全等三角形（一）重难点-2024-2025学年初中数学八年级上册期中重难点复习攻略

第12章全等三角形（1）——重难点

内容范围：12.1-12.2

◎重难点知识导航

鹿点才

知识点一：全等三角形的判定和性质

1.一般三角形的判定定理及推论比较

2.一般三角形全等判定的方法选择

［找夹角（SAS）

已知两边，找直角（HD

［找第三边（SSS）

［若边为角的对边，则找任意角（A4S）

知一切一角［找已知角的另一边（SAS）

',一口一角边为角的邻边找已知边的对角（44S）

找夹已知边的另一角CASA）

II

口如打缶（找两角的夹边（ASA）

已知两角［4找任意一边（AAS）

3.如何选择三角形证全等

（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等

的三角形中，

可以证这两个三角形全等；

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；

（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

4.全等三角形的性质

全等三角形的对应边一，对应角一，对应边上的高一，对应边上的中线一，对应角的平分线」

周长面积一；

典例精讲

例1.

1.如图，点尸是平分线上的一点，AC=7,AB=3,尸3=2,则尸C的长不可

能是（）

例2.

2.如图，在AABC中，AO_L3c于点D,E为AC上一点，连结BE交AD于点F,5.BF=AC,

DF=DC.求证:

WBD=AD.

(2)BEXAC.

o变式训练

变式1.

3.如图,AD^^ABC的中线,E,尸分别是4。和4。延长线上的点,S.CE\\BF,连接BF,CE,

下列说法：

®DE=DF；

②AABD和△ACD面积相等；

③CE=BF；

④ABDF/KDE；

⑤/CEF=/F.

其中正确的有()

A.1个B.5个C.3个D.4个

变式2.

4.综合与探究

【操作探索】

在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程.小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操

作：

如图1,已知四边形ABDC,AB^AC,BD=CD.

(1)操作一：沿AO所在的直线对折，如图1.你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说

明理由；

(2)操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形(△血£＞和八4。。)，摆成如图2所示

的图形，8。与相交于点E,AD与CD相交于点尸.试说明3E=CF.

【应用拓展】

(3)如图3,在VA3C中，AB^AC,AB＞BC,点。在边BC上，BD=3CD,点、E,F

在线段AD上，ZAEB=ZAFC=13Q°,ZBAC=50°,若VA3C的面积为24,求与

VC£＞尸的面积之和.

翻折型全

等

旋转型全

典例精讲

例1.

=连接DC,BE.

⑵若ZG4D=135°,NO=20。,求4的度数.

例2.

6.(1)如图1,已知△OAB中，OA=OB,ZAOB=90°,直线/经过点。，5C,直线/,

AD±直线/,垂足分别为点C,D.依题意补全图/,并写出线段BC,AD,8之间的数

量关系为;

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在△Q4B中，OA=OB,C,O,。三点都在直线/

上，并且有请问(1)中结论是否成立?若成立，请加以证明；若

不成立，请说明理由;

(3)如图3,在VABC中，AB=AC,ZCAB=90°,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(3,2),

请直接写出点B的坐标.

Q变式训练

变式1.

7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,P分别是BC,CD上的点,

NEAF=；NBAD,线段BE,EF,FD之间的数量关系是.

变式2.

8.如图，已知Rt^ABC中，N3AC=90o,A3=AC,点。为直线BC上的一动点(点。不

与点8、C重合)，以4D为边作RtAA£)E,NZME=90o,AD=AE,连接CE.

E

图1图2图3

(1)发现问题：如图①，当点。在边BC上时.

①请写出8。和CE之间的数量关系为一，位置关系为二

②求证：CE+CD=BC；

(2)尝试探究：如图②，当点。在边3c的延长线上且其他条件不变时，(1)中3C、CE、CD

之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明.

(3)拓展延伸：如图③，当点。在CB的

延长线上且其他条件不变时，若BC=6,CE=2,求线段CO的长.并求ADEB的面积.

难点.

知识点三：全等三角形的常见辅助线

在典例精讲

例1.

