求数列的通项公式（10题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题29求数列的通项公式10题型分类

彩题如工总

题型10：前n项积型题型1：观察法

彩和泅宏库

1.数列的通项公式

如果数列｛斯｝的第n项斯与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

2.数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推

公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项.

观察法

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察

法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(-1)"或者(-I)"一部分.②考虑各项的变

化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方｛r｝、｛2"｝与(-1)"有

关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.

题型1:观察法

1-L（2024.湖南长沙.二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中出现了如图所示的形状，后人

称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……，则第十层有（）

个球.

A.12B.20C.55D.110

1-2.（2024・辽宁・三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭

代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1,图“中正六

边形的个数记为耳，所有正六边形的周长之和、面积之和分别记为C”,5“，其中图〃中每个正六边形的边长

是图〃-1中每个正六边形边长的;，则下列说法正确的是（）

C.存在正数机，使得恒成立D.

13（2024高二上•山东聊城•期中）若数列｛q｝的前4项分别是:-g,则该数列的一个通项公式为

（）

（-I）"-1（-1）"「（-1）"n（―1严

AA.a=---------nB.a=------C.a=-------D.a=-------

nnnn+1nnnn+1

71.（2024高三上.河北唐山•期中）若数列｛%｝的前6项为则数列｛%｝的通项公式可以

为%=（）

D.(-l)n+1-

1.累加法：形如an+i=%+/(«)的解析式

形如%+i=%+/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造:

将上述吗个式子两边分别相加，可得：q=f(力-1)+/("-2)+.../(2)+穴1)+囚,(〃22)

①若f(n)是关于〃的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于"的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若/(〃)是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

2.累乘法：形如all+1=an-/(??)的解析式

-=/(«-1)

形如%+1=%•/(〃)〃的函数)可构造：

将上述机2个式子两边分别相乘，可得：«„=f｛n-1)-f(n-2)••f(T)f(X)ax,(n>2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

题型2:累加法

2-1.(2024.陕西安康•模拟预测)在数列｛《,｝中，4=1,an+1=an+n+l,贝+7+…+—=()

2021「40442021-2022

A.------B.------C.------D.------

1011202320222023

2-2.(2024•新疆喀什•模拟预测)若。〃=+〃-1,a1=1则=()

A.55B.56C.45D.46

2-3.（2024高三•全国・专题练习）已知数列｛g｝满足q=:c，«„i=a„+，则｛。“｝的通项为（）

2+n2+n

c31

A.--,n>l,neN*B.-+,n>1,nGN*

n2n

31c31

C.--------,n>1,neN*D.-------.>1,HeN*

2n2n

2-4.（2024・四川成都•模拟预测）已知S,是数列｛q｝的前〃项和，且对任意的正整数小都满足:

11cc1

-----------=2〃+2,若％=］，则$2023二（)

4+1an

A20232022〃2021r1010

A.------B.c.----D.------

2024202320242023

题型3：累乘法

3-1.（2024高二.全国•课后作业）数列｛《,｝中，q=l,—（"为正整数），则％侬的值为（）

2021-2022

A)B」C.------D.------

2022202120222021

72+1

3-2.（2024高二上•陕西咸阳•阶段练习）已知％=2,。〃+]=d,则%022=()

nn

A.506B.1011C.2022D.4044

已知数列｛%｝满足（"+2）a“+i=5+1）。“，且的=；,则氏=（）

3-3.（2024高一下•青海西宁•阶段练习）

n-1「1c」D.-L

A.-----B.-----

〃+12n-l2n-\〃+1

彩偏题祕籍（二）

待定系数法

（-）形如/（其中pg均为常数且p/0）型的递推式:

（1）若p=l时，数列｛环｝为等差数列；

（2）若q=0时，数列｛七｝为等比数列；

（3）若pwl且q/O时，数列｛a,J为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法

有如下两种：

法一：设an+i+X=p（an+2）,展开移项整理得an+i=pan+（p-1）X,与题设an+l=pan+q比较系数（待

定系数法）得；1=—^,（0片0）=%+|+—^=p（a“+—^）+—=+—^），即构

p-1p-1p-1p-1p-11p-lj

成以％+，_为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出［“"+'一］的通项整理可

p-11P-1J

得％.

1

法二：由an+i=pan+q得a.=pan_x+仪〃22）两式相减并整理得出~—=p,即｛a“+i-aj构成以a,-q

为首项，以〃为公比的等比数列.求出｛。角-%｝的通项再转化为类型回（累加法）便可求出％.

