全等三角形模型之奔驰模型-2025年中考数学常见几何模型（含答案）

全等三角形模型之奔驰模型-2025年中考数学常见几何

模型

全等三角解模型之解驰模整

在探讨奔驰模型时，我们着重于利用几何变换的技巧，尤其是线段的巧妙转移，以满足特定的聚合条

件，从而推导出我们所需的结论。几何变换的工具箱里，轴对称、平移、旋转和位似等都是我们得心应手

的工具，而在奔驰模型的探索中，旋转技巧尤为关键。具体而言，旋转的应用又可细分为旋转全等和旋转

相似两大类。今天，我们将聚焦于奔驰模型中的旋转全等类型进行深入剖析。

在掌握几何模型的过程中，一个常见的误区是过分依赖模型的结论，而忽视了其背后的证明逻辑与

方法论。这种做法无异于舍本逐末，因为数学考察的是灵活应变的能力，而非死记硬背。因此，学习数学

时，我们应在理解的基础上记忆，确保能够灵活运用所学知识。很多时候，解决问题的灵感正是来源于对

已有知识和方法的深刻理解与适当拓展。

针对几何模型的学习，学生应达到以下几个基本要求：首先，要能够识别并理解几何模型，从题目中

准确提炼出模型的特征；其次，不仅要记住模型的结论，更要深刻理解并掌握其证明思路和方法；最后，要

明了模型中的常见易错点，因为很多题目的考察点都围绕这些易错点展开。

然而，仅仅满足这些基础要求还不足以在几何学习中脱颖而出。为了取得更优异的成绩，学生需要

在日常学习中通过大量的练习，深化对几何模型的认识，认真理解每一种题型的本质，真正做到活学活

用。只有这样，才能在面对复杂多变的几何题目时，游刃有余，找到解决问题的最佳路径。

-oo

例题讲模型.....................................................................................1

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）.........................................................1

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）....................................................6

模型3.奔驰模型3（点在三角形外一鸡爪模型）..................................................9

习题练模型....................................................................................14

-O【例题讲模型。O

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）

9模型解读

此模型通常会和旋转一起来考查,还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特

征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等,每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边

三角形三个顶点都可以作为旋转中心（如上图的旋转）。

条件:如图，已知正三角形内有一点P,满足+P02=p02（常考数据：BP=3,AP=4,CP=5）,

结论：/APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

AA

常用结论等边三角形的面积公式:S&ABC=乎•人口2（选填题非常适用）

S模型证明

证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP'，连接PC。

•.•三角形ABC和三角形4Pp都为等边三角形；=AP=AP=PP,ZBAC=APAP'=APP'A

=60°；

ABAC-APAC=APAP'-APAC,：.ABAP=AP'AC,：.△ABP=丛ACP'（SAS）,BP=CP',

/APB=/APC；

...+pB2=pC2,p,pi+p，C2=pC2,2Ppe=90°,

/.ZAP'C=ZPP'C+APP'A=150°；/.ZAPS=150°=

s模型运用

注意:多线段共端点常考旋转。

1.（23—24八年级下.广东深圳.期中）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且=2,1.5,

PC=2.5,则乙4尸口的度数为°.

2.（2022.湖南.中考真题）如图，点O是等边三角形4BC内一点，OA=2,OB=1,OC=心，则AA98

与ABOC的面积之和为（）

A

A.4B.容C.D.V3

424

3.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）如图，△ABC,△CDE都是等边三角形，将△CDE绕点。旋转，使得点

在同一直线上，连接8E.若8E=2,AE=7,则CD的长是.