9.如图，已知：AB^AC,BD=CD,ZA=60°,ZD=140°,则()

C.40°或70°D.30°

例2.

10.倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线.

图2

(1)如图1,在VABC中，AC=5,中线4。=7,求的取值范围.方法一：延长AD到£

使DE=AD，连接CE；方法二：过点C作的平行线交AD的延长线于E.请你从以上

两种方法中选一种方法证明△ECD^AABD,并直接写出AB的取值范围；

⑵如图2,在△AEC中，点夙。在EC上，NE=NC4£),点。是BC的中点，若43平分ND4E,

求证：AC=BE.

Q变式训练

变式1.

11.如图，在四边形ABCD中，43//8,4£是一区4。的平分线，且AE_LCE.若

AC=a,BD=b,则四边形的周长为()

A.1.5(«+&)B.2a+bC.3a-bD.a+2b

变式2.

12.已知：如图，在VABC中，ZB=60°,D、E分别为AB、3C上的点，且AE、CD交于

点、F.若AE、CD为VABC的角平分线.

⑴求ZABC的度数；

(2)若AD=6,CE=4,求AC的长.

建点

知识点四：全等三角形的综合应用

1.全等三角形与动点问题

（1）根据动点运动的路径，恰当分类，画出图形；

（2）把动点运动的路程转化为线段的长度；

（3）根据全等三角形的判定或性质，确定与动点相关线段与其对应边相等建立方程求解；

2.全等三角形新定义问题

（1）抓住新定义的图形的特征；

（2）把新定义的图形的特征转化为全等的条件，或利用全等的性质，把相等的边角转化为

识别新定义图形的条件；

3.全等三角形的实际应用

（1）指出在生产生活实际中，应用全等三角形的依据；

（2）用全等三角形的知识解决生产生活中的实际问题；

在典例精讲

例1.

13.如图，AB=8cm,ZA=ZB=60°,AC=BD=6cm,点P在线段A3上以2cm/s的速度

由点A向点B运动，同时，点。在线段上以xcm/s的速度由点B向点£）运动，它们运动

的时间为f（s）.当△ACP与V8PQ全等时，x的值是（）

A.2B.1或1.5C.2或3D.1或2

例2.

14.在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的

角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边（非公共边）所对的相等的

角称为“黄金角

D

⑴如图1,BC=BD,则VABC与△"£>"共边黄金三角形”.（填“是”或“不是”）

⑵如图2,AAC8与AACD是洪边黄金三角形"，BC=CD,NBAD=62。,则ZkACB与

AACD的“黄金角”的度数为.

（3）如图3,已知AC平分—BAD,AB=AE,ZkACB与AACD是“共边黄金三角形”，试说明

CD=CE.

Q变式训练

变式1.

15.为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习.在某次军事演习

中，舰艇甲在指挥中心（。处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的8处，并

且04=03.接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向迅

速前进.指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处,NEOF=70°,£F=180

海里，且甲与乙的速度比为2:3,则甲舰艇的速度为海里/小时.

变式2.

16.已知四边形ABCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=（O°,

NMBN绕B点、旋转,它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.

（1）当NMBN绕8点旋转到/场=CF时（如图1）,求证：AE+CF=EF.

（2）当/MBN绕8点旋转到他wCF尸时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成

立？若成立，给出证明；若不成立，线段AE,CF,所又有怎样的数量关系？请写出你的

猜想，并给予证明.

小明第（1）问的证明步骤是这样的：

延长DC到。使CQ=AE,连接BQ,

证出ABAE/ABCQ得到BE=8Q,ZABE=ZCBQ.

再证ABE尸也ABQF,得至IJE尸=EQ,证出E/^Cr+C。，即AE+CF=_EF.

请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明.

参考答案:

1.A

【分析】在AC上取短=他=3,然后证明△用三根据全等三角形对应边相等得

到尸E=PB=2,再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解.