（二）形如%+i+/（几）（pW1）型的递推式：

（1）当/（〃）为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：^an+An+B=p\an_x+A（n-1）+B］,通过待定系数法确定A、B的值，转化成以q+A+3为首

Fl!

项，以4"=滴而为公比的等比数列｛a，，+A〃+3｝，再利用等比数列的通项公式求出｛氏+即+用的通项

整理可得为.

法二：当/'（"）的公差为d时，由递推式得：an+i=pan+f｛ri）,两式相减得：

%+1-4=。（（一"”.1）+4，令b”=a.+「a”得:6,=。。“—+”求出b,,再可求出

（2）当/（〃）为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设%+2/（"）=p［a“T+儿/（〃-1）］,通过待定系数法确定2的值，转化成以％+2/⑴为首项，以

4"=（1》为公比的等比数列｛氏+肛（必，再利用等比数列的通项公式求出｛。"+A/'（明的通项整理可

得。

法二：当/（〃）的公比为q时，由递推式得：an+l=pan+/（n）---①，an=pan_x+f（n-1）,两边同时乘

以q得a〃q=pqafl-l+Qf（〃-l）—②，由①②两式相减得q+i—%q=p（。〃一或*）,即％—"■=〃，在求出

册—q%

%.

法三：递推公式为为+1=p%+/（其中p，q均为常数）或%+i=p%+nf（其中p,q,r均为常数）

时，要先在原递推公式两边同时除以4角，得：名■=£.2+▲,引入辅助数列抄J（其中勿=&）,得：

qqqqq

%+]=£2+工再求出

qq

（3）当/（〃）为任意数列时，可用通法：

在％=叫+/⑻两边同时除以*可得到%=3+噌，令之=2,则%=2+坐，在通过

ppppP

累加法，求出口之后得an=p"bn.

题型4:待定系数法

4-1.（2024・四川乐山•二模）已知数列｛4“｝满足a,+]=2a“+2,4=1,则。,,=.

4-2.（2024高三.全国・专题练习）已知数歹（]｛为｝满足。用=2。“+4-3"\%=-1,则数列｛%｝的通项公式

为.

4-3.（2024高三•全国•专题练习）已知：4=1,”22时，an=—an_x+2/2-1,求｛4｝的通项公式.

彩得41祕籍

（四）

同除法

对于a“+i=pa〃+cq"（其中p,q,c均为常数）型

方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为a”+i+xq"+i=p（a“+xq"）,将递推关系cz„+i=po„+cq"

CC

待入得pa〃+cq〃+xq〃+i=p（a〃+xq"懈得x=^q,则由原递推公式构造出了念+i+r力弓〃+1=p（〃〃+

之・q"）,而数歹[1｛。"+：勺"｝是以田+高q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要

求pWq，否则待定系数法会失效）

方法二：将斯+i=pa“+cq"两边分别除以*1,则有耕=学+黯然后利用累加法求得。

方法三：将斯+i=pa〃+cq"两边分别除以q"L则有4詈=£&+£,然后利用待定系数法求解。

qqqq

题型5:同除法

5-1.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛《｝满足。"+1=2%+3-2",5=2,求数列｛%｝的通项公式.

5-2.（2024高三•全国・专题练习）已知数列｛4｝满足0用=34+2.3”+1,%=3,求数列｛%｝的通项公式.

彩做题秘籍（五）

取倒数法

对于。向=与」（*丰0）,取倒数得—=处空=---+-.

b+canan+laanaana

当a=b时，数列是等差数列；

1be

当4X6时，令b,J,贝1角=2以+£,可用待定系数法求解.

anaa

题型6:取倒数法

6-1.（2024高三・全国•对口高考）数列｛。“｝中，4+1=号］，4=2,则%=.

6-2.（2024高三•全国・专题练习）已知数列｛%｝满足：%=2,%=2。"；］（九N2）,求通项

nbci

6-3.（2024高三.全国.专题练习）设b>。，数列｛%,｝满足卬=6,«„=—r±7（〃22）,求数列｛见｝的通项

公式.

（K）

取对数法

形如%M=cd（c>0,%>0）的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.

题型7:取对数法

7-1.（2024高三.全国.专题练习）设正项数列｛%｝满足4=1,o„=2<1（/i>2）,求数列｛q｝的通项公式.

72（2024高三•全国・专题练习）设数列｛4｝满足0=。（。>。），%,+1=2亚，证明：存在常数使得对

于任意的〃£N*,都有44".