4.（2024.安徽.一模）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且E4=3,PB=4,PC=5,以为边在

△ABC外作相。。空连接尸Q,则以下结论中不正确的是（）

A.ZFBQ=60°B.ZPQC=90°C.ZAPC=120°D.ZAPB=150°

5.（24—25九年级上•广东广州•开学考试）如图，O是正△ABC内一点，。力=3,OB=4,OC=5,将线

段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论，①/\BO'A可以由△BOC绕点B

逆时针旋转60°得到；②点。与O的距离为5；③AAOB=150°；④四边形面积=6+4代；

⑤5澳℃+$澳03=6+压0,其中正确的结论是（）

A

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）

S模型解读

条件:如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P,满足P&2+^PAf=PC2,

结论：ZCFB=135°o（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

4A

S模型证明

证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP,连接PC。

•.•三角形ABC和三角形4Pp都为等腰直角三角形；

AB=AC,AP=AP',ABAC=APAP'^90°,P'P=72PA,AAP'P=45°；

ABAC-APAC=APAP'-APAC,：.APAB=AP'AC,：./\ABP=/XACP'(SAS),：.BP=CP',

NAPB=NAP，C；

PB2+(V2B4)2=PC2,AP'C2+P'P2=PC2,：.2Ppe=90°,

/AP'C=4Ppe+APP'A=135°；/./APB=135°。

s模型运用

6.(23-24九年级上•湖北孝感•阶段练习)如图，等腰直角AACB,AC=B。，点P在△AC®内,PC=

2,24=3,/RLD=/ACP则P8的长为()

7.（2024•黑龙江绥化•模拟预测）如图，在正方形4BCD外取一点E,连接DE,AE,CE,过点。作Z2E的

垂线交AE于点P,若。E=PC=2西则下列结论:①△AP。空△CE。；②AELCE；③

点。到直线。E的距离为2代；④S正方形的您=26其中结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.（2023年湖北省武汉市中考一模）如图，①ZVIBC中，/AC®=90°,AC=4V3,BC=6.点P为

△ABC内一点，且满足M2+。。2=4。2.当的长度最小时，则△ACP的面积是

9.（2024.河北.校考一模）如图1,在正方形ABCD内有一点P,B4=J^,=PC=1,求NBPC

的度数.

图1图2图3

【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于

是将△BPC绕点8逆时针旋转90°,得到了△BPA（如图2）,然后连结PP，.

【解决问题】请你通过计算求出图2中/8PC的度数；

【比类问题】如图3,若在正六边形ABCE底尸内有一点P,且a4=2，i3,P8=4,PC=2.

（l）NBPC的度数为；（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为.

模型3.奔驰模型3(点在三角形外一璃爪模型)

S模型解读

模型1)条件:如图L点P在等边三角形ABC外，若CP2+AR2=8产,结论：/CR4=30。。

模型2)条件:如图2,点P在等腰直角三角形ABC外，若CP+(V2AF)2=BP2，结论：ZAFC=45°«

(注意:上述两个模型结论和条件互换也成立)

图1图2

鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化,结合勾股定理，非常有意

思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。

S模型证明

模型1)证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP,连接。。。

•.•三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；

：.AB^AC,AP=AD=DP,ZBAC^APAD=AAPD=60°；

/.ABAC+ZPAC=ZPAD+APAC,：.NBAP=ACAD,：./\BAP=△CAD(SAS),：.BP=CD；

■：CP2+AP2=BP2,

:.PC-+DP2=CD2,

：.4DPC=90°,/.AGFA=ADPC-AAPD=30°0

模型2)证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP',且/.PAD=90°，连接PC。

•.•三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形；

AB^AC,AP^AD,/BAC=/B4D=90°,DP=V2PA,/APD=45°；

ABAC+APAC=APAD+ZPAC,：.APAB=ADAC,

/\ABP=AACD(SAS)，:.BP=CD；

■：CP?+(V2AP)2=BP2,CP2+DP2=CD2,2DPC=90°,

AAPC=ZDPC-ZAPD=45°o

S模型运用

10.（2024九年级上.重庆・专题练习）如图，P是等边三角形ABC外一点，9=3,PB=4,PC=5,求

/.BPA的度数.

11.（2023•广西贺州・二模）如图，点P为等边三角形ABC外一点，连接24,。。，若弘=7,PB=9,

ZAPS=30°，则PC的长是.