【详解】在AC上截取AE=A8=3,连接性，

AC=7,

:.CE=AC-AE=l-3=4,

:点尸是/BAC平分线上的一点，

ACAD=ABAD,

在、4/史和AAPB中，

'AE=AB

<NCAP=NBAD,

AP=AP

:.^APE=^APB(SAS),

：.PE=PB=2,

•.-4-2<PC<4+2,

解得2<PC<6,

故选A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系；通过作辅助线构

造全等三角形是解题的关键.

2.(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法.

(1)根据AD1BC,得出NBDA=ZADC=90°,再根据SAS证明ABFD沿AACD,即可推

出结论；

(2)因为/Ba4=/AZ)C=90。，贝!!/DAC+/C=90。，根据△BFD^^ACD,NBFD=NC,

得出/ZMC+/BFD=90。.又因为=则/ZMC+/AFE=90。，得出

^AEF=90°.

【详解】(1)VAD1BC,

：.ZBDA^ZADC=9G0,

VBF=AC,DF=DC,

：.△BFD之△ACD(HL),

:.BD=AD.

(2)V^BDA=^ADC=90°,

・・・/ZMC+/C=90。，

VABFD^AACD,NBFD=NC,

：.ZDAC+ZBFD=9G°.

•；NBFD=NAFE,

：.ZDAC+ZAFE=9G0,

；・NAEF=90。,

：.BE±AC.

3.B

【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD,然后利用“边角边”证明△友小和△CDE全等,

根据全等三角形对应边相等可得CE=B厂，全等三角形对应角相等可得/=/CED,再根

据内错角相等，两直线平行可得3尸||。£,最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②

正确.

【详解】解：・・ND是△ABC的中线，

・•・BD=CD,

在厂和△CDE中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDE,

DF=DE

：.ABDF^ACDE(SAS),故④正确

:.CE=BF,NF=NCED,故①正确，

:NCEF=NCED,

:.NCEF=/F,故⑤正确，

：.BF\\CE,故③正确，

'：BD=CD,点A到应>、CD的距离相等，

和AACD面积相等，故②正确，

综上所述，正确的有5个，

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是

解题的关键.

4.(1)能完全重合，理由见解析；(2)证明见解析；(3)6

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.

(1)通过三边分别相等得出△A5D/△ACD(SSS),即可作答.

(2)同理得出AABD丝AAC。，得出/B=NC,NBAD=NCAD',再结合/BAE=NC4产，

证明AABE且△AC"ASA),即可作答.

(3)因为NA£B=NAFC=130。以及角的运算得出=再证明

△ABE=△CAF(AAS),则+^ACDF=%CA尸+^ACDF=^ACAD，因为BD—3CD，得出

即可作答.

SACAD:5AABC=CD-.BC=\A,

【详解】解：(1)能完全重合.

理由：在与AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

：.AABD经AAC£)(SSS),

对折后能完全重合.

(2)同理得出AAB。丝AACD',

:.ZB=NC,ZBAD=ZCAD',

：./BAD+ZZ7AD=ACAD+NUAD,

・•・ZBAE=ZCAF.

在△ABE和△ACT中，

ZB=ZC

<AB=AC,

ZBAE=ZCAF

：.AABE且AACF(ASA),

:.BE=CF.

(3)VZ/4EB=130°,

・•・ZEAB^-ZABE=180o-ZAEB=50o.

,/ABAC=ZEAB+ZCAF=50°9

：.ZABE=ZCAF.

在石和VC4b中，

ZAEB=ZAFC

<ZABE=ZCAF,

AB=AC

・・./\ABE咨ACAF(AAS),

・q-v

,,一°ACAF，

•*+SMDF=^/\CAF+S4CDF=*^AC4D•

•.*BD=3CD,

:.CD:BC=1:4,

••SRCAD-SAABC=CD:BC=1:4.

*,Swe=24,

**,SAABE+S^CDF=24+4=6.

5.⑴见解析

⑵ZE=25。

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；

(1)根据题意由ZZXB+NB4C=NC4E+NB4C,可得ZZMC=4>4E,即可求证;

(2)由AA4E/AZMC(SAS),可得/E=NC,再由内角和为180。即可求解.

