河南省开封市五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省开封市五校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列满足，若，则（）A.－1 B. C.1 D.2【答案】B【解析】因为数列满足，所以，所以数列是以3为周期的周期数列，所以．故选：B2.已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为，故，解得，抛物线的标准方程为．故选：D．3.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，令，则，．故选：C4.已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圆经过点和，可知圆心在直线上，又圆心在直线上，所以的坐标为，半径，所以圆的面积为．故选：D．5.记为等比数列的前项和，若，则（）A21 B.18 C.15 D.12【答案】A【解析】因为为等比数列的前项和且，所以成等比数列，即3，6，成等比数列，所以，所以．故选：A．6.已知点是双曲线上一点，则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由双曲线的方程知，渐近线方程为，即，设，由题意，得，即，点到渐近线的距离，点到渐近线的距离，所以．故选：C．7.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，，则数列的前60项和（）A. B.5 C.59 D.60【答案】B【解析】因为是方公差为2的等方差数列，所以是公差为2的等差数列，所以，解得，又，所以，所以，所以所以．故选：B．8.设，，，则、、的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，当时，，则单调递增，所以，即，则；令，则，当时，，单调递增，所以，即，即．综上所述，．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线l与直线垂直，且与圆相切，则直线l的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】直线与直线垂直，可设直线为，圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为．因为直线与圆相切，所以，解得或，所以直线的方程是或．故选：CD．10.如图,在四棱锥中，底面是平行四边形,,若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．故选：AC11.某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅.设开学后第天选择甲餐厅就餐的学生比例为，则（）A.B.是等比数列C.第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为D.开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有5750人次【答案】BCD【解析】对于A，由题意，得，故A错误；对于B，，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；对于C，，即，所以，故C正确；对于D，，又有1920名学生，所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有人次，故D正确．故选：BCD．12.已知函数，则（）A.曲线在点处的切线方程是B.函数有极大值，且极大值点x0C.D.函数只有1个零点【答案】BD【解析】对A，由，得，则，故曲线在点处的切线方程是，即，故A错误；对B，令，则，所以在上单调递减，又，所以存在x0∈1,2，使得，即即时,,时,,则在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，且极大值点，故B正确；对C，由以上分析知在上单调递减，故，故C错误；对D，当时，单调递增，又在内有唯一一个零点，当时，,则，则在上无零点，即只有一个零点，故D正确．故选:BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知椭圆的两个焦点分别为,点为椭圆上一点,则______．【答案】12【解析】由题意知，所以，又由椭圆的定义，得．故答案为：1214.已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是______．【答案】【解析】由可知直线，所以当且时，有最小值，其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，所以，即的取值范围是．故答案为：15.若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．【答案】【解析】，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根，令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增．又，如图：所以当时，在区间上只有一个变号的根，即函数在上有且仅有一个极值点时，的最小值为．故答案为：.16.已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则______．【答案】15【解析】因为双曲线的离心率为2，所以，不妨设，因为点在上，所以，两式相减，得，因为点是的中点，所以，所以，即，所以，同理，因为，所以．故答案为：15四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在等差数列中，是和的等差中项．（1）求的通项公式；（2）若的前项和为，求使成立的最大正整数的值．解：（1）设数列的公差为，因为，又是和的等差中项，所以，即，解得，所以．（2）因为，所以，由，得，又，所以使成立的最大正整数为44．18.已知函数，且当时，有极值－5．（1）求的值；（2）求在上的值域．解：（1）由，得，又当时，有极值－5，所以，解得所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，有极小值．所以．（2）由（1）知．令，得，的值随的变化情况如下表：－4－134+0－0+单调递增极大值单调递减极小值－5单调递增由表可知在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为．19.如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,，点是的中点，点分别是线段上的点,且．（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）因为平面，平面，且四边形是矩形，所以两两垂直，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，因为，且.所以．因为，所以，即．（2）由（1）得．设是平面的一个法向量，则，令，得，所以．因平面，所以平面，所以平面的一个法向量为．因为，结合图形可得：平面与平面夹角的余弦值为．20.已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）当时，，又，所以．由，得，两式相减，得，即，所以是首项为2，公比为的等比数列，因此的通项公式，设等差数列的公差为，则由，得，又，所以，解得，所以数列的通项公式为．（2）由及，得，所以设前项和为，则．设的前项和为，则，两式相减，得，所以．所以．21.已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于两点,与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．解：（1）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率是，得，因为的最小值为，所以，所以椭圆的方程为．因为椭圆的焦点坐标为，椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，所以拋物线的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不符合条件，舍去．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，，．所以．联立，得，，则，因，所以，解得．所以直线的方程为或．22.已知函数．（1）若在定义域内单调递增，求