12.（23—24八年级上•江苏无锡・期中）如图，在四边形ABCD中，AD=5,CD=3,4ABe=NACB=

A.V34B.-S/41C.V43D.V59

13.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）【问题情境】在数学课上,老师出了这样一个问题：“如图1,在

四边形4BCD中，=/ABC=60°,ZADC=30°,AD=4,8。=5,求CD的长.”经过小组

合作交流,找到了解决方法:构造旋转全等.将△BCD绕点口逆时针旋转60°到ABAE,连接DE.

则是等边三角形，所以DE=AD=5,导角可得乙DAE=90°,所以CD==炉工万7=

3.

（1）请补全图形；

【探究应用1（2）如图2,在△4BC中，AB=AC,ZBAC=120°.D为ZVIBC外一点,且AADB=

50°,栗=乎，求乙4。。的度数；

【拓展延伸】（3）如图3,在△4BC中，4B=AC,ABAC=120°,AD，于。，河为4D上一点，连

接BM,N为W上一点,若AN=V2,BN=V3,/.BAN-ACBN=30°,连接CN,请直接写出线段

av的长

图i图2

习题练模型

14.（2024九年级・重庆・期中）如图，在等边△ABC内有一点P,使得/4?。:/498:/8。。=7:8:9,那么

以AP,BPGP的长度为边长的三角形的三个内角的大小之比为.

A

P

BC

15.（23-24九年级下•吉林•阶段练习）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条

件相对集中，以达到解决问题的目的.

【发现问题】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P,E4=2,尸口=g,PC=l,求NBPC的度数.

解:如图①,将线段BP绕点口逆时针旋转60°得到线段BP',连接AP',PP'.

•：BP=BP',AP'BP=60°，:./\PBP'是等边三角形，：.ABP'P=60°,PP'=PB=V3,

•••△ABC是等边三角形，ZABC=60°,BC=BA,

：.AABC-NABP=4PBp-AABP,即4PBe=ZP'BA.请你补充完整解答过程.

【应用问题】如图②,在正方形ABCD内有一点P,若P4=@,=4,PC=3,则ABPC=_°,

【拓展问题】如图③，在正方形ABCD中,对角线AC,RD相交于点O,在直线上方（包括直线

4。）有一点。，上4=4,。。=2,连接PO,则线段PO的最大值为.

16.（23-24九年级上.山西吕梁・期末）阅读下面材料：张明同学遇到这样一个问题：如图1,在正三角形

内有一点。,且融=3,。8=4,「。=5,求的度数.

张明同学是这样思考的:如图2,利用旋转和全等的知识构造△△「右,连接PP,得到两个特殊的三角

形，从而将问题解决.

图2

（1）请你计算图1中的度数；（2）参考张明同学思考问题的方法,解决下列问题:如图3,在正方

形ABCD内有一点P,且E4=2打，1,尸。=，行,求NAPB的度数.

17.（23-24九年级上•重庆沙坪坝•期末）（1）已知如图1,在△ABC中，=/4BC=90°,点。在

△ABC内部，点E在△ABC外部，满足BD_LBE,且BD=BE.求证：/\ABD左/XCBE.

（2）已知如图2,在等边△ABC内有一点P,满足上4=5,尸口=4,9。=3,求/8?。的度数.

E

图1图2

18.（2023・四川绵阳•一模）如图，四边形ABCD是正方形，点P为平面内一点,

（1）若点P在正方形内，如图1,弘==2,求AAPB的度数；

（2）若点P在正方形外，如果E4==b,如图2,且AAPB=45°,求的长.（用a,b表示）

19.（23-24九年级上.浙江绍兴.阶段练习）阅读材料题:浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已

知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接R1、P8、PC,若00=2,24=4,NAPC=135°,求P8

的长.

小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是:将△MC绕点A顺

时针旋转90°得到再利用勾股定理即可求解本题.请根据数学老师的提示帮小明求出图一中

线段的长为.