【详解】(1)证明：=叱，

ZDAB+ABAC=Z.CAE+ABAC,

：.ZDAC=NBAE,

又：AD=AB,AC=AE,

：.△BAE^AZMC(SAS)；

(2)ABAE^AZMC(SAS),

ZE=ZC,

VZC4D=135°,ZZ)=20°,

NC=180°-ACAD-ZD=180°-135°-20°=25°,

Z£=ZC=25°.

6.(1)补全如图所示见解析；CD=BC+AD；(2)成立，证明见解析；(3)点8的坐标

为。,-2).

【分析】(1)依题意补全图，易证贝1|有AO=C。，OD=BC,从而可得

CD=BC+AD；

(2)利用三角形内角和易证/2=N3,再证明A3CO丝同(1)即可证明结论；

(3)过8、C两点作y轴垂线，构造如(1)图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可

求出点B坐标.

【详解】(1)补全图1如图所示，CD=BC+AD；

图1

证明：VZAOB=90°,3CL直线/,AD±直线/,

：.ZBCO=ZODA=90°,

：.ZBOC+ZOBC=90°,

又：NAW=90°,

・•・ZBOC+ZAOD=90°,

：.ZOBC=ZAOD,

在△人0。和408。中

ZBCO=/ODA

<ZOBC=ZAOD,

BO=AO

：.AAOD^AOBC(AAS)

：.AD=CO,OD=BC,

•；CD=OD+CO,

：.CD=BC+AD.

(2)成立.

证明：如图，

图2

VZ1+Z2=180°-ZBOA,Zl+Z3=180°-ZB(M,ZBOA=ZBCO

：.N?=N3

在△5CO和M0D4中

Z3=Z2

<ZBCO=ZODA

BO=OA

:・ABCO"QDA(AAS)

:・BC=OD,CO=AD

：.CD=CO+OD=AD+BC

(3)点B的坐标为(L-2).

过程如下：过3、C两点作y轴垂线，垂足分别为M、N,

图3

同理(1)可得，CN=AM,AN=MB,

:点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(3,2),

：.CN=AM=3,ON=2,OA=1,

：.MB=AN=ON-OA=1,OM=AM-OA=2,

•••点8在第四象限，

...点8坐标为：(1,-2).

【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换,

构造出全等三角形是解本题的关键.

7.EF=BE+DF

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长FD至点H,使得DH=BE,连接AH,

可证"fiE丝AAD”(SAS)得到/=ZBAE=ZDAH,进而由NE4r=；NBAZ>可得

ZHAF=AEAF,即可证得△AEF0Z\AHF(SAS),得到HF=EF,即可由=

得至“EF=BE+DF,正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，延长ED至点H,使得DH=BE,连接AH,

VZB+ZADF=180°,ZADF+ZADH=180°,

ZB=ZADH,

在和AADH中，

BE=DH

<ZB=ZADH,

AB=AD

：.AABE^ADH（SAS）,

AE=AH,ZBAE=ZDAH,

ZEAF=-ZBAD,

2

：.ZBAE+ZFAD=/BAD-ZEAF=-ZBAD,

2

即/HAD+ZDAF=ZHAF=-ABAD,

2

ZHAF=ZEAF,

在AAEF和AAHF中，

'AE=AH

<ZEAF=ZHAF,

AF=AF

：.AAEF丝AAHF(SAS),

，HF=EF=HD+DF,

HF=HD+DF,

，EF=HD+DF

又•:DH=BE,

，EF=BE+DF.

H

8.⑴①BD=CE,BD1CE；②见解析

(2)不成立，存在的数量关系为CE=3C+CD,理由见解析

(3)8=8,S«DEB=2

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质：

(1)①根据条件AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,ZADE=ZAED=45°,判定

AABD^AACE(SAS),即可得出3D和CE之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得

至2+8=3。；

(2)根据已知条件，判定丝AACE(SAS),得出BD=CE,再根据孔>=3C+CD,即

可得到CE=3C+CD；

(3)根据条件判定AABZ^AACE(SAS)，得出3。=CE,进而得到CD=BC+BD=BC+CE,

最后根据3C=6,CE=2,即可求得线段CD的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三

角形的性质得出EC_LCD,进而根据三角形的面积公式，即可求解.

