球的切、接问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点18球的切、接问题【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1定义法求外接球问题】.................................................................4

【题型2补形法求外接球问题】.................................................................4

【题型3截面法求外接球问题】.................................................................5

【题型4棱切球模型问题】.....................................................................6

【题型5内切球模型问题】.....................................................................6

【题型6多球相切问题】.......................................................................7

【题型7外接球之二面角模型】.................................................................8

【题型8与球的切、接有关的最值问题】........................................................9

【题型9与球的切、接有关的截面问题】.......................................................10

【题型10多面体与球体内切外接综合问题】....................................................11

►命题规律

1、球的切、接问题

球的切、接问题是历年高考的重点、热点内容，一般以客观题的形式出现，考查空间想象能力、计算

能力.其关键点是利用转化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或转化为特殊几何

体的切、接问题来解决.

►方法技巧总结

【知识点1正方体与球、长方体与球】

1.正方体与球的切、接问题

(1)内切球：内切球直径2火=正方体棱长。

(2)棱切球：棱切球直径2尺=正方体的面对角线长，.

(3)外接球：外接球直径2尺=正方体体对角线长，.

2.长方体与球

外接球：外接球直径2R=体对角线长十七+(的分别为长方体的长、宽、高).

【知识点2正棱锥与球】

1.正棱体与球的切、接问题

⑴内切球：睢棱锥=；S表底（等体积法），/•是内切球半径，/?为正棱锥的高.

（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E,半径为八相=（〃—火）2+/（正

棱锥外接球半径为七高为初

【知识点3正四面体的外接球、内切球】

1.正四面体的外接球、内切球

若正四面体的棱长为a,高为h,正四面体的外接球半径为R,内切球半径为r,则〃=卓a,R=^-a,

【知识点4正三棱柱的外接球】

1.正三棱柱的外接球

球心到正三棱柱两底面的距离相等，正三棱柱两底面中心连线的中点为其外接球球心.

6

【知识点5圆柱、圆锥的外接球】

1.圆柱的外接球

R=4是圆柱外接球的半径，/?是圆柱的高，r是圆柱底面圆的半径）.

2.圆锥的外接球

—玲2+1（尺是圆锥外接球的半径，〃是圆锥的高，：.是圆锥底面圆的半径）.

【知识点6几何体与球的切、接问题的解题策略】

1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：

空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：

（1）定义法：利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图,

确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.

（2）补形法：若球面上四点尸/,民。构成的三条线段两两垂直，且以=a,PB=b,PC=c,一般

把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据轨2=4+必+02求解.

（3）截面法：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线

作截面，把空间问题转化为平面问题求解.

3.内切球问题的求解策略：

（1）找准切点，通过作过球心的截面来解决.

（2）体积分割是求内切球半径的通用方法.

►举一反三

【题型1定义法求外接球问题】

【例1】（2024•新疆乌鲁木齐•三模）三棱锥A—BCD中，4D1平面力BC,NR4c=60。，4B=1,AC=2,

AD=4,则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（）

A.10TTB.20TTC.25TTD.30TT

【变式1-1］（2024•海南•模拟预测）已知正方体力BCD-4/©%的棱长为2,点N为侧面四边形CDD©

的中心，则四面体NCBiM的外接球的表面积为（）

A.2nB.4TTC.6TTD.8TT

【变式1-2］（2024•河南周口•模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2,面积为g的扇形，则该圆

锥的外接球的面积为（）

A.—B.—C.—D.9TT

842

【变式1-3］（2024•青海•二模）如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面四边形4BCD为等腰梯形，BC//AD,