【方法迁移】：已知:如图二，ZVIBC为正三角形，P为△ABC内部一点，若？。=1,弘=2,9口=《，

求NAP8的大小.

【能力拓展】：已知:如图三，等腰三角形ABC中乙4cB=120°,。、E是底边AB上两点且乙DCE=

60°,若AD=2,_BE=3,求小的长.

20.（2024•河南•校考一模）（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点P是等

边三角形4BC内一点,PA=1,PB=V3,PC=2,求ABPC的度数.为利用已知条件,不妨把^BPC

绕点C顺时针旋转60°得ZVLPC,连接PP,则PP'的长为；在^PAP'中，易证APAP'=90°,

且ZPP'A的度数为，综上可得/BPC的度数为；（2）类比迁移:如图，点P是等

腰HS4BC内的一点，乙4cB=90。,24=2,可=2,「。=1.求/4PC的度数；（3）拓展应用：如

图，在四边形4BCD中，8C=3,CD=5,48=AC=/4D,/R4C=2/4DC,请直接写出8。的长.

21.（23-24九年级上•山东德州•期中）当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共

端点旋转，这样将分散的条件集中起来,从而达到解决问题的目的.

⑴如图1,等腰直角三角形ABC内有一点P,连接AP,BP,CP,NAPB=135°,为探究AP,BP,

CP三条线段间的数量关系，我们可以将△ABP,绕点A逆时针旋转90°得至U△ACP',连接PP'，则

PP'=AP,/\CPP'是三角形，AP,BP,CP三条线段的数量关系是.

（2）如图2,等边三角形ABC内有一点P,连接4P、BP、CP,ZAPB=150°,请借助第一问的方法探

究AP.BP、CP三条线段间的数量关系.

（3）如图3,在四边形4BCD中，4D〃BC,点P在四边形的内部，且=ACPD=9Q°,ZAPS

=135°,4D=4,BC=5,请直接写出AB的长.

22.（2023•山东济南•模拟预测）（问题提出）如图1,在等边△ABC内部有一点P,24=3,P6=4,PC=

5,求的度数.

（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题.

【尝试解决】将A4PC绕点A逆时针旋转60°,得到△4PB,连接PP'，则A4PP为等边三角形.

PP'=PA=3,又；PB=4,PC=5,PP燧+PRZuPC2,.,.△BP'P为三角形，/APB的度

数为.

【类比探究】如图2,在△4BC中，/BAC=90°,AB=AC,其内部有一点。,若可=2,。8=1,0。

=3,求乙4pB的度数.

【联想拓展】如图3,在△4BC中，NR4C=90°,NBC4=30°,其内部有一点P,若％=3,2,

PC=4四,求/4PB的度数.

23.（23—24九年级上•云南曲靖•阶段练习）如图，在等边△ABC内有一点15,且融=2,可="，9。=

1,若把BP绕着点B逆时针旋转60°得到BP',连接PP',AP'.

（1）求ZBPC的度数；（2）求尸P的长.（3）求点P划过的路径长；

（4）当BC=暂时,如果ABPA是由ABPC旋转所得,求PC扫过的区域的面积.

24.（23-24九年级上•湖北武汉•期中）如图，在等腰RiAABC中,AACB=90°,点P是AABC内一点，连

接PA,PB,PC,^.PA=V2PC,设ZAPB=a,ACPB=p.

⑴如图1,若ZACP=45°,将APBC绕点、C顺时针旋转90°至ADAC,连结。P,易证ADAP为等边

三角形，则a=,B=；（2）如图2,若PB=/E4,则a=,£=；

（3）如图3,试猜想a和£之间的数量关系，并给予证明.

25.（23-24九年级上•广东深圳•期中）【问题背景】:如图1,在等边△4BC中，点。是等边△48。内一点,

连结AD,RD,将/\ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,连结。E,观察发现:AD与DE的数量

关系为,4ADE=度；

【尝试应用】:如图2,在等腰Rt/\ABC中，AB=AC,ABAC=90°,点。是Rt/\ABC内一点,连结

AD,BD,CD,4。=22，_8。=5,8=3,求"5面积.