彩健题海籍

（七1）

已知通项公式%与前几项的和S”关系求通项问题

对于给出关于a“与S"的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向

是转化S“为明的形式，手段是使用类比作差法，使S"-S"T=a.（心2,MN*）,故得到数列｛4｝的相关

结论，这种方法适用于数列的前"项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将氏转化为（“22,

〃eN*）,先考虑S,,与Si的关系式,继而得到数列｛S“｝的相关结论,然后使用代入法或者其他方法求解｛an｝

的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前〃项和的形式不够独立的情况.

简而言之，求解册与S,的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化S）,的形式为a”的形式，

适用于5“的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化％的形式为S,的形式，适用于S”的形式不够独

立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对〃的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后

及时加注”的范围.

题型8:已知通项公式与前几项的和关系求通项问题

8-1.（2024•青海西宁•二模）已知S“为数列｛4｝的前"项和，4=1,a,1+1+2S,!=2«+l,贝ij与m=（）

A.2020B.2021C.2022D.2024

82（2024高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知数列｛4｝的前〃项和为S.，若S用+S,=2〃2（〃eN*）,且

4/0,al0=28,则％的值为

A.-8B.6C.-5D.4

8-3.（2024・陕西渭南.二模）已知数列｛风｝中，%=1“>0,前”项和为S".若a"=病+卮（〃eN*,府2）,

则数列J」一的前2023项和为_________.

aa

[„„+i\

84（2024高三下•湖南•阶段练习）已知数列｛。“｝满足4+3%+…+（2〃-1）%=〃.

（1）求｛4｝的通项公式；

------>n=2k—1

⑵已知％=19a,,%eN*,求数列｛c0｝的前20项和.

a„-an+2,n=2k

彩得题初籍

周期数列

（1）周期数列型一：分式型

（2）周期数列型二：三阶递推型

（3）周期数列型三：乘积型

（4）周期数列型四：反解型

题型9:周期数列

9-1.（2024高二上•黑龙江•期中）己知数列｛q｝满足4=-3,%+i=&W，则。2022=（）

+1

A.—B.2C.—D.—3

32

92（2024•陕西咸阳・模拟预测）已知数列｛叫满足4=3,«„+1=1--,记数列｛4｝的前"项和为S"，贝卜）

an

31

A・〃2=]B.S3n+i-S3n=--

C.anan+ian+2=D.%=20

11

9-3.（2024高二上•河南周口•阶段练习）已知数列｛2｝满足〃用二^——，若则%021=（）

l~an2

A.-2B.-1

C.gD.2

2,„N*,“2023=（）.

9-4.（2024高二上•吉林・期末）已知数列｛q｝满足：％=1,』=an+2=an+｝-an,e则

A.-2B.-1C.1D.2

彩僻题被籍（九）

前n项积型

类比前〃项和求通项过程：

(1)n=l9得%

(2)时，an--f—

题型10：前n项积型

10-1.（2024福建南平•模拟预测）设T,为数列｛q｝的前”项积.已知黑一祟=2.

（1）求｛%｝的通项公式；

⑵求数列的前〃项和.

[2K+3J

一,、1S-1

10-2.（2024高二上•山东威海・期末）设S“为数列｛。,｝的前n项和，％,为数列｛S,,｝的前w项积，已知元=、.

1n，

⑴求S1,邑；

⑵求证：数列为等差数列；

（3）求数列｛%｝的通项公式.

10-3.（2024・四川•模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为工，且满足an>0,Sn=包学”，数列色｝的前〃项

积Z,=2*.

⑴求数列也｝和色｝的通项公式;

⑵求数列｛4勿｝的前〃项和.

媒习与置升

一、单选题

1.（2024高二上•浙江嘉兴•期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子

算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关

于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,

现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数

列｛%｝，则。6=（）

A.17B.37C.107D.128

2.（2024.海南•模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中

国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数

学史上第一道数列题，其各项规律如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,记此数列为｛%｝,

则—<21）+（%—生）---（。50一。49）=（）

A.650B.1050C.2550D.5050

3.（2024•吉林・三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传

统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中

华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,

50,则此数列的第25项与第24项的差为（）

A.22B.24C.25D.26

4.（2024.吉林通化•模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三

111

角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1,4,5,工，L构成数列｛4｝,其前八项和为S“，则邑。=

3610

（）

1

11

111111

13TOT031

39「40-41一419

A.—B.—C.—D.-----

202121210

5.（2024高三・全国・对口高考）数列1,3,7,15,……的一个通项公式是（）

nx

A.a„=2"B.。“=2"+1C.an=2D.an=T-

n

6.（2024・四川南充•模拟预测）已知数列｛g｝满足：a-a<3,«„-a„>91.3",则。23=（）

On+2n+6

A.——+—B.

