人教版高中数学必修二同步学习讲义：空间几何体的三视图和直视图（含答案）

1.2.3空间几何体的直观图

【学习目标】1.掌握斜二测画法的作图规则2会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.

IT问题导学

知识点斜二测画法

思考1边长2cm的正方形A8CD水平放置的直观图如下，在直观图中，A'B'与。D'

有何关系？A'D'与B'C'呢？在原图与直观图中，4B与A'B'相等吗？与4D'

呢？

答案A'B'//CD',A'D'//B'C,A.'B'=AB,A'D'=|AZ).

思考2正方体ABC。一AliChDi的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

答案没有都画成正方形.

梳理(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

(2)立体图形直观图的画法规则

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面/O'y'垂直的轴O'z'，且平行于

O'z'的线段长度不变，其他同平面图形的画法.

2题型探究

类型一平面图形的直观图

例1画出如图水平放置的直角梯形的直观图.

解(1)在已知的直角梯形08co中，以底边08所在直线为x轴，垂直于08的腰。。所在

直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的『轴和y'轴，使O'y'=45。，如图(1)(2)

所示.

(2)在一轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取D'=|oD,过点。'作『轴的平行

线/,在/上沿『轴正方向取点C'使得。'C=£>C连接/C,如图(2).

(3)所得四边形O'B'CD'就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3).

例1中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

解画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，中点。为原点，建立直角坐标系，画

对应的坐标系/O'y',使//O'y'=45°.

(2)以。'为中点在『轴上取A'B'=AB,在y轴上取。E'=^0E,以史为中点画出

CD'//x'轴，并使C，D'=CD.

(3)连接3'C,D1A,,所得的四边形A'B'CD'就是水平放置的等腰梯形A3CD的

直观图.

反思与感悟(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便.

(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面

多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过

作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面

直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.

跟踪训练1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图.

解（1）如图①所示，以边所在的直线为x轴，以边上的高线所在的直线为y轴建

立平面直角坐标系.

0cxB'/O'C

（2）画出对应的尤'轴、y'轴，使//O'y'=45°.

在x'轴上截取0,B'=0'C=2cm,在y'轴上截取0,A'=^0A,连接A'B',

A'C,则三角形A'B'C即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.

类型二直观图的还原与计算

命题角度1由直观图还原平面图形

例2如图所示，AA'B'C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图

形.

Ir

O'/D'A'""x'

解①画出直角坐标系xOy,在无轴的正方向上取。4=0,A',即CA=C'A'；

②过"作"D'//y'轴，交一轴于点，在。4上取00=0D',过Z）作。B〃y

轴，且使。8=2。'B'；

③连接A3,BC,得△ABC.

则△ABC即为B'C对应的平面图形，如图所示.

DAx

反思与感悟由直观图还原平面图形的关键：（1）平行一轴的线段长度不变，平行/轴的

线段扩大为原来的2倍；（2）对于相邻两边不与『、y'轴平行的顶点可通过作一轴，y'轴

平行线变换确定其在xOy中的位置.

跟踪训练2如图所示，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中

O'A'=6cm,CD'=2cm,则原图形是.

答案菱形

解析如图所示，在原图形。48c中，应有D'=2X2吸=4姬（cm）,CD=C'D'

=2(cm),OC^yjOD^Cb2=^/(4-\/2)2+22=6(cm),：.OA=OC,故四边形O4BC是菱形.

命题角度2原图形与直观图的面积的计算

例3如图所示，梯形AiSGd是一平面图形ABC。的直观图.若4。〃。'<,Ai3i〃GA，

2_

ALBI=§G£）I=2,0=1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.

解如图，建立直角坐标系尤Oy,在x轴上截取

O'£>i=l,OC=O'Ci=2.

在过点。的y轴的平行线上截取DA=2DiAi=2.

在过点A的x轴的平行线上截取AB=AiBi=2.

连接BC,即得到了原图形.

由作法可知，原四边形是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰的

长度4。=2,

所以面积为S=”-X2=5.

反思与感悟（1）由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的

高，在直观图中变为与水平直线成45。角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相

应的高.

（2）若一个平面多边形的面积为S,它的直观图面积为S',则S'=坐5.

跟踪训练3如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形

A'B'O',若B'=1,那么原三角形A3。的面积是（）

B坐

C.^2D.2^2

答案C

解析直观图中等腰直角三角形直角边长为1,因此面积为3,又直观图与原平面图形面积比

为也：4,所以原图形的面积为也，故选C.

类型三空间几何体的直观图

例4用斜二测画法画出正六棱柱（底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱）的直观图.（尺寸自

定）

解如图所示.

①画轴,画出x轴，y轴，z轴，使/xOy=45。，ZxOz—90°.

②画底面.画出正六边形的直观图A2CDEE

③画侧棱.过A,B,C,D,E,F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长

度相等的线段A4',BB',CC',DD',EE',FF'.

④连线成图.顺次连接A',正，C',O',E',『，并加以整理，就得到底面为正六

边形，侧面为矩形的正六棱柱.

反思与感悟简单几何体直观图的画法

（1）画轴：通常以高所在直线为z轴建系.

(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面.

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.

(4)连线成图.