PD=2AD=4BC=4,底面积为平，PD，力。且PB=回，则四棱锥P—ABCD外接球的表面积为（）

4

P

A.9nB.12V3TTC.39TlD.2On

【题型2补形法求外接球问题】

【例2】（2024•内蒙古锡林郭勒盟•模拟预测）在空间直角坐标系中，已知

4（030），B（0,0,0）,C（4,0,0）,D（0,3,2）,则四面体4HCQ外接球的表面积为（）

A.29TTB.28nC.32nD.30K

【变式2-1］（2024•江西•模拟预测）现为一球形玩具设计一款球形的外包装盒（盒子厚度忽略不计）.已

知该球形玩具的直径为2,每盒需放入4个玩具球，则该种外包装盒的直径的最小值为（）

A.2—B.2+V3C.V6—2D.2+V6

【变式2-2］（2024•重庆•模拟预测）已知四面体中，AB=CD=AC=BD=2,4。=BC,若四面体

48。的外接球的表面积为7m则四面体/BCD的体积为（）

48

A.1B.2C.-D.-

33

【变式2-3］（2024•四川雅安・模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八

个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为VL则该多面体外接球的表

【题型3截面法求外接球问题】

【例3】（2024•江苏南通•三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3遍，则该正

四棱台内半径最大的球的表面积为（）

A.12nB.27TTC.—D.—

93

【变式3-1］（23-24高三下•河南•阶段练习）已知圆台。的上、下底面半径分别为勺，r2,且q=2q,若

半径为次的球与。的上、下底面及侧面均相切，则。的体积为（）

A.7V3TTB.8伍C.D.等

【变式3-2］（2024•湖北•二模）已知圆锥尸。的顶点为P,其三条母线为，PB,尸C两两垂直，且母线长

为6,则圆锥尸O的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（）

A.12（10-3V6）TTB.24（20-7V6）TTC.60（8-3V6）nD.3（40-7V6）TT

【变式3-3］（2024•四川成都•三模）已知正四棱台A8CD-EFGH的上底面积为16,下底面积为64,且其

各个顶点均在半径/?=商的球。的表面上，则该四棱台的高为（）

A.2B.8C.8或12D.2或12

【题型4棱切球模型问题】

【例4】（2024•全国•模拟预测）正四面体/BCD的棱长为2,其棱切球的体积为（）

A.2nB.V6TTC.—TTD.—TT

【变式4-1］（2024•山东日照•二模）已知棱长为1的正方体4BCD-4%的£»1，以正方体中心为球心的球。

与正方体的各条棱相切，若点P在球。的正方体外部（含正方体表面）运动，则万・丽的最大值为（）

731

A.2B.-C.-D.-

444

【变式4-2］（2024•广东佛山•模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其

所有棱都相切）的表面积分别为Si，S2,则费=.

【变式4-3］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）若将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，

八个顶点共截去八个三棱锥，可得到一个有十四个面的多面体.它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形,

六个面为正方形，如图所示，已知该多面体过/,B,。三点的截面面积为6旧，则其棱切球（球与各棱相

切）的表面积为.

【题型5内切球模型问题】

【例5】（2024•全国•模拟预测）如图，已知四棱锥P-4BCD的底面是边长为2的菱形，。为AC,8D的交点,

P。1平面4BCD,NPB4=NA8C=60。，则四棱锥P-2BCD的内切球的体积为（）

V6nV6n

816

【变式5-1］（2024・陕西西安•一模）六氟化硫，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的

稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，

硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m,

则该正八面体结构的内切球表面积为（）

Q

A.urn2B.2urn2C.D.

33

【变式5-2］（2024•全国•模拟预测）已知圆台。1。2存在内切球。（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球）,

若圆台。1。2的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5:8,设圆台。1。2与球。的体积分别为％〃2,则凸=

（）

A.-B.-C.-D.-

341113

【变式5・3】（2024•江苏宿迁•三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面

体的内切球.在四棱锥P-/BCD中，侧面P/B是边长为1的等边三角形，底面/BCD为矩形，且平面P4B1

平面ZBCD.若四棱锥尸-存在一个内切球，设球的体积为匕，该四棱锥的体积为匕，则富的值为（）

AV3K口V3TTCV3HCV3TT

A.JD.C.D.