【拓展创新】:如图3,在等腰AABC中，AB=AC,ABAC=120°,点。为平面内一点，且NADB=

60。，架=3,则条的值为

JDUCU

图1图2图3

•M

26.（23—24九年级.辽宁鞍山.期中）问题情境,利用圆规旋转探索：每位同学在纸上画好

=08,乙48C=90°,要求同学们利用圆规旋转某一条线段,探究图形中的结论.

问题发现,某小组将线段AB绕着点A逆时针旋转得到线段旋转角设为a,连接CD、,如图1

所示.如图2,小李同学发现，当点。落在边47上时，/氏4。=2/050=①；

如图3,小王同学发现，当a每改变一个度数时，CD的长也随之改变.……

问题提出与解决，该小组根据小李同学和小王同学的发现，讨论后提出问题1,请你解答.

BBB

（DA（一/

D

图1图2图3

如图1,在①△ABC中，4B=CB,AABC=90°,将线段AB绕着点A逆时针旋转得到线段,设转

角设为a,连接CD、ED.⑴如图2,当点。落在边AC上时,求证：2NCBD=NBAD=a；⑵如图

3,当a=30°时,若AB=、后+2，求CD的长.（3）拓展延伸，小张同学受到探究过程的启发，将等

腰三角形的顶角改为100°，尝试画图，并提出问题请你解答.如图4,ZVLBC中，4B=CB,4ABe=

100°,将线段AB绕着点A逆时针旋转得到线段4D,旋转角a=2!0°,连接CD、BD,求NACD的度数.

B

C、A

图4

27.（2024・吉林长春•一模）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集

中，以达到解决问题的目的.

（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P,上4=2,尸6求NBPC的度

数.爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP,连接AP\PP',则

△BPC笃ABPA,然后利用"PP和△4PP形状的特殊性求出ZBP'A的度数，就可以解决这道问

题.

下面是小明的部分解答过程：

解:将线段8P绕点B逆时针旋转60°得到线段.,连接AP\PP',

BP=BP',AP'BP=60°,/./XPBP'是等边三角形，二ZBP'P=60°,PP'=PB=V3.

•••△ABC是等边三角形，/ABC=60°,BC=BA,

：.AABC-AABP=AP'BP-AABP,即APBC=ZP'BA.

请你补全余下的解答过程.（2）【类比迁移】如图②，在正方形4BCD内有一点「,且融=历，。6

=20，PC=1,则ABPC=度.⑶【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中,对角线

47、8。交于点。,在直线人。上方有一点。，上4=4,。0=2,连接「0,则线段。0的最大值为__

图③

•M

28.（23-24九年级上•吉林长春•阶段练习）【几何感知】如图（1）,在4ABC中，点。为BC边上一点,连接

AD,点P为线段AD上一点,连接PB、PC得到有公共边的两个△4BP和△4PC,求证：S^p-.S^p

=BD;DC.

【类比迁移】如图⑵，在放A4BC中，点。、E、尸分别为线段BC、AC.AB上的点，线段A。、BE、

CF交于点P,若BD-.DC=1：2,=1：1,则4F：砂1=.

【拓展迁移】如图（3）,在Rt/\ABC中，AABC=90°,AB=3,BC=4,点P为AABC内部一点,且

S“BP：SAACP：SABCP=5:15:12,则线段AP=.

29.（23—24九年级上•山东德州•期中）【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问

题：如图1,在等边△48。中，点P在内部，且_B4=3,PC=4,NAPC=150°,求的长.经过同学

们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得

到AABD,连接,寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系.即能求PB=请参考他们的想

法，完成下面问题：

【学以致用】如图2,在等腰直角ZVIB。中，乙4cB=90°,P为△4BC内一点，E4=5,PC=22，

NBPC=135°，求尸B的长；

【能力拓展】如图3,等腰三角形中，乙4cB=120°,。、E是底边AB上的两点且NDCE=60°,

若AD=2,跳;=3,求DE的长.