跟踪训练4用斜二测画法画出六棱锥尸一尸的直观图，其中底面为正六边

形，点尸在底面上的投影是正六边形的中心。(尺寸自定)

解画法：

(1)画出六棱锥尸一ABCOEF的底面.①在正六边形ABCDEF中，取所在的直线为无轴，

对称轴所在的直线为y轴，两轴相交于点。，如图(1),画出相应的『轴、y'轴、z'

轴，三轴相交于。'，使O'y'=45°,O'z'=90°,如图(2)；②在图⑵中，以

O'为中点，在/轴上取A'D'=AD,在<轴上取N'=1w,以点N'为中点，

画出BC平行于『轴，并且等于BC,再以为中点，画出E'F'平行于『轴，并

且等于EF；③连接A'B',CD',D'E',F'A'得到正六边形ABCOEF水平放置的

直观图A'B'CD'E'F'.

(2)画出正六棱锥P—A8CDEF的顶点，在z'轴正半轴上截取点P',点P'异于点。'.

(3)成图.连接PA',P'B',P'C,P'D',P'E',P'F',并擦去一轴、y'

轴和z'轴，便可得到六棱锥P-ABCDEF的直观图P'一A，B'CD'E'F

3

1.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的()

4।L5LIL5//

3333

ABCD

答案c

解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2：1.

2.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()

/o'

ABCD

答案c

解析在X轴上或与X轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线

段在新坐标系中的长度变为原来的/并注意到/。=90。，O'y'=45°,因此由直

观图还原成原图形为选项C.

3.若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的（）

A坐倍B.2倍C.坐倍DS倍

答案A

4.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△?!'B'C',已知A'C=6,B'C

=4,则AB边的实际长度是.

答案10

解析在原图中，AC=6,BC=4X2=8,90°,

.*.AB=^/62+82=10.

5.画出一个正三棱台的直观图.（尺寸：上、下底面边长分别为1cm,2cm,高为2cm）

解（1）作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC,其中。为△ABC的重心,BC=2cm,

线段4。与x轴的夹角为45。，49=2。。

（2）过。作z轴，使/xOz=90。，在z轴上截取。O'=2cm,作上底面等边三角形的直观图

△A'B'C,其中夕C=1cm,连接44',BB',CC',得正三棱台的直观图.

L规律与方法--------------------------------1

1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角

坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量

多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.

2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：

（1）一斜：平面图形中互相垂直的。尤、Oy轴，在直观图中画成O'x'、O'y'轴，使

//O'y'=45。或135°.

（2）二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵

折半”.

课时作业

一、选择题

1.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若NA的两边分别平行于无轴、y轴，则在直观

图中NA'等于（）

A.45°B.135°

C.90°D.45°或135°

答案D

解析因为/A的两边分别平行于x轴、y轴，故/A=90。，在直观图中，按斜二测画法规

则知Nx'O'y'=45。或135。，即/A'=45。或135。，故选D.

2.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（）

XU4k

AO\Bxo\ABXAB\OxO\AB~x

AB

k1kL

%

O\ABxCy/C__xBx

CD

答案c

解析可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.

3.如图所示，△&'B'C是水平放置的△ABC的斜二测直观图,其中O'C=O'A'=

20'B',则以下说法正确的是（）

c/o'

A.△ABC是钝角三角形

B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C.△ABC是等腰直角三角形

D.△ABC是等边三角形

答案c

4.关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是（）

A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B.正方形的直观图为平行四边形

C.梯形的直观图不是梯形

D,正三角形的直观图一定为等腰三角形

答案B

解析由直观图的性质知B正确.

5.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（）

答案A

解析由题意应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的

使用，可知A正确.

6.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的面积为

（）

A.16B.64

C.16或64D.无法确定

答案C

解析等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面积为16或64.

7.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形

状是（）

答案A

解析直观图中正方形的对角线长为啦，故在平面图形中平行四边形的高为2吸，只有A项

满足条件，故A正确.

8.已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一个圆锥顶点

到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间

的距离为()

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

答案D

解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z

轴平行的线段长度不变，仍为5cm.故选D.

二、填空题

9.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点"(4,4)在直观图中的对应点是M',则点

M'的坐标为.

答案(4,2)

解析由直观图画法“横不变，纵折半"可得点的坐标为(4,2).

10.在如图所示的直观图中，四边形O'A'B'C为菱形且边长为2cm,则在坐标系xOy

中原四边形。为(填形状)，面积为cm2.

答案矩形8

解析由题意结合斜二测画法，可得四边形0A8C为矩形，其中OA=2cm,OC=4cm,

四边形0A8C的面积为S=2X4=8(cm2).

11.如图所示，四边形0A8C是上底为2,下底为6,底角为45。的等腰梯形，用斜二测画法

画出这个梯形的直观图。‘A'B'C,则在直观图中，梯形的高为.

答案1

解析作C。、于点。、区

OA-BC

则OD=EA=―=2(cm),

OD=CD=2cm,

・••在直观图中梯形的高为Tx2=l(cm).

三、解答题

12.如图所示，画出水平放置的四边形OBCD的直观图.

解(1)过点C作CE_Lx轴，垂足为E,如图(1)所示.画出对应的尤'轴,/轴，使/尤'O'y'

=45°,如图(2)所示.

(2)如图(2)所示，在一轴正半轴上取点"，E',使得。B'=0B,O'E'=0E；在/

正半轴上取一点。'，使得D'=10D；过E'作E'C//y'轴，使C=|EC.

(3)连接"C,CD',并擦去/轴与/轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形

O'B'CD'就是所求作的直观图.

13