【详解】(1)①如图1，由题意，AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,

ZADE=ZAED=45°,ZBAC=ZDAE^90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在A/幽和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AD=AE

.-.△ABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,ZB=ZACE=45°,

:.NBCE=90。,即BD_LCE；

故答案为：BD=CE,BDLCE；

②由①得AABD^AACE(SAS),

BD=CE,

BC=BD+CD=CE+CD；

(2)不成立，存在的数量关系为CE=3C+C3.

理由：如图2,由⑴同理可得，

在△"£)和/XACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

.•.△ABD^AACE(SAS),

BD=CE,

/.BD=BC+CD,

..CE=BC+CD；

(3)如图3,由(1)同理可得，

在△45。和/XACE1中，

'AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

「.△ABD之△AC£(SAS),

:.BD=CE,ZABD=ZACE

CD=BC+BD—BC+CE,

♦;BC=6,CE=2,

CD=6+2=8.

vZABD=ZACE=1800-ZABC=135°fZACB=45°

ZDCE=ZACE—ZACB=9伊,即CE_LOC

••△SutLnDFR=2—DBxCE=2—x2x2=2.

图3

9.B

【分析】连接AD,可证△ABDGAACD,根据全等三角形对应角相等可以得到

ZBAD=ZCAD=^ZBAC,ZADB^ZADC,代入角度即可求出/A4D和ZAD3的度数,

最后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】连接4。，如图，

在与AACD中

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

AAB£)丝AACD(SSS),

Z.BAD=ACAD=-ABAC,ZADB=ZADC,

2

­.•NA=60°,

ZB4O=NGW=30。，

ND=140°,

ZADB=ZADC=1(360°-140°)=110°,

V/BAD+ZADB+NB=180°,

•••ZB=40°.

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解

题的关键.

10.(1)9<AB<19

(2)证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握

全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线；

(1)方法一中利用SAS证明△ECD/△ABD,则AB=EC,再根据三角形的三边关系来确

定取值范围即可；

(2)先用SAS证明△ABD/△尸CD,得出N&4£)=/CFD,AB=FC,再用AAS证明

^FCA^^ABE,即可解答.

【详解】(1)解：选方法一来证明/

•.•AD是VABC的中线，

:.BD=DC

在AECD和中

BD=DC

ZADB=ZEDC

AD=DE

AECD，ABD(SAS),

AB=EC,

在△AEC中，

,/AE-AC<EC<AE+AC,

:.2AD-AC<AB<2AD+AC,

即：14-5<AB<14+5,

/.9<AB<19,

(2)解：延长AD到尸使。尸=AD,连接CF,如图所示;

BD=DC9

在和△厂CD中，

BD=DC

<NADB=ZFDC,

AD=DF

\AABD、FCD(SAS),

:.NBAD=NCFD,AB=FC,

vAB平分/ZME,

.\ZBAD=ZEAB,

,\ZCFD=ZEAB,

在△/C4和△ABE中，

ZCFD=/EAB

ACAD=ZE,

CF=AB

/.△FC4^AABE(AAS),

AC=BE.

11.B

【分析】在线段AC上作AF=AB,证明△AEF之Z^AEB可得NAFE=NB,ZAEF=ZAEB,

再证明△CEF之ZiCED可得CD=CF,即可求得四边形ABDC的周长.

【详解】解：在线段AC上作AF二AB,

・•・NCAE=NBAE,

又TAE=AE,

AAAEF^AAEB(SAS),

AZAFE=ZB,NAEF二NAEB,

VAB/7CD,

.'.ZD+ZB=180°,

VZAFE+ZCFE=180°,

AZD=ZCFE,

9：AEICE,

：.ZAEF+ZCEF=90°,ZAEB+ZCED=90°,

.'.ZCEF=ZCED,

在^CEF和^CED中

ZD=ZCFE

■:\/CEF=NCED,

CE=CE

.•.△CEF^ACED(AAS)

ACD=CF,

四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+b,

故选：B.