图1图2图3

30.（2024.陕西西安.模拟预测）问题探究：（1）如图①，已知在△ABC中，BC=4,NR4C=45°,则48的

最大值是.（2）如图②，已知在五力△4BC中，/ABC=90°,=为△4BC内一点，且

AD=2V7,BD=2.,CD=6,请求出/4DB的度数.

问题解决：（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC,且48=

AC.NR4C=120°,点A、8、C分别是三个任务点，点P是△ABC内一个打卡点.按照设计要求，

CP=30米,打卡点P对任务点A、B的张角为120°,即ZAPB=120°.为保证游戏效果，需要4、P的

距离与8、P的距离和尽可能大,试求出AP+BP的最大值.

图①

•••

31.（2024山东校考二模）【操作发现】

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ZVLBC的三个顶点均在格点上.

图①图②图③

（1）请按要求画图:将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°,点B的对应点为B,点C的对应点为C,

连接8日（2）在⑴所画图形中，/48归=.

【问题解决】如图②,在等边三角形ABC中，AC=,点P在AABC内，且AAPC=90°,ZBPC=

120°,求AAPC的面积.

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一:将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP8,连接PP,寻找线段玄、PC之间数量

关系；

想法二:将△APR绕点A按逆时针方向旋转60°,得到,连接PP,，寻找线段PA,PC之间的数

量关系；

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程.（求解一种方法即可）

【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，垂足为E,ABAE=ZADC,BE=CE=2,CD

=5,AD=kAB（k为常数），直接写出BD的长（用含k的式子表示）.

•M

32.（23-24辽宁九年级上期中）【问题初探】（1）如图1,P为等边三角形内一点,满足PB=1,PA=V2,

PC=V3,试求ABPA的大小.李明同学的思路是：将△BPC绕点6逆时针旋转60°,点P的对应点为

P,画出旋转后的图形,再连接PP'.将求Z.BPA分成求Z.BPP'和/APP的和即可.请你按照李明同

学给出的旋转的思路,求ZBB4的大小；

【问题解决】（2）如图2,在正方形中，E,斤分别为BC,CD边上的点，满足斤=45°,若

4B=3,_BE+。尸=述■，求△AEF1的面积；

【问题拓展】（3）如图3,在四边形4BCD,AB=BC=2,ZABC=ZADC=45°,求8。的

长.

BECD

图2

33.（23-24九年级上•重庆江北・期末）【问题背景】如图1,P是等边三角形ABC外一点，/APB=30°,

则B42+FB2=PG.小明为了证明这个结论,将△上48绕点4逆时针旋转60°,请根据此思路完成其

证明；

【迁移应用】如图2,在等腰直角三角形ABC中，R4=,AABC=90°，点P在AABC外部，且

乙即。=45°,若4人。。的面积为5.5,求？。；

【拓展创新】如图3,在四边形中，/。〃,点E在四边形ABCD内部，且DE=EC,/DEC

=90°,乙4EB=135°,4D=《，BC=啰,直接写出48的长.