6121854

【题型6多球相切问题】

【例6】（2024高三・全国・专题练习）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这

两个小球的表面积之和最大为（）

A.（96-64V2）irB.（24—16位C.8nD.16TT

【变式6-1］（2024•河北沧州•模拟预测）某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包

装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2,每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱

长的最小值为（）

A.2+2V6B.2+4V6C..4+2V6D.4+4V6

【变式6-2］（2024・湖南益阳•模拟预测）如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”.显

然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙.材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密

堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变

化.记原金属晶体的原子半径为以，另一种金属晶体的原子半径为「B，则以和的关系是（）

A.2rB=B.2rB=巫TA

C.2TB=（V3—l^rAD.2TB=（V6—2）rA

【变式6-3］（2024•浙江温州・二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁

里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如

图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体4BCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面

均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2乃，则模型中九个球的表

面积和为（）

2In

A.6nB.9TTC.——4D.

【题型7外接球之二面角模型】

【例7】（2024•陕西宝鸡•三模）△力BC与△48。都是边长为2的正三角形，沿公共边AB折叠成60。的二面

角，若点/,B,C,。在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

.13_208K„52r112n

A.—TTB.-----C.—TTD.------

9993

【变式7-1］（2024•山东•模拟预测）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形4BCD,且AC=BC=

\AD=1,ACLAD,现将△ACD沿4c折起，使得点。到达点P处，且二面角P—力。—B的大小为60。，连接

BP,如图②，若三棱锥P-ABC的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（）

D

P

C.6nD.7n

【变式7-2］（2024•陕西榆林•模拟预测）如图，△ZBC是边长为4的正三角形，。是的中点，沿将

折叠，形成三棱锥Z-BCD.当二面角8-ZD-C为直二面角时，三棱锥"-BCD外接球的表面积为（）

D20碣

.3

【变式7-3］（2024•上海徐汇•二模）三棱锥P-4BC各顶点均在半径为2鱼的球。的表面上，AB=AC=

2y/2,/.BAC=90°,二面角P-BC-4的大小为45,则对以下两个命题，判断正确的是（）

①三棱锥。-HBC的体积为*②点P形成的轨迹长度为2后.

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

【题型8与球的切、接有关的最值问题】

【例8】（2024•湖北•模拟预测）已知四棱锥P-HBCD的底面为矩形，AB=2®BC=4,侧面P4B为正

三角形且垂直于底面力BCD,M为四棱锥P-4BCD内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为（）

A.V10-2B.V10-1C.2V3-2D.2V3-1

【变式8-1］（2024•陕西安康•模拟预测）在四棱锥P—力BCD中，底面四边形力BCD为正方形，四棱锥P-4BCD

外接球的表面积为16m则当四棱锥P-A8CD的体积最大时，4B=（）

o

A.V3B.2C.D.3

【变式8-2］（2024•福建泉州•一模）泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房

灯、走马灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式.在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯,

