A；

⑵若。是边BC的中点，且AD=4,求VA2C面积的最大值.

4.（2022・全国•模拟预测）在①34=2sin20,②迪4=2吧0,③心哒=£包上且c#工这三个

a2cos3cosAcosBcosA2

条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

在AA8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.

⑴求证：团ABC是等腰三角形；

（2）若D为边2C的中点，且AD=1,求AABC周长的最大值.

题型十：三大线：角平分线型

指I点I迷I津

三角形角平分线的处理方法：

ABAC

角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：BDCD

1.（2022•四川绵阳•二模）在VABC中，角A,3,C所对的边分别为a,b,c,且6sin^—=asinB.

⑴求角A的大小；

⑵若角A的平分线交BC于。且AD=2,求。的最小值.

2.（22-23高三上•山西吕梁•期末）在锐角VABC中，内角A,5,C的对边分别为a,b,c,且满足:

cosC_cosA+cosB

acosB+bcosAa+b

⑴求角C的大小；

（2）若c=3,角A与角8的内角平分线相交于点。，求△ABD面积的取值范围.

3.（2023•云南曲靖•一模）在S48c中，角A,B,C的对边长依次是a,b,c,b=2也,

sin2A+sin2C+sinAsinC=sin?B■

⑴求角2的大小；

（2）当0ABe面积最大时，求aBAC的平分线的长.

4.（2023•山东•模拟预测）已知VABC的内角A,3,C的对边分别为。，b,c,.=sin3+«cosB,且

bsinA+v3cosA

⑴求NC的大小；

⑵若NC的平分线交A3于点。，且CD=2也，求。+2）的取值范围.

题型十一：三大线：三角形高型

指I点I迷I津

三角形高的处理方法：

1.等面积法：两种求面积公式

S=-bcsinA=-BCxAD=-c2

222

2.三角函数法：

在ABC。中，BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

u___________________________________________________________________________________________.

1.(2023・全国•模拟预测)在锐角三角形ABC中，sinA—sinZACB=仙n父二,,AB=i.

sm(ZB+ZACB)

⑴求4.

⑵求AB边上的高的取值范围.

2.（2023•山西大同•模拟预测）记锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sin2C-cos2C=cosC-cos（A-B）.

⑴证明:a2+b2=3c2;

（2）若A。是8c边上的高，且BD=/LOC,求几的取值范围.

3.（2020•辽宁,一模）VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知acosB+bcosA=——ac,

7

sin2A=sinA.

⑴求A及。；

（2）若）-c=2,求BC边上的高.

4.（2023•安徽模拟预测）在VABC中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,且满足的及=岑+孚.

acabbe

⑴求B；

⑵若6=新，8。是AC边上的高，求8。的最大值.

题型十二：定比分点双三角形

指I点I迷I津

三大线型引申：定比分点型

如图，若BD=tBC型，称D为定比分点，可以从以下思维入手：

1.双三角形余弦定理：

(1)AABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADCOS0

(2)AACD中,AC2=CD2+AD2-2CDADcos(H-0)

：2

AD=a-t\AB+t.ACn|AD|=(1-1>•网2+t2,|AC|+2t(1_t)网|AC|COSZA

1.(22-23高三下•河北衡水•阶段练习)记VABC的内角A,5,C的对边分别为a,b,c,已知A=^,D是边BC

6

,,,1nsinABADsinACAD3

上的一点，且——-----+---------=—.

bc2a

⑴证明：AD=1a；

⑵若CD=2BD,求cosZ/WC.

2.(2023•全国•模拟预测)记VABC的内角/A,ZABC,1C的对边分别为。，b,c.已知

______on

sinA+sinC=Vsin2ZABC+sinAsinC>O为AC上一点，besinAABD+absinZ.CBD=ac.

⑴求整的值.

AC

(2)若2CD=AD,求NA与NC的大小.

3.(2024・重庆•三模)已知a、枚c分别为VABC的内角A、B、C的对边，S为VABC的面积，且满足

4y/3S=b2-(a-c)2.

⑴求B；

(2)^BD=-BA+—BC,|BD|=,c—a=2,求NASD的余弦值.

4.(2023•广东汕头•一模)如图，在VABC中，D是3c边上的一点，a=ZBAD,/3=ZDAC.

(2)若D为靠近B的三等分点，AB=2不，AC=2,0=90°,/A4c为钝角，^SACD

题型十三：定比分点最值范围型

指I点I迷I津

面积最值，一般符合“齐次对称结构”，可以直接用余弦定理加均值不等式。

“齐次对称结构”，用余弦定理加均值，如果用正弦定理化角，计算量稍大

用正线定理，要注意角度的范围。

1.(2023•全国,模拟预测)在①Gc=AcosB+Z?sinA,@(Zj+a)(sinB-sinA)=c(sinB-sinC),③

"-加=改8$3-1历这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

2

在锐角VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且______.

⑴求A；

⑵若a=6,2BD=DC，求线段AD长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2.(2023•全国•模拟预测)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

(c-a)sinC=csin(B-A).

⑴求B；

(2)若。是线段AC上靠近A的三等分点，b=3,求的最大值.

3.(2023•青海西宁•二模)在VABC中，内角A,民C的对边分别为。，b,c,且®sinC=ccosB+c.

⑴求角8的大小；

(2)若6=3,。是边AC上的一点，S.CD=2AD,求线段BD的最大值.

4.（2024•河北衡水•一模）在VABC中，内角A,民C所对的边分别是a,6,c,三角形面积为S,若。为AC边

上一点，满足=且/=一空5+。反。$。.

3

⑴求角8；

⑵求去2+二的1取值范围.

f\LJCD

题型十四：四边形中解三角形

指I点I迷I津1

四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补

这个隐形条件

I

————————————————————————————————————————————————―—————————————————————————JI

3兀

1.（23-24高三下•北京海淀•开学考试）如图，在平面四边形ABCD中，NABC=—,S=2,ABAC=ADAC,

CD=2AB=A.

⑴求线段AC的长度;

（2）求sin/AZ）C的直

2.（23-24高三上•安徽•阶段练习）如图，平面四边形ABC。的对角线分别为AC,BD,其中A8=0，

BCYCD,ZBCD=-ZABC.

3

⑴若3c=2,ACD的面积为"回，求ABCD的面积；

2

(2)^ZADC=i/.BCD,AD=2AB,求cos/4co的值.

TTTT

3.(23-24高三上•江苏南通•阶段练习)在平面四边形ABC。中，ZABC=-,ZADC=-,BC=2.

32

⑴若AB-CB=3，求AC；

(2)若AD=20,ZACB=ZACD+］，求tanZACD.

4.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨■阶段练习）2023年8月27日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园音乐长廊鸣

枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求=45=4,BC=6,

那----------------

⑴若A=等，C=4，求cos/BDC的值；

（2）若CD=2,四边形ABC。面积为4,求cos（A+C）的值.

题型十五：四边形最值与范围

1.（2023,广东惠州•一模）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质.如图所示，四边

形ABCD的顶点在同一平面上，己知AB=BC=CD=2,AD=273.

⑴当8。长度变化时，J§cosA-cosC是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由.

（2）记△ABD与的面积分别为S］和S2，请求出S：+S；的最大值.

2.（2023•江苏南通•模拟预测）如图，在平面四边形A3C。中，AB=1,AO=退，CD=2,BC=亚.

（1）若8C_LCD,求sin/AZ）C；

（2）记△ABD与△BCD的面积分别记为5和S?,求+的最大值.

3.（23-24高三上•上海杨浦•期中）"我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群