全等三角解模型之解驰模整

在探讨奔驰模型时，我们着重于利用几何变换的技巧，尤其是线段的巧妙转移，以满足特定的聚合条

件，从而推导出我们所需的结论。几何变换的工具箱里，轴对称、平移、旋转和位似等都是我们得心应手

的工具，而在奔驰模型的探索中，旋转技巧尤为关键。具体而言，旋转的应用又可细分为旋转全等和旋转

相似两大类。今天，我们将聚焦于奔驰模型中的旋转全等类型进行深入剖析。

在掌握几何模型的过程中，一个常见的误区是过分依赖模型的结论，而忽视了其背后的证明逻辑与

方法论。这种做法无异于舍本逐末，因为数学考察的是灵活应变的能力，而非死记硬背。因此，学习数学

时，我们应在理解的基础上记忆，确保能够灵活运用所学知识。很多时候，解决问题的灵感正是来源于对

已有知识和方法的深刻理解与适当拓展。

针对几何模型的学习，学生应达到以下几个基本要求：首先，要能够识别并理解几何模型，从题目中

准确提炼出模型的特征；其次，不仅要记住模型的结论，更要深刻理解并掌握其证明思路和方法；最后，要

明了模型中的常见易错点，因为很多题目的考察点都围绕这些易错点展开。

然而，仅仅满足这些基础要求还不足以在几何学习中脱颖而出。为了取得更优异的成绩，学生需要

在日常学习中通过大量的练习，深化对几何模型的认识，认真理解每一种题型的本质，真正做到活学活

用。只有这样，才能在面对复杂多变的几何题目时，游刃有余，找到解决问题的最佳路径。

C

例题蝌型.....................................................................................1

模型1.奔驰模型i（点在等边三角形内）.........................................................1

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）....................................................6

模型3.奔驰模型3（点在三角形外一鸡爪模型）..................................................9

习题练模型....................................................................................14

-o【例题讲模型】O

模型1.奔驰模型1（点在等边三角形内）

S模型解读

此模型通常会和旋转一起来考查,还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特

征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等,每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边

三角形三个顶点都可以作为旋转中心（如上图的旋转）。

条件:如图，已知正三角形内有一点P,满足+P02=p02（常考数据：BP=3,AP=4,CP=5）,

结论：/APB=150。。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明）

AA

常用结论等边三角形的面积公式:S&ABC=乎•人口2（选填题非常适用）

S模型证明

证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP'，连接PC。

•.•三角形ABC和三角形4Pp都为等边三角形；=AP=AP=PP,ZBAC=APAP'=APP'A

=60°；

ABAC-APAC=APAP'-APAC,：.ABAP=AP'AC,：.△ABP=丛ACP'（SAS）,BP=CP',

/APB=/APC；

...+pB2=pC2,p,pi+p，C2=pC2,2Ppe=90°,

/.ZAP'C=ZPP'C+APP'A=150°；/.ZAPS=150°=

s模型运用

注意:多线段共端点常考旋转。

1.（23—24八年级下.广东深圳.期中）如图，点P是等边三角形ABC内的一点，且=2,1.5,

PC=2.5,则乙4尸口的度数为°.

【答案】150

【详解】解:如图，将/XBPC绕点B逆时针旋转60°后得到的&BEA.

/./\PBC空^EBA,PB=EB,/EBP=/ABC=60°,

/\PBE为等边三角形，PE=PB=1.5,4EPB=60°,

■：AE^PC^2.5,PA^2,：.PE5+AP2-AE2,，ZL4PE为直角三角形，

ZAPE=9Q°,：./APB=90°+60°=150°;故答案为：150.

2.（2022.湖南.中考真题）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA=2,OB=1,。。="，则A4OB

与ABOC的面积之和为（）

A.4B.乎C.D.V3

424

【答案】。

【详解】解:将4AOB绕点B顺时针旋转60°得ABCD，连接。。，

：.OB=OD,/B00=60°,CE>=04=2,.•.△BOD是等边三角形，.•.OD=OB=1,

222

•/OD+OC=I?+（V3）=4,3=22=4,OD+=CL）2...9o°,

XAOB与1SBOC的面积之和为S八rcc+S^ABCD=SAHCD+$△℃»=义1?+x1xV3=.故

选：C.

3.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）如图，△ABC,△CDE都是等边三角形，将△CDE绕点。旋转，使得点

A,L）,E在同一直线上，连接BE.若3E=2,AE=7,则CD的长是

【答案】5

【详解】解：•.•△ABC,Z\CDE都是等边三角形，.•.BC=AC,CE=OC,ZACB=ZDCE=60°,

■：ZACD+ADCB=NACB=60°,ADCB+NBCE=NDCE=60°，二ZACD=NBCE,

（BC=AC

在ACBE和△CAD中，（2BCE=AACD,：.4CBE空△CAD（SAS），,BE=AD,

[CE=DC

BE=2,AE=7,：.BE=AD=2,/.DE=AE—AD=7—2=5,/.GD=5.故答案为：5.