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断.能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

12.⑴120度

(2)10

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等

知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题.

(1)由题意/B4C+/3G4=120。，根据

ZAFC=180°-ZFAC-ZFC4=180°-1(ZBAC+ZBCA),即可解决问题；

(2)在AC上截取AG=AD=6,连接尸G.只要证明△ADb/△AGP,推出

ZAFD=ZAFG=60°,ZGFC=ZCFE=60°,再证明ACG尸思ZkCEF,推出CG=CE=4,

由此即可解决问题.

【详解】(1)解：CD为VABC的角平分线，

ZFAC=|ABAC,ZFCA=gNBCA

•；ZB=60°,

ZBAC+ZBC4=120°,

ZAFC=180°-ZFAC-ZFC4=180°-1(ZBAC+ZBC4)=120°

(2)解：在AC上截取AG=AD=6,连接/G.

:AE、CD为VABC的角平分线.

AZFAC=ZFAD,NFCA=NFCE,

'：ZAFC=120°,

ZAFD=NCFE=6O。,

■：AD=AG,AF=AF

：./\ADF^/\AGF,

ZAFD=ZAFG=60°,

NGFC=NCFE=6Q°,

又：CF=CF,

：.ACGF^ACEF

/.CG=CE=4,

：.AC=AG+GC=10.

13.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的

关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

根据题意得AP=2fcm,BQ=txcm,则3尸=(8-2r)cm,由于NA=/3=60。，根据全等三角

形的判定方法，当AC=3尸，&/^^。时可判断/^箕:尸/4出5。，即8-2t=6,2t=tx；当

AC^BQ,针=3月时可判断加。尸^48。2，即H=6,2t=8-2t,然后分别求出对应的

x的值即可.

【详解】解：根据题意得AC=6cm,AP=2fcm,BQ=txcm,则BP=AB-AP=(8-2r)cm,

vZA=ZB=60°,

...当AC=BP,A尸=BQ时，AACP丝ABPQ(SAS),

BP8-2/=6,2t=tx,

解得：t-\,尤=2；

当AC=BQ,AP=g尸时，"IC尸/ABQP(SAS),

即xf=6,2t=8-2t,

解得：t—2,x—3,

综上所述，当AAC尸与V3PQ全等时，x的值是2或3.

故选：C.

14.⑴是

(2)31°

(3)理由见解析

【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.

(1)根据共边黄金三角形的定义找到公共边AB，NA=NA,即可得出.

(2)根据共边黄金三角形的定义得出/C钻=NZ)AC,再结合/&田=62。，贝U

ZCAB=ZDAC=31°,即可作答.

(3)先由角的平分线的定义得出44C=/E4C,然后证明AABC/AAECeAS),得

BC=EC,再运用共边黄金三角形的定义，得出3C=CD,即可作答.

【详解】(1)解：与具有公共边A3,

5L-.-BC=BD,且ZA=ZA,

.•.△ABC与△ABD是共边黄金三角形，

•••故答案为：是.

(2)解：：AACB与AACD是“共边黄金三角形"，BC=CD,

ZCAB=ADAC,

'：ZBAD=62°,

：.ZCAB=ZDAC=-ZBAD=-x62°=31°；

22

则"CB与AACE)的“黄金角”的度数为31。.

(3)解：：AC平分/BAD,

NBAC=NEAC.

AB=AE

在7ABe和△AEC中，＜/BAC=ZEAC,

AC^AC

：.△ABC^AAE'C(SAS),

BC=EC.

,/则AACB与AACD是共边黄金三角形，

BC=CD,

：.CD=CE.

15.24

【分析】本题考查了全等三角形的应用，如图，连接所，延长AE、B尸相交于点C,延长

CB到G,使=根据全等三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】如图，连接环，延长AE、8尸相交于点C,延长CB到G,使3G=AE,

•/ZOBC=700+50°=120°,

NOBG=60。，

:.ZA=ZOBG,

・.・OA=OB,

：.△AOE^ABOG(SAS),

:.OE=OG,ZAOE=ZBOG,

•.­ZAOB=30°+90°+