2282

D.

2

7.（2024・河南•模拟预测）已知数列｛%｝满足%1乜=2",4=1,则%侬=（）

an+l~an

A.2023B.2024C.4045D.4047

8.（2024高二.全国•课后作业）已知弓=1,4=q）（weN+）,则数列｛%｝的通项公式是%=（）

A.2n-lB.（空■）C.n2D.n

9.（2024高三.全国・专题练习）已知数列｛%｝中，％=1,如储=2（q+%+…N*）,则数列｛4｝的

通项公式为（）

A.an=nB.an=2n-l

〃

-+1D-f〃+1,（几.2）

10.（2024高二下.河南•期中）已知数列｛q｝满足%=:，%=等〃cN*）,则数列｛0｝的通

32n+l

项。〃=（）

A.-7—B.-7—

4n2-l2n2+l

]]

C（2n-l）（2n+3）D，（n+l）（n+3）

11.（2024高三下•安徽•阶段练习）在数列｛■中，％=；且（〃+2）%+1二次小则它的前30项和S30=（）

A30n29「28n19

A.—B.—C.—D.—

31302929

12.（2024高三上•江苏淮安•阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干

即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、

酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起,地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列

到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…,以

此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（）

A.壬午年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年

13.（2024•云南昆明•模拟预测）已知数列｛%｝满足q=1吗=3,%=a〃_i+a〃+i（〃£N*,〃>2）,则%022=（）

A.-2B.1C.4043D.4044

，、1

14.（2024•云南玉溪•模拟预测）已知数列｛%｝满足4+——=1,若%。=2,则4=（）

“〃+1

13

A.—1B.—C.-D.2

22

15.（2024高三上.福建龙岩•期末）数列也｝满足％eZ,an+1+an=2n+3,且其前”项和为S”.若几=4,

则正整数7〃=（）

A.99B.103C.107D.198

二、填空题

16.（2024高三・全国・专题练习）已知数列｛%｝中，％=1,«„+1=3«„+4,则数列｛为｝的通项公式为.

17.（2024高三•全国・对口高考）已知数列｛〃"｝中，4=1,且a“=2a,i+3（H>2,且〃eN*）,则数列｛%｝

的通项公式为

18.（2024•山东泰安・模拟预测）数列｛0｝的前〃项和为S“，满足S"+「2S"=l-〃，且岳=3,则｛a,｝的通项

公式是.

19.（2024高二上•河南•阶段练习）若数列｛%｝满足旦旦+嗅=左（％为常数），则称数列｛七｝为等比和数列,

an+lan

左称为公比和，已知数列｛%｝是以3为公比和的等比和数列，其中4=1,%=2,则旬。8=.

20.（2024高三上・贵州贵阳•阶段练习）若数列｛%｝满足。“+%=+2+贝1^2“=.

21.（2024高三•全国•专题练习）数列｛4｝满足总+（T严==3"-1,前16项和为540,则%=_.

22.（2024高三・全国・专题练习）数列｛4｝满足a“+2+（T）"a"=3wT,前16项和为508,则％=

23.（2024高三.全国・专题练习）已知4=3,an+1=^—,则｛4｝的通项公式为____.

%一/

（、2a—1

24.（2024高三.全国•专题练习）已知数列｛%｝满足弓=2,"用=丁=,则%=_____.

%十今

25.（2024高三•全国•专题练习）已知数列H/满足“=？，％,+]=-一则%=.

三、解答题

4=2,且对于力>1时恒有=：凡_1+1,求数列｛4“｝的通

26.（2024高三.全国•专题练习）已知数歹！]｛%｝,

项公式.

27.（2024高三・全国•专题练习）已知数列｛%｝满足：。“+]-2,“eN*,%=4,求生,.

28.（2024高三•全国・专题练习）已知数列｛%｝是首项为4=2,%包=>,+2〃+g.

（1）求｛%｝通项公式；

⑵求数列｛%｝的前〃项和S”.

29.（2024高三•全国•专题练习）已知数列｛劭｝中，4=2,4角=幺『，求｛劭｝的通项.

30.（2024高三上•江苏南通・阶段练习）已知数列｛q｝中，％=1,满足a“M=2q,+2〃-l（"eN*）,设S“为数

列｛%｝的前”项和.

（1）证明：数列｛4+2〃+1｝是等比数列；

（2）若不等式32"+*+4>0对任意正整数”恒成立，求实数2的取值范围.

31.（2024高三•全国・专题练习）在数列｛%｝中,%=-1,。3=24+4.3"\求通项公式％.