4.（2024.安徽.一模）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且上4=3,PB=4,PC=5,以BC为边在

△ABC外作△BQCWAB24,连接PQ,则以下结论中不正确的是（）

A.ZFBQ=60°B.APQC=90°C.AAPC=120°D.ZAPS=150°

【答案】。

【详解】解：；△ABC是等边三角形，ZABC=60°,

•/△BQC空/\BPA,/.NCBQ=AABP,PB=QB=4：,PA=QC=3,/BPA=ZBQC,

：.NPBQ=4PBe+ACBQ=4PBe+AABP=/ABC=60°，所以4正确，不符合题意；

PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,APQ2+QC2=PC2,

/。。。=90°,所以3正确，不符合题意；

•/PB=QB=4,APBQ=60°,/.ABFQ是等边三角形，/.ZBPQ=60°,

ZAPB=NBQC=NBQP+ZFQC=60°+90°=150°，所以O正确，不符合题意；

ZAFC=360°-150°-60°-AQPC=150°-AQPC,VPC=5,QC=PA=3,：.PC^2QC,

•・•/PQC=90°,/QPCW30°,/APCW120°.所以。不正确，符合题意.故选：C.

5.（24—25九年级上•广东广州•开学考试）如图，O是正△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线

段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论，①/\BO'A可以由△BOC绕点B

逆时针旋转60°得到；②点。与O的距离为5；③AAOB=150°；④四边形面积=6+4V3；

⑤SA71oc+SAyloB=6+1■四，其中正确的结论是（）

A.①④⑤B.①③④C.①③④⑤D.①③⑤

【答案】。

【详解】解:连接00,如下图：•.•正△48。AB=BC=AC,乙4BC=60°

•/线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段30，，

=60°,BO=BO'二△OBO,为等边三角形OO,=OB=4,即②错误；

•/NOBO'=AABO+ZABO'=60°,/ABC=AABO+ZOBC=60°ZABO'=NOBC

（AB^BC

/XBO'A和ABOC中（AABO'=Z.OBC：.ABO'A空ABOC

[BO'^BO

：.O'A=OC=5,/\BO'A可以由△BO。绕点B逆时针旋转60°得到，即①正确；

•••OO'=OB=4,04=3O'A2=OO'2+OA2ZAOO'=90°

•/AOBO'为等边三角形/.4BOO'=60°/.AAOB=AAOO'+NBOO'=150°,即③正确；

•//力OO'=90°/.SAACO=《AOxOO,=《x3x4=6过点B做BNJ_OO',交OO'于点N

•/AOBO'为等边三角形/.ABNO=30°ON=yOB=2BN=y/OB2-ON2=273

S^OBO,=]OO'xBN=x4x2V3=4V3四边形AOBO'面积=S^AOO,+S^OBO,=6+4V3,即④正

确；

正△ABOAAOB绕点A逆时针旋转60°得到△AM。,如下图：

AOAM^60°,AO=AM^3,MC=OB=4,S^OB=S^c：./\AOM为等边三角形二（W=AO=

AM=3

过点A做AG_LOM,交O河于点G,如下图：:^AOM为等边三角形.・.AOAG=30°/.OG=^OM=

3

~2

4G=J。#-2=普S^AOM=^AGxOM=/x等x3=千

•/MC=4,OM=3,OC=5/.OC2=MC2+OM2：.NOMC=90°

竽+6

S'AOJWC=了OMXMC——X3x4=6SAAMC+SAAOC=S^AOM+S'AOMC

S^oB+SMOC=^AAMC+^AAOC=+6,即⑤正确；故选：C*.

模型2.奔驰模型2（点在等腰直角