他将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半

正多面体，如图所示.已知该半正多面体的体积为g,M为△A8C的中心，过M截该半正多面体的外接球

的截面面积为S,则S的最大值与最小值之比（）

A.8B.：9C.3D.9

【变式8-3］（2024・福建南平•模拟预测）某雕刻师在切割玉料时，切割出一块如图所示的三棱锥型边料，

测得在此三棱锥4-BCD中，侧面ABC_L底面BCD,且AB=AC=DB=DC=AD=2cm,该雕亥!!师计戈lj将

其打磨成一颗球形玉珠，则磨成的球形玉珠的直径的最大值为（）

C.2近（2-V3）cmD.a（2-V3）cm

【题型9与球的切、接有关的截面问题】

［例9］（2024・云南曲靖・模拟预测）正方体4BCD-外接球的体积为4V3n,E、F、G分别为棱A4、

A/i、的中点，则平面EFG截球的截面面积为（）

A.巴B.如C.史D.E

3333

【变式9-1］（2024•江苏南京•模拟预测）已知SO】=2,底面半径。遇=4的圆锥内接于球。，则经过S和。M

中点的平面截球。所得截面面积的最小值为（）

A.—25IlB.2竺5nC.2—5nD.5n

234

【变式9-2］（2024•湖北武汉•模拟预测）四棱锥P-A8CD各顶点都在球心。为的球面上，且P力，平面A8CD,

底面力BCD为矩形，PA=AD=2,AB=2五,设M,N分别是PD,CD的中点，则平面4MN截球。所得截面的面

积为（）

A.nB.3nC.4TlD.2n

【变式9-3］（2024•全国•模拟预测）在正方体力BCD-中，E,尸分别为棱&Bi，£）小的中点，过

直线昉的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为s,最大值为S,贝1］工=（）

S

A.西B.。C.至D.9

2255

【题型10多面体与球体内切外接综合问题】

【例10】（2024•全国•模拟预测）已知圆台。1。2的内切球半径为2,圆台。1。2的体积为28%，则圆台0。2

外接球的表面积为（）

【变式10-1］（23-24高二下•湖南长沙•期中）已知正四棱锥外接球的半径为3,内切球的半径为1,则该正

四棱锥的高为（）

A.4+V3B.4+V2C.4±V3D.4±V2

【变式10-2】（2024•甘肃金昌・模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥P-4BCD中，点P在底面的

射影H为正方形超CD的中心，异面直线PB与4。所成角的正切值为|,则四棱锥P-力BCD的内切球与外接球

的半径之比为（）

A.—B.—C.—D.—

17161318

【变式10-3】（2024•云南大理•模拟预测）六氟化硫，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、

不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正

八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如

图所示，正八面体的棱长为a,此八面体的外接球与内切球的体积之比为（）

A.3V3B.2V3C.3V2D.2V2

►过关测试

一、单选题

1.（2024•辽宁•一模）已知正四棱锥P-A8CD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4,体积为

则该球表面积为（）

4TT

A.97rB.36TTC.4TTD.—

3

2.（2024•山东济南•二模）已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2百，若半径为1的球与该正三棱锥的各

棱均相切，则三棱锥P-ABC的体积为（）

A.2B.2V2C.3D.2V3

3.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）已知正三棱锥A-BCD的外接球是球。，正三棱锥底边BC=3,侧棱=2旧,

点E在线段BD上，且BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

91T

A.2nB.—C.3TTD.4TT

4

4.（2024•广东广州•模拟预测）已知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆

台的上、下底面半径分别为勺，r2,且「2=4勺=4,则圆台的体积与球的体积之比为（）

A.-B.—C.-D.—

4828

5.（2024•陕西宝鸡•三模）△A8C与△力BD都是边长为2的正三角形，沿公共边力B折叠成三棱锥且CD长为

V3,若点4B,C,D在同一球。的球面上，则球。的表面积为（）

A13「2087r1127rC52

A.—nD.---------D.—71

99・39

6.（2024•陕西榆林•模拟预测）如图，△ABC是边长为4的正三角形，。是8C的中点，沿/。将△ABC

折叠，形成三棱锥Z-BCD.当二面角8-2。-C为直二面角时，三棱锥Z-BCD外接球的体积为（）

「5V5nD20碣

A.5nB.20nc-

•3

7.（2024・天津和平・二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下

去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正

四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）

8.（2024・安徽安庆•三模）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径

A.这两个球体的半径之和的最大值为萼

B.这两个球体的半径之和的最大值为g

C.这两个球体的表面积之和的最大值为（6+3点）11

D.这两个球体的表面积之和的最大值为当

二、多选题

9.（2024•黑龙江•模拟预测）图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（）

A.圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等

B.圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为；

C.圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为［

D.圆柱内切球的体积与圆柱体积比为:

10.（2024•河北衡水•三模）已知在正方体43。。一力/1的。1中，力&=2,点M为4的中点，点P为正方

形为B1C1D1内一点（包含边界）,且8P〃平面球。为正方体ABCD-AiBiCiOi的内切球，下列说法

正确的是（）

A.球。的体积为段B.点P的轨迹长度为2/

C.异面直线CC1与所成角的余弦值取值范围为[日,W]D.三棱锥外接球与球。内切

11.（2024•江苏无锡•模拟预测）在平面四边形A8CD中，ABBC1,AB1BC,将△力CD沿力C折起，使。

到达点P的位置.已知三棱锥P-4