32.（2024高三.全国•专题练习）已知数列｛七｝满足%+I=24+3-5"，4=6,求数列伍」的通项公式.

33.（2024高二.全国・专题练习）已知数列｛七｝满足%+1=2/+4、3"7,4=1,求数列也,｝的通项公式.

34.（2024高三.全国•专题练习）在数列｛%｝中,3=1，%=-^，求知.

35.（2024高三•全国•专题练习）已知见+1=/2吗=1,求｛5｝的通项公式.

36.（2024高二・全国・专题练习）已知数列｛%｝满足。用==]，%=1,求数列｛%｝的通项公式.

37.（2024.江苏南通•模拟预测）已知数列｛4｝中，=-,。“+1=土—.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求证：数列｛%｝的前"项和S“<L

38.（2024・广东潮州・二模）已知数列｛4｝满足4=3,。用=4-24+2.

⑴证明数列｛ln（a“-l）｝是等比数列，并求数列｛%｝的通项公式；

⑵若“=—+-数列也｝的前〃项和S“，求证：Sn<2.

an"〃一,

39.（2024高三.全国.专题练习）己知数列也｝的前“项和为S“，且S“=2%-1（〃eN*）.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

⑵设bn=anlog2an,求数列｛〃｝的前〃项和看.

40.(2024高三•全国・专题练习)已知数歹!]｛%｝的前〃项和S“满足S'=2a“+2〃.

⑴写出数列的前3项

(2)求数列｛%｝的通项公式.

41.(2024•河北衡水三模)已知数列｛%｝的前〃项和为S,，gs“=a"-2"T.

⑴证明:是等差数列;

(2)求数列的前〃项积.

42.(2024海南海口•一模)已知各项均为正数的数列｛%｝满足2£=%+1,其中S“是数列｛《,｝的前〃项和.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若对任意〃eN+，且当时，总有占+不二+三\+…+恒成立，求实数九的取值范围.

4坊32T33T3〃T

43.(2024高三・全国・专题练习)已知数列｛%｝的前"项和为5",且5,=〃-5%-85,〃6e.证明：是

等比数列.

11

44.(2024高三・全国・专题练习圮知｛叫是各项都为正数的数列，S"为其前"项和，且q=1,S“=Jan+—

an

⑴求数列｛%｝的通项％;

111r1>

⑵证明:——+——+•••+<21-------

2S]3与5+1电

45.(2024高三下•河北石家庄•阶段练习)数列｛4｝的前〃项和为E,,%=2,%=4且当”22时,

3S,T，2s”,5m+2"成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

⑵在。“和％之间插入〃个数，使这”+2个数组成一个公差为4的等差数列，在数列｛4｝中是否存在3项

(其中加Zp成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.

46.(2024・陕西咸阳・模拟预测)已知S”是数列｛q｝的前w项和，4=2,S„=a„+1+1.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

,〃+3,、

⑵已知2=—,求数列｛2｝的前〃项和副

an

47.(2024高三.全国.专题练习)已知数列｛%｝,S“为数列｛%｝的前"项和，且满足q=1,3s“=(〃+2)%.

⑴求｛%｝的通项公式；

11111

(2)证明：—+—++—<T.

出/4%2

48.(2024•河北沧州・模拟预测)已知正项数列｛%｝的前〃项和为%满足。,=2四_1.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若6.=ancos等,求数列出｝的前3"+1项和T3n+l.

49.(2024•江西.三模)已知各项为正数的数列｛%｝的前”项和为S"，满足S,+i+S“=：a3，q=2.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设2=参，求数列出｝的前〃项的和T,.

2V

50.(2024高三•全国・专题练习)记S.为数列｛4｝的前w项和.已知一+"=2%+1.证明：｛外｝是等差数

n

列；

,、21

51.(2024高三上.江苏南通・阶段练习)(为数列｛%｝的前〃项积，且一+至=1.

(1)证明:数列｛北+1｝是等比数列；

(2)求｛4“｝的通项公式.

2

52.(2024.湖北.模拟预测)已知数列｛%｝的前“项书积为“，且?+肾+…

(1)求数列［去］和｛为｝的通项公式；

⑵求〃")=2+bn+1+a+2+…+b2n_i+b2n的最大值.

53.(2024高三下•陕西西安•阶段练习)已知数列｛4｝的前"项积1=2其以

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记2=log?%,数列他,｝的前〃项为S“，求S”的最小值.

54.(2024高三上・江苏•阶段练习)已知(为数列｛4｝的前〃项